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非线性系统分析习题

第2章
2-1 电路如题图2-1所示，若，，，试讨论对下列各组变量：（1）和；（2）和；（3）和；（4）和；是否存在标准形式的状态方程？若存在，请导出该状态方程。

题图 2-1
和存在标准状态方程

2-2 题图2-2所示电路，非线性电阻的特性为：，试导出电路的状态方程。

题图 2-2

2-3 试确定下列函数是否满足全局Lipschitz条件
（1）可能不满足
（2）满足
2-4 Van der pol方程可以用状态方程描述为

试证明，任取初始条件，对于某些充分小的，状态方程在上有唯一解。
2-5 考虑标量微分方程

试证明微分方程对于任意，在区间上具有唯一解。
2-6 已知非线性系统的状态方程为

试判断该状态方程是否有唯一解。
当时有唯一解
2-7 试求下列电路状态方程的平衡点。
（1） （0，0） （2）（0，0）
（3） （0，0）；（1，0）；（-1，0）
（4）
（5）(0,0)；

第3章
3-1 分别取，，用等倾线法绘出范德坡方程的轨线。设初值为：
（1）;（2）;(3) 。
3-2 用liénard作图法绘出时，范德坡方程初值为的轨线。
3-3 试证明在时，范德坡方程的等倾线包含3个分支。
3-4 试确定下列线性微分方程组奇点的类型，并定性作出相图。
（1）； 稳定结点
（2）；鞍点
（3） ； 不稳定结点
（4）； 稳定结点
（5）； 鞍点
（6）； 非初等奇点，轨线趋于奇线
（7）； 非初等奇点，轨线平行于奇线
（8）； 不稳定结点
（9）; 中心
(10) 不稳定焦点
3-5 试求下列各非线性状态方程平衡点处的线性化系统，并决定该平衡点的类型。
（1） 平衡点（0，0） 鞍点
（2） 平衡点（0，0） 中心、焦点或中心焦点之一
（3） 平衡点（0，0）， 鞍点
（1，0），（-1，0）中心、焦点或中心焦点之一
（4） 平衡点（0，0）不稳定退化结点
3-6 考察下列非线性系统是否存在极限环，如存在极限环，通过极坐标变换来判断极限环的稳定性。
（1） ，存在稳定的极限环
（2）
存在半稳定的极限环
（3） 不存在极限环
（4） 不存在

第4章
4-1 试对二阶自治系统的各类平衡点，按Lyapunov稳定性的定义对平衡点的稳定性类型进行分类。
4-2 试判断下面的每一个函数是否为：（1）局部正定函数；（2）正定函数；（3）半正定函数；（4）不定函数。
（1）； 正定函数
（2）；局部正定函数（）
（3）； 局部正定函数
（4）；正定函数
（5） 半正定函数
4-3 试讨论下列系统原点的稳定性，指出它们是否稳定；如果稳定，是否全局的。
（1）；局部渐近稳定
（2）；局部渐近稳定（设）
（3）；不稳定，利用首次近似
（4）;
4-4 考虑系统

预选V函数为,证明平衡点（0,0）是不稳定的。
4-5 某非线性电路的状态方程为

（1） 求系统的所有平衡点；（0,0），（2,6）（-2，-6）
（2） 通过平衡点处的线性化系统研究所有平衡点处的局部稳定性；（0,0）不稳定；（2,6），稳定；（-2，-6）；稳定
（3） 利用二次Lyapunov函数，估计每个渐近稳定的平衡点的吸引域，并尽可能极大化吸引域（提示：对每个渐近稳定的平衡点，将坐标原点平移到平衡点处，然后进行分析）；
（4） 绘出系统的相轨迹和前列分析对比。
4-6 试证明：如果存在对称矩阵P和Q使得

则A的所有特征值的实部均小于。
4-7 考虑一个二阶系统

其中sat函数定义为

当时，试采用平衡点（0,0）处的线性化系统证明系统是局部不稳定的；
4-8 通信网络锁相环回路方程可描述为

（1） 取，试导出状态方程；
（2） 设，取预选Lyapunov函数为，证明：
如果，平衡点（0,0）是稳定的；如果，平衡点（0,0）是渐近稳定的（提示：应用Lasalle定理）