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椭圆中的焦点三角形及其计算
郑州市 李三胜
由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作为焦点三角形.与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算
例1 椭圆上一点到焦点的距离之差为2，试判断的形状.
解：由椭圆定义：.
又，故满足：故为直角三角形.
说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功.
例2 椭圆上的一点与两焦点所成的角，求证：的面积为.
证明：设则由椭圆第一定义有：.则余弦定理得：

.
.
说明：充分利用了定义、余弦定理、面积公式.
二．有关焦半径的计算
如图，椭圆的两个焦点是椭圆上任一点，则有：.
证明：由椭圆第二定义得：
；
.
椭圆上任一点到两个焦点的距离，分别称为左、右焦半径.为焦点三角形的两边.
例3 已知椭圆为其左右两个焦点.问能否在椭圆上找到一个点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，求出该点坐标，若不存在，说明理由.
解：不存在.下面说明理由：
假设存在适合题义的点.设点，则
.
这不可能，故所求点不存在.
说明：对于探索性问题，应先回答其是否存在，再说明理由.
三．有关离心率的计算
例4 椭圆的两个焦点在焦点中：
①则(为离心率)；
②则
证明：设，则在中.①由余弦定理得：

.
即：.
②由正弦定理得：
.
故：
说明：三角形内的问题会涉及正余弦定理，及有关概念，在解题时要细细体会.