实验4 线性卷积与圆周卷积的计算.doc

题目：已知两个有限长序列
x(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+4δ(n-3)+5δ(n-4)
h(n)=δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2)+2δ(n-3)
计算以下两个序列的线性卷积和圆周卷积
（1）x(n)⑤y(n) (2)x(n)⑥y(n) (3)x(n)⑨y(n) (4)x(n)⑩y(n)
● 调用函数circonv
function yc=circonv(x1,x2,N)
%用直接法实现圆周卷积
%y=circonv(x1,x2,N)
%y:输出序列
%x1,x2:输入序列
%N:圆周卷积的长度
if length(x1)>N
error;
end
if length(x2)>N
error;
end
%以上语句判断两个序列的长度是否小于N
x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];%填充序列x1(n)使其长度为N，序列h(n)的长度为N1,序列x(n)的长度为N2
x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];
%填充序列x2(n)使其长度为N
n=[0:1:N-1];
x2=x2(mod(-n,N)+1);
%生成序列x2((-n))N，镜像，可实现对x(n)以N为周期的周期延拓，加1是因为MATLAB向量下标只能从1开始。
H=zeros(N,N);%生成N行N列的零矩阵
for n=1:1:N
H(n,:)=cirshiftd(x2,n-1,N);%该矩阵的k行为x2((k-1-n))N
end
yc=x1*H';%计算圆周卷积

● 调用函数cirshiftd
function y=cirshiftd(x,m,N)
%直接实现序列x的圆周移位
%y=cirshiftd(x,m,N)
%x:输入序列，且它的长度小于N
%m:移位位数
%N：圆周卷积的长度
%y:输出的移位序列
if length(x)>N
error('x的长度必须小于N');
end
x=[x,zeros(1,N-length(x))];
n=[0:1:N-1];
y=x(mod(n-m,N)+1);

• 函数（1）x(n)⑤y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,5);%用函数circonv计算N1点圆周卷积
ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);%画图
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');

• 函数（2）x(n)⑥y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,6);%用函数circonv计算N1点圆周卷积
ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');

• 函数（3）x(n)⑨y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,9);%用函数circonv计算N1点圆周卷积
ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');

• 函数（4）x(n)⑩y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,10);%用函数circonv计算N1点圆周卷积
ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');

思考题：
①圆周卷积与线性卷积的关系：
若有x1(n)与x2（n）两个分别为N1与N2的有限长序列，则它们的线性卷积y1（n）为N1+N2-1的有限长序列，而它们的N点圆周卷积y2（n）则有以下两种情况：1，当N<N1+N2-1时，y2（n）是由y1（n）的前N点和后（N1+N2-1-N）点圆周移位后的叠加而成；N> N1+N2-1时，y2（n）的前N1+N2-1的点刚好是y1（n）的全部非零序列，而剩下的N-(N1+N2-1)个点上的序列则是补充的零。
②线性卷积运算步骤：
求x1(n)与x2（n） 的线性卷积：对x1(m)或x2（m）先进行镜像移位x1（-m），对移位后的序列再进行从左至右的依次平移x(n-m),当n=0,1,2.…N-1时，分别将x(n-m)与x2（m）相乘，并在m=0,1,2.…N-1的区间求和，便得到y（n）
③圆周卷积运算步骤：
圆周卷积过程中，求和变量为m，n为参变量，先将x2(m)周期化，形成x2((m))N,再反转形成x2((-m))N,取主值序列则得到x2((-m))NRN(m),通常称之为x2(m)的圆周反转。对x2(m)圆周反转序列圆周右移n,形成x2((n-m))NRN(m),当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到圆周卷积y(n)。
④用圆周移位代替线性移位的好处：
时域圆周卷积在频域上相当于两序列的DFT的相乘，而计算DFT可以采用它的快速算法——快速傅立叶变换（FFT），因此圆周卷积和线性卷积相比，计算速度可以大大加快。

实验总结：
通过本次实验，我掌握了线性卷积与圆周卷积软件实现的方法，并验证了两者之间的关系，同时，通过上机调试程序，进一步增强了我使用计算机解决问题的能力。在编程过程中照葫芦画瓢是没有用的，只有真正理解程序中的精华与奥妙，才能真正掌握，把书本上的知识转换为自己的知识。