状态空间与simulink仿真.doc

考虑以下系统

对系统设计一个状态反馈控制器使得闭环阶跃响应的超调量小于5%，且在稳态值1%范围的调节时间小于4.6S。
主导二阶极点方法配置极点
分析：
超调量小于5%，即

算得
稳态值1%范围的调节时间小于4.6S，即

下面首先对系统的能控性进行判断，以编程方式实现
a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];
b=[2;0;1]; %输入a，b矩阵
q=[b a*b a^2*b]
rank(q)
计算结果为

q的秩为3
因此该系统为完全能控型系统，在满足系统要求的前提下，理论上能任意配置期望极点

下面根据具体的求解思路进行编程求解反馈控制器k

g=poly(a); %求原系统的特征方程
a2=g(2);a1=g(3);a0=g(4);
w=[1 0 0;a2 1 0;a1 a2 1];
q1=[a^2*b a*b b];
p=q1*w; %求解转换矩阵
deta=1;
zeta=0.75;
wn=deta/zeta; %输入满足条件的ζ和δ
den=conv([1 4],[1 2*deta wn^2]); %输入期望极点（-4,-1±0.88i）
aa2=den(2);aa1=den(3);aa0=den(4);
k=[aa0-a0 aa1-a1 aa2-a2];
k1=k*(inv(p)) %输出配置矩阵k
得到
下面对系统进行验证，是否满足条件
ahat=a-b*k1;
bhat=b;
chat=[1 0 0];
dhat=0;
sys=ss(ahat,bhat,chat,dhat);
step(sys,'r');
sys1=ss(a,b,c,d);
hold on;
grid on;
step(sys1,'.-');

（其中sys1为未加控制器的原系统）
由图可知，系统在进行配置之前并未满足系统要求，在增加控制器之后，系统要求得到满足。

对称根轨迹（SRL）方法配置极点
将SRL方程写成标准的根轨迹形式

由此，我们需要先将上面的状态空间形式转换为传递函数形式，编程实现如下：
a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];
b=[2;0;1];
c=[1 0 0];
d=0;
[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)

num=[ 0 2.0000 2.0000 -2.0000]
den=[1.0000 3.0000 5.0000 5.0000]

下面再画出根轨迹图，寻找满足条件的ρ

num1=conv([2 2 -2],[2 -2 -2]); %此处计算的参数根据num(s)和num（-s)
den1=conv([1 3 5 5],[-1 3 -5 5]); %此处计算的参数根据den(s)和den（-s)
sys1=tf(num1,den1);
rlocus(sys1); %画根轨迹图
grid on;

根据系统要求 和

如图所示，配置的极点将满足系统要求，现选取两组进行验证
1. ρ=2
p1=[-2.09 -1.42+0.845*1i -1.42-0.845*1i];
k1=acker(a,b,p1)
得k1=[ 0.7079 0.1931 0.5143]
如上题所写程序画出响应图（其中sys1为未加控制器的原系统）

2. ρ=3
得k1=[ 0.9271 0.2769 0.6857]
作出响应图如下（其中sys1为未加控制器的原系统）

将两个不同的ρ值阶跃响应图进行对比（sys2为ρ=3，sys为ρ=2）

有比较可知：较小的ρ值的响应速度较慢，较大的ρ值响应速度快。

全阶观测器的设计
首先检验系统的是否完全能观
a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];
c=[1 0 0];
q=[c;c*a;c*a*a]
rank(q)

rank(q)=3
说明系统是完全能观的

下面就是观测器期望极点选择，一般为了考虑观测器的响应速度要比闭环系统快，又要考虑干扰抑制，一般极点为闭环极点的2---5倍。

根据主导二阶极点方法所配置的极点为s1=-4 s2,3=-1±0.88i
选择观测器极点为s1=-12 s2,3=-3±0.88i

由此可进一步求出观测器增益矩阵l
a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];
c=[1 0 0];
pe=[-12;-3+0.88*i;-3-0.88*i];
lt=acker(a',c',pe);
l=lt'

求得l=[15;1.872;-25.2592];

可得全维观测器的方程为

下面可依据上式构建simulink图，据此观察观测器的跟踪能力

跟踪效果图如下

X1

X2

X3

据此发现观测器跟踪效果较好。
降阶控制系统设计
从输出方程可以看出，此系统输出就等于第一个状态，即变换矩阵P为单位阵，而最小阶观测器的阶次为2。

最小阶观测器的期望特征根选为-3±0.88i

据此求观测器增益
a22=[-1 1;0 -1];
a12=[-2 -2];
pe=[-3+1i*2*7^(1/2)/3;-3-1i*2*7^(1/2)/3];
lt=acker(a22',a12',pe);
l=lt'

求得

得到
引入中间变量

得最小阶观测器的状态方程为

下面可依据上式构建simulink图，据此观察观测器的跟踪能力

X2

X3

由上面可见，观测器跟踪能力较好。
带反馈观测系统的设计
由分离定理可知，观测器与反馈可单独设计，互不影响。
反馈
l=[15;1.872;-25.2592]

下面可依据上式构建simulink图，据此观察观测器的跟踪能力

其中Gain7为增益调整设计
a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];
b=[2;0;1];k1=[1.4778 1.6444 0.0444];
y=a-b*k1;
c=[1 0 0];
d=0;
k=1/dcgain(y,b,c,d)
k=-3.5554
或使用书本上的参考输入法计算k

结果相同
下面看一下系统输出对阶跃的跟踪曲线

一开始出现较大误差，但还是能跟踪上阶跃。
下面再看看系统对白噪声干扰的抑制能力

由上图可见，系统的抗干扰能力一般。

积分控制器的设计
积分控制相当于增加了额外状态，状态方程变为

由题意可知
原系统可等价于

积分控制器的极点配置为s1=-12 s2,3=-3±0.88i s4=-4
利用编程求出k
a=[0 1 0 0;0 -1 -2 -2;0 0 -1 1;0 1 0 -1];
>> b=[0;2;0;1];
>> pe=[-12;-3+0.88*i;-3-0.88*i;-4];
>> k=acker(a,b,pe)

K=[-234.5856 -77.4275 77.3805 173.8550]
构建simulink图有

分别加入两个阶跃，先加step1，阶跃图有

再加入step,响应图有

在一起加step和step1，响应如图

由此可见，积分控制系统对于干扰有很好的抑制作用，并且具有很好的跟踪效果，动态特性也相对于简单的参考输入设计有了一定的改善。

总结
从以上的设计可总结出状态空间的控制器的设计思路。
1. 首先对观测器的能观性与能控性进行判断；
2. 如果完全能观或能控，则进行以下分析；如果不是，可以进行能控与能观分解出来；
3. 如果使用原系统状态反馈，可以根据系统要求进行极点配置，进而设计出控制器；如果还需要设计观测器，可合理配置观测器极点，进而设计整个系统。
4. 如果使用观测器状态反馈，由于分离定理，观测器与反馈可分别设计，所以设计过程基本和上面一样；
5. 对于以上系统都存在较大的余差，故需设计参考输入，或者采取积分控制器都可以很好的消除稳态余差。