资源描述
《计算机数学基础(1)》第四单元辅导
本单元重点：欧拉图和哈密顿图、平面图和树的基本概念. 代数运算及性质，群的概念，交换群和循环群.
一、重点内容
1. 欧拉图
h 欧拉通路(回路)与欧拉图 通过图G的每条边一次且仅一次，而且走遍每个结点的通路(回路)，就是欧拉通路(回路). 存在欧拉回路的图就是欧拉图.
欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复. 笔不离开纸，不重复地走完所有的边，且走过所有结点，就是所谓的一笔画.
h欧拉图或通路的判定
(1) 无向连通图G是欧拉图ÛG不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数):(定理1)
(2) 非平凡连通图G含有欧拉通路ÛG最多有两个奇数度的结点；(定理1的推论)
(3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)ÛD中每个结点的入度＝出度
连通有向图D含有有向欧拉通路ÛD中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg－(u)－deg＋(v)＝±1. (定理2)
2. 哈密顿图
h哈密顿通路(回路)与哈密顿图 通过图G的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，就是哈密顿通路(回路). 存在哈密顿回路的图就是哈密顿图.
判断哈密顿图是较为困难的.
h哈密顿图的充分条件和必要条件
(1) 在无向简单图G=<V,E>中½V½³3,任意不同结点,则G是哈密顿图.(充分条件，定理4)
(2) 有向完全图D＝<V,E>, 若，则图D是哈密顿图. (充分条件，定理5推论)
(3) 设无向图G=<V,E>,"V1ÌV，则P(G－V1)£½V1½(必要条件，定理3)
若此条件不满足，即$V1ÌV，使得P(G－V!)>½V1½,则G一定不是哈密顿图(非哈密顿图的充分条件).
3.平面图
h 平面图 一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交.
面、边界和面的次数 由连通平面图G的边围成的其内部不含G的结点和边的区域是面，常用r表示. 围成面的各边组成的回路是边界. 边界回路的长度是面的次数，记作deg(r).
h重要结论
(1)平面图(所有面的次数之和＝边的2倍)(定理6).
(2)欧拉公式：平面图 面数为r，则(结点数与面数之和＝边数＋2)(定理7)
(3)平面图(定理8)
h判定条件：图G是平面图的充分必要条件是G不含与K3，3或K5在2度结点内同构的子图.
4. 树
h树 连通无回路的无向图.
h树的判别 图,T是树的充分必要条件是(六个等价定义) (定理14):
(1) T是无回路的连通图； (2) 图T无回路且m＝n－1；
(3) 图T连通且m＝n－1
(4) 图T无回路，若增加一条边，就得到一条且仅一条回路；
(5) 图T连通，若删去任一边，G则不连通；
(6) 图T的每一对结点之间有一条且仅有一条通路.
h生成树 图G的生成子图是树，该树就是生成树.
h权与带权图 n个结点的连通图G，每边指定一正数，称为权，每边带权的图称为带权图. G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权，记作W(T).
h最小生成树 带权最小的生成树.
h有向树 有向图删去边的方向为树，该有向图就是有向树.
h根树与树根 非平凡有向树，恰有一个结点的入度为0(该结点为树根)，其余结点的入度为1，该树为根树.
h每个结点的出度小于或等于2的根树为二元树(二叉树)；每个结点的出度等于0或2的根树为二元完全树(二叉完全树)；每个结点的出度等于2的根树称为正则二元树(正则二叉树).
h哈夫曼树 用哈夫曼算法得到的最优二叉树.
v4h hv5 Eh h F
h
A
v2h h v3 Bh h C
hv1 h D
（a） (b)
图6－1
4. 有关树的求法
h生成树的破圈法和避圈法求法；
h最小生成树的克鲁斯克尔求法；
h哈夫曼树的哈夫曼求法.
二、实例
例6.1 判别图6－1的两幅图
是否可以一笔画出？
解 在图6－1(a) 中，
deg(v1)=deg(v2)=deg(v3)＝3
有两个以上的结点的度为3. 故在(a)中不存在欧拉通路，不能一笔画出.
在图6－1(b) 中，deg(A)=2, deg(B) =deg(C)= deg(D)=4，deg(E) =deg(F)=3
只有两个奇数度的结点，所以存在欧拉通路，可以一笔画出. 一条欧拉通路，如EDBEFCABCDF.
v1h
v1h d h v4
v2h h v5 f h
a g e c
v3 h h v4 v2 h b h v3
D1 D2
图6－2
例6.2 判定图6－2中，两个图是否有欧拉回路？若有请把欧拉回路写出来.
解 在图D1中，v1点的出度为2，
入度为0； v5的出度为0，入度为2，
且这两点出度与入度之差不等于±1，
所以，图D1不存在欧拉通路，图D1
不是欧拉图.
图D2中，各个结点的出度、入度
都相等2，所以存存欧拉回路，图D2
是欧拉图. 一个欧拉回路为v1 a v2 b v3 f v1 e v3 c v4 h v2 g v4 dv1
例6.3 指出图6－3各图是否哈密顿图，有无哈密顿通路， 回路？
解 (1) 容易判断，存在哈密顿回路，故是哈密顿图.
(2) 只有哈密顿通路，无哈密顿回路，故不是哈密顿图.
(3) 无哈密顿通路，显然不是哈密顿图.
i h h
h h h h h h h h
h h h
(1) (2) (3)
图6－3
例6.4 画出具有下列条件的有5个结
点的无向图.
(1) 不是哈密顿图，也不是欧拉图；
(2) 有哈密顿回路，没有欧拉回路；
(3) 没有哈密顿回路，有欧拉回路；
(4) 是哈密顿图，也是欧拉图.
解 作图如图6－4(不唯一).
h h h h h h h
h h h h h
h h h h h h h h
(1) (2) (3) (4)
图6－4
例6.5 判断图6－5是否为平面图？
解 在G中，将(v1,v4)和(v3,v4)
改画成如虚线所示.可见G是平面图. v1h
例6.6 在具有n个结点的完全
图Kn中，需要删去多少条边才能 v2h h v3
.得到树？
v4h h v5
G
图6－5
解 n个结点的完全图共有条边，而n个结点的树共有n－1条边. 因此需要删去
条边后方可得到树.
例6.7 设G是图，无回路，但若外加任意一条边于G后，就形成一回路. 试证明G必为树.
b ·
23 1 15
c· 25 · a 4 · f
28 9 16 3
d · 15 · e
图6－6
证明 由树的定义可知，只需证G连通即可. 任取不相邻两点u,v, 由题设，加上边<u,v>就形成一回路，于是去掉边<u,v>,从u到v仍有路u,…,v，即u,v连通，由u,v的任意性可知，G是连通的，故G必是树.
例6.8 如图6－6是有6个结点a,b,c,d,e,f
的带权无向图，各边的权如图所示. 试求
其最小生成树.
解 构造连通无圈的图，即最小生成树，
.用克鲁斯克尔算法：
第一步： 取ab＝1；第二步： 取af=4；第三步： 取fe=3；第四步： 取ad=9；
b ·
23 1
c· · a 4 · f
9 3
d · · e
图6－7
第五步： 取bc=23.
如图6－7。权为1+4+3+9+23=30
例6.9 单项选择题
1.无向图G是欧拉图，当且仅当( )
(A)G的所有结点的度数为偶数
(B) G的所有结点的度数为奇数
(C) G连通且所有结点的度数为偶数 (D) G连通且所有结点的度数为奇数
答案：(C)
解答：见本单元定理1.
2. 设为连通平面图且有r个面，则r＝( )
(A) m－n+2 (B) n－m－2 (C) n+m-2 (D) m+n+2
答案：(A)
解答：见定理7欧拉公式.
3. 设G是5个结点的无向完全图，则从G中删去( )条边可以得到树.
(A) 4 (B)5 (C)6 (D)10
答案：(C)
解答：删去边的公式为. 故选择(C)正确.
4. 在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 4
答案：(B)
解答：二元完全树，即每个结点只有0个或2树枝的树，树根必有2个树枝，于是2个树枝只能其一又有2个树枝，而另一个就无树枝. 满足5个结点4条边. 可见有3片树叶. 选择(B)正确.
一般地，在二元完全树中，有m条边，t片树叶，则有m=2(t－1)
5. 图6－8是( )
(A) 完全图 (B)欧拉图 (C) 平面图 (D) 哈密顿图 h h h
h h h
图6－8
答案：(D)
解答：因为n=6, 每对结点度数之和
大于或大于6，满足存在哈密顿回路的条
件，故为哈密顿图. 选择(D)正确.
例6.10 填空题
1.设G是完全二叉树，G有15个结点，
其中有8个是树叶，则G有 条边，G的总度数是 ，G的分支点数是 ，G中度数为3的结点数是 .
答案： 14； 28； 7； 6.
h
h h
h h h h
hhhhhhhh
图6－9
解答：可画图如图6－9. 有8个树叶，15个结点的完全二叉树，
2. 连通有向图D含有欧拉回路
的充分必要条件是
答案：D中每个结点的入度＝出度.
解答：见欧拉回路的判断方法，定理2.
3. 设G是n个结点的简单图，若G中每对结点的度数之和 ，则G一定是哈密顿图.
答案：大于或等于n
解答：见定理4.
4.设G是有n个结点，m条边的连通图，要确定G的一棵生成树，必须删去G的 条边.
答案：m－n+1
解答：见生成树的破圈或避圈求法.
5. 一个有向树T称为根树，若 ，其中 ，称为树根，
称为树叶.
答案：若有向图T恰有一个结点的入度为0，其余结点入度为1；入度为0的结点；入度为1的结点.
解答：见根树、树根、树叶的定义.
三、练习题
1. 在图6－10中，哪些是欧拉图？哪些是哈密顿图？哪些是平面图？
h
h h h
h h
h h
h h h
h
h h
h h
h h
h h
(4)
h h
h h h
h h
(3)
h
h h h h
h h h h
h
(5)
h h
h h
h h
h h
h h
(2)
hu
h h h
hv
(1)
(6)
图6－10
2. 设G是平面图，并且G的所有面的次数均为3，证明
其中e是G的边数. v是G的结点数.
3. (1)设G是无向图，
1
1 2
3 4
如图6－11(1)，说明G不 a 3 d
是欧拉图；
(2) 求带权图，如图
6－11(2)的最小生成树. 5 e 6
4.将平面图G1，G2(如图6－
－12) 改写成不相交的形式.
b c
. (1) (2)
5. 已知有向图D的邻接矩阵为 图6－11
h h h h
h h
h h h
h h h h
G1 G2
图6－12
试作出D的图，并求关联矩阵
6. (1)在1棵有2个2度结点，4个3度结点，
其余为树叶的无向树中，应该有几片树叶？
(2) 画出两棵不同构的满足条件(1)的结点度数的无向树T1，T2.
7.设G＝<V,E>是有p个结点，s条边的连通图，则从G中删去多少条边，才能确定图G的一棵生成树？
l l
l l l
l
图6－13
8. 求图6－13图G的对偶
图.
9.画出满足下列条件的图：
(1) 画一个有一条欧拉回路和一条哈密顿回路的图；
(2) 画一个有一条欧拉回路，但没有哈密顿回路的图；
(3) 画一条没有欧拉路，但有一条哈密顿回路的图.
四、练习题答案
1. (1)的图记作G1，从G1中删去结点u,v，得到G1的三个连通分支，有
由定理3的逆可知，G1不是哈密顿图. 由于它是连通的，且无奇数度结点，由定理1可知，它是欧拉图，显然是平面图；
(2) 是平面图. 由于它非连通，所以它不是欧拉图. 也不是哈密顿图；
(3) 是平面图. 因为无回路，所以它不是欧拉图，也不是哈密顿图；
(4) 是平面图. 因为奇数度的结点超过2个，根据定理1的推论，该图不是欧拉图；在图中容易找到一条哈密顿回路，故是哈密顿图；
(5)是平面图. 因为无奇数度的结点，所以是欧拉图，又因为可以找到一条哈密顿回路，所以是哈密顿图.
(6)不是平面图. 又奇数度的结点多于2个，所以它不是欧拉图，可以找到一条哈密顿回路，是哈密顿图.
2. 因为G的所有面的次数为3，因此对G的任意面r，有
deg(r)=3
从而，
又根据定理6，G的所有面的次数之和等于其边数的2倍，即
即
代入欧拉公式 ，
2. (1) 因为G中各结点均为奇数度，由欧拉图的充分必要条件知，G不是欧拉图.
(2)最小生成树为T1＝<{a,b,c,d,e}，{(a,e),(d,e),(b,e),(b,c)}> 或用图形表示，如图6－14.
a d
h h h h
h h h
h h
h h h h
G1 G2
图6－ 15
e
b c
图6－14 第3(2)题解答图
v2h e1 hv1
e2 e4 e5
hv5
v3h e3 hv4
图 6－16
4. 改写后的图，如图6－15
5. 图形如图6－16
M(D)=
6. (1)设有k片树叶，则该树有k+2+4个结点，根据树的等价定义，有k+5条边. 由握手定理，2×(k+5)=k+2×2+4×3＝k+16,故k=6. 即有6片树叶.
(2) 如图6－17 l l l l
l l l l l l
l l l l l l l l l l l l l l
T1 T2
不惟一. 图6－17
7. s－p+1 8.答案图如图6－18的虚线图.
图 6－18
9. (1)有一条欧拉回路和一条哈密顿回路的图，如图6－19(a)
h h h h h
h
h h h h h
h h h h h h
(a) (b) (c)
图6－19
(2)有一条欧拉路，但没有哈密顿回路的图，如图6－19(b)
(2) 画一条没有欧拉路，但有一条哈密顿回路的图，如图6－19(c)
一、重点内容
1.代数运算及其性质
h二元运算，非空集合A上的函数(映射) f：A2=A×A®A就是A上的二元代数运算.
就是说二元运算是一个变换(对应关系).
h代数运算(用*,,,等表示)的性质
交换律 "x,yÎA，有xy=yx
结合律 "x,yÎA，有(xy)z＝xyz)
分配律 "x,y,zÎA，有x*(yz)=(x*y) (x*z) 或(yz)*x=(y*x)(z*x)
幂等律 "xÎA，有xx=x
吸收律 "x,yÎA, 有x*(xy)=x, x(x*y)=x
h运算的特殊元素
单位元 el (或er)ÎA，对"xÎA, 有elx=x (xer=x), el(或er)是A的运算的左单位元(或右单位元). e既是右单位元又是左单位元就是单位元.
一般地，满足交换律的运算，才存在单位元.
逆元 对xÎA，若x－1ÎA, 有x－1x=xx－1=e(单位元)，x－1是x的逆元.
h代数系统 在非空集合A上，定义了若干代数运算f1,f2,…,fm, (A, f1,f2,…,fm)称为代数系统. 若BÍA，f1,f2,…,fm在B上成立，(B, f1,f2,…,fm)称为子代数系统.
2. 群及其性质
h代数系统
注意：由上可见，代数系统、半群、群(子群)是一条线下来，条件逐步加强，半群和群是我们讨论的重点.
h群的性质：(1) (a－1)－1=a; (2) (a*b)－1=b－1*a－1; (3) am*an=am+n;
(4) (am)n=amn; (5)方程a*x=b的解为x=a－1*b或y*a=b的解为x=b*a－1(唯一)；
(6) a*c=b*c或 c*a=c*b，可得a=b(消去律).
3. 特殊群
h交换群，群(G,*)的二元运算*满足交换律，(G,*)是交换群(阿贝尔群) .
h循环群，群G能表成
G={ak½kÎZ，aÎG}
G是循环群. 记作G＝(a)，a是群G的生成元.
h变换群 设A是一个非空集合，A上的所有一一变换构成的集合E(A), 对于变换乘法E(A)构成一个群，称为集合A上的一一变换群. E(A)的子群称为变换群.
h置换群，n元集合M上的所有n元置换Sn，关于置换合成(乘法)构成n元对称群，它的子群叫置换群.
4. 置换
h置换，有限集合M＝{a1,a2,…,an}上的双射s：M®M，叫n元置换
h置换复合(乘法)，设,
那么
h单位置换，
h逆置换，s－1=
n元集合M上的n元置换有n!个，有n元置换构成的集合，记作Sn.
h轮换，满足：(1)s(a1）=a2, s(a2）=a3, …,s(am）=a1； (2)s(a)=a，当a¹ak,(k=1,2,…,m)时，则s是一个长度为m的轮换，记作(a1,a2,…,am).
h重要结论：置换有结合律；不相交的轮换有交换律；Sn中任一置换都可以唯一地表示成一系列不相交的轮换之积.
5. 同态与同构
h同态，代数系统(G,*)和(S, °)，f是从G到S上的一个映射. "a,bÎG，有
f(a*b)=f(a) °f(b)
则称f是由(G,*)到(S, °)的一个同态映射. 并称G与S同态. 如果f 是满射，则称G与S是满同态，记作G～S；如果f是单射，则称G与S是单同态.
(f(G), °)称为(G,*)在f下的同态象..
h同构，代数系统(G,*)和(S, °)，如果f是从G到S的一个双射，则称f是从G到S的同构映射，G与S同构，G≌S.
h群的同态与同构，设(G,*)和(S, °)群，若存在同态、单同态、满同态映射f：G®S，则群G与S是同态、单同态、满同态；若存在从(G,*)到(S, °)的同态双射，则称群(G,*)与(S, °)同构，Q≌S..
二、实例
例7.1 通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由.
(1) A={1,2} (2)
(3) (4)
解 (1) 乘法运算不是A上的二元运算，因为2×2＝4ÏA，×在A上不封闭.
(2) 乘法运算不是B上的二元运算，因为素数乘素数不一定是素数，如2×3＝6ÏB.
(3) 乘法运算是C上的二元运算，因为偶数乘偶数仍然是偶数.
(4) 乘法运算是D上的二元运算，因为对任意有且m,nÎN.
在集合A上定义的运算，也称该运算在A上封闭.
例7.2 实数集R上的下列二元运算是否满足结合律和交换律？
(1) ,； (2) ,
解 (1) 因为
所以 ，因此，运算*满足结合律.
又，所以运算*满足交换律.
(2) 因为
=
一般情况下，，所以运算不满足结合律.
而，所以运算满足交换律.
例7.3 在例7.2中，运算*是否有单位元和幂等元？若有单位元的话，哪些元素有逆元？
解 运算*的定义为：.
(1) 若e是单位元，则对任意元素rÎR,有
由于运算*是可交换的，仅考虑，即
于是
由r的任意性，要使上式成立，只有e=0. 因此0是运算*的单位元.
若rÎR是幂等元，则应有r*r=r, 即
于是
要使上式成立，只有r=0或r=1. 因此0或1是运算*的幂等元.
在实数域R上的二元运算*只有幂等元，没有幂等律.
(2) 设r－1是r(ÎR)的逆元，则应有
r*r－1=r＋r－1－rr－1＝0 (*的单位元)
于是
因此，对于R中的任何元素r(只要r¹1)均有逆元，其逆元是(元素1无逆元).
例7.4 设R是实数集，定义R上的二元运算为
试问R与运算是否为半群？
解 显然，故二元运算在R上封闭.
只需验证是否满足结合律. ，
所以
故(R,)是半群.
例7.5 设B是任意集合，试验证(P(B),Å)是群. P(B)是B的幂集，Å是对称差运算，
证明 对任意集合C，D，EÎP(B)，有
所以(Å运算满足结合律请参考教材P73的运算律(12))，故(P(B),Å)是半群.
任意
所以Æ是二元运算Å的单位元.
，二元运算Å的逆元是它自身，存在逆元.
可见，(P(B),Å)是群.
例7.6 设集合B＝{1,2,3,4,5},令A＝{1,4,5}ÎP(B),求证由A生成的子群((A),Å)是(P(B),Å)的子群，其中(A)＝{A,Æ}. 并求解方程AÅX＝{2,3,4}.
解在(A)上封闭. ÌP(B).
因为
可知，运算Å在(A)上满足结合律，又Æ是Å的单位元，A，Æ的逆元是自身. 可知((A),Å)是群，因为(A)={A,Æ}ÍP(B)，所以((A),Æ)是(P(B),Å)的子群.
因为A－1＝A，解AÅX＝{2,3,4}，有
例7.7 设群中每个元素的逆元素就是其自身，则G是一个交换群.
证明 ，于是
所以G是一个交换群.
例7.8 设M＝{1,2,3 },s是M的一个置换
s＝，t＝
求s2，st，ts，t－1.
解 由置换的乘法
s2=·=，st=·=
ts=·=， t－1=()－1=
例7.9 设G＝{1，－1，i，－i}，其中i是虚数单位，证明(G,·)是循环群.
证明 易验证运算·在G上封闭，而且满足结合律、交换律.
1是运算·在G上的单位元；又
即G的逆元存在.
所以(G,·)是群且是交换群.
因为，故i是它的生成元，G＝(i). G是循环群.
例7.10 对于下面给定的群G1和G2，函数f：G1®G2，判断f是不是群G1到G2的同态，如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像f(G1).
(1) ,其中＋，·是数的加法和乘法，R*是非0实数集.
(2) ,其中＋，·是数的加法和乘法，
，其中C是复数集,
(3) ,其中·，＋是数的加法和乘法，
解 (1)
总之，f(a+b)=f(a)f(b),所以f是同态函数.
因为任何偶数，都映射为1，故f不是单射；又Ran(f)={1,－1}ÌR*，故f不是满射.
f(G1)={1,－1}
故f=cosx+isinx是同态函数.
容易验证，所以，f(x)=
cosx+isinx是单射. x取值可数个，而A是单位圆上的连续点，不是满射. 所以f(Z)ÌA，f(x)
=cosx+isinx不是满射.
(3)
故f=lnx是同态函数.
又因为f(x)=lnx是严格单调函数，只要，所以，f=lnx是单射.
再由f(R+)=R,故f=lnx是满射，
最后得到是双射.
R＋的像，f(R+)=R
例7.11 单项选择题
1. 设集合A＝{1,2,3,…,10},在集合A上定义的运算，不是封闭的为( )
(A) "a,bÎA, a*b=lcm{a,b}(最小公倍数) (B) "a,bÎA, a*b=gcd{a,b}(最大公约数)
(C)"a,bÎA, a*b=max{a,b} (D) "a,bÎA, a*b=min{a,b}
答案：(A)
解答：在(A)中，取5,7ÎA,lcm{5,7}=35ÏA,故选择(A)正确.
说明：在(B)中，A中任意两个数的最大公约数为1ÎA，故运算封闭.
在(C)，(D)中，A中任意两个数的最大和最小者，都在1，10之间，仍然是A的元素，故运算封闭.
2. 在自然数N上定义的二元运算·，满足结合律的是( )
(A) a·b=a－b (B) a·b=a+2b (C) a·b=max{a,b} (D) a·b=½a－b½
答案：(C)
解答："a,b,cÎN,
对于(A),有(a·b)·c=(a－b)·c=a―b―c，而a·(b·c)=a·(b－c)=a－b+c
对于(B),有(a·b)·c=(a+2b)·c=a+2b+2c，而a·(b·c)=a·(b+2c)=a+2b+4c
对于(C),有(a·b)·c=max{a,b)·c=max{a,b,c}，而a·(b·c)=a·max{b,c}=max{a,b,c}，故选择(C)正确.
3. 下列代数系统(G,*)中，其中*是加法运算. ( )不是群.
(A) G为整数集合 (B) G为偶数集合 (C) G为有理数集合 (D) G为自然数集合
答案：(D)
解答：代数系统能构成群，须满足：二元运算满足结合律、存在单位元和逆元.
因为*为加法运算，在(A),(B),(C)中，加法运算满足结合律，单位元为0，任意元素a的逆元为－a. 故是群.
在(D)中除元素0有逆元是它自身外，其它元素没有逆元，故不能构成群. 选择(D)正确.
例7.12 填空题
1. 在代数系统(N,+)中，其单位元是 ， 有逆元.
答案：0；仅有单位元0.
解答：单位元，即存在eÎN，使得"nÎN,有n+e=e+n＝n,对于N，只有数0满足此条件,故在N中运算“＋”的单位元为0.
"nÎN,有n+(－n)=(－n)+n＝0=e,但－nÏN，只有0ÎN，又满足条件. 故只有单位元“0”有逆元.
2. 设A是非空集合，集合代数(P(A)，È，Ç)中，P(A)对运算È的单位元是 ， P(A)对运算Ç的单位元是 .
答案：Æ；A.
解答：对运算È，只有Æ满足任意集合C，有CÈÆ＝ÆÈC＝C，故È的单位元是Æ.
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