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浅析中考中的动点问题
厦门市刘五店中学 黄栋
内容摘要：中考数学命题中，动点问题常以压轴题频频出现。针对此类难题，教师要善于从历年试题分析中总结其解题方法与技巧，结合学生实际学情，用直观演示，动静结合，数形结合，讲练结合等方式，有针对性地循序渐进地指导学生分析解决此等类似问题，提高其审题与解题的能力。
关键词：动点 运动 以静制动 动中求静 以动制动 数形结合 分类讨论

动点问题一般是指在一个几何图形的背景下,一个或两个点在运动过程中构成了新的几何图形,由此而产生的问题。它往往考查学生对图形把握的直觉能力、空间想象能力以及从变化中看到不变的数学洞察力，培养学生用运动变化的观点看待周围世界，以及特殊与一般、动与静的辩证观点。初中《新课标》在数学教学目标中提出：数学教学要注重过程与方法，动点问题恰好具有这种特点，同时，它还是初高中数学知识衔接的重要体现；也是数学源于生活，又用于生活的一种体现。因此，它在近几年中考题中频频出现也就不足为奇了。那么，作为一名数学教师，该怎样指导你的学生面对这一难题呢？现在，我就以一线从教多年的经验，谈谈我的研究与心得。
一，动点问题的解题方法
解动点问题主要有以下方法：
第一，“以动窥静”，“以静制动”。辨证唯物主义认为：运动是无条件的、绝对的，静止是有条件的、相对的，动中有静，静中有动，世界上一切事物的存在和发展，都是绝对运动和相对静止的统一。动点问题中也存在运动和静止的相对统一关系。这时需要善于用动态思维来分析，不被“动”所迷惑，通过观察、分析、探究，把动态问题转化为静态的问题来解决，从而找到问题的突破口。通常，可以找出动点运动中符合题意的某一阶段的一瞬间，画出相对应的图形（以动窥静），再从一瞬间对应的图形出发，研究其中的特点，解答出问题（以静制动）。
例1，如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90 º，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，问：当t分别为何值时，（1）点P，Q两点的距离最短；（2）四边形PQCD为平行四边形？
解：（1）当PQ⊥BC时，点P，Q两点的距离最短，
∵∠A=∠B=90°，∴四边形ABQP是矩形。
∴AP=BQ ∵AP=t∴，BQ=26－3t
∴t=26－3t，解得：t =13/2
∴当t =13/2时，点P，Q两点的距离最短。
（2）当四边形PQCD为平行四边形时，有PD=CQ
∵PD=24－t，CQ=3t,
∴24－t=3t，解得：t =6 ∴当t =6秒时，四边形PQCD为平行四边形
点评；此题是典型动点问题，初看似乎与静止无关，实际上该问题的解决恰好运用了“以动窥静”，“以静制动”，随着P、Q两点的运动，四边形PQCD会出现几种临界状态：一般梯形、平行四边形、一般梯形、直角梯形、一般梯形、等腰梯形、一般梯形，找到对应的几种静止状态下某几条线段之间的大小关系：一般梯形（PD＞CQ），平行四边形（PD=CQ），一般梯形（PD＜CQ），直角梯形（AP=BQ），一般梯形（PD＜CQ），等腰梯形（PD＜CQ且AP-BQ=BC-AD），一般梯形（PD＜CQ）。第（1）题中四边形POCD对应状态是直角梯形（AP=BQ）第（2）题中四边形POCD对应状态是平行四边形（PD=CQ）。解决这类形题一般只要理解动点运动的整个过程，找出动点运动过程中的各种临界状态，画出相对应图形，理清各种临界状态变量之间关系，根据方程和函数就可解决。
第二，动中求静。很多动点问题中，往往蕴含不变的图形，不变的量，如果抓住了这些不变的图形，不变的量，就能以不变应万变，立于不败之地。
例2，在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．
　　（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD 的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．
解；（1）图①有BE－DF=EF；图②有DF－BE =EF；图③有BE+DF=EF。
（2）以图①中BE－DF=EF为例证明：
∵BE⊥PA、DF⊥PA，
∴∠AEB=∠AFD=90°
∴∠DAF+∠ADF=90°
∵∠DAF+∠BAE=∠BAD=90°
∴∠ADF=∠BAE
∵AB=AD
∴△ABE≌△DAF
∴AE=DF，BE=AF
∴BE－DF=AF－AE=EF
点评：解本题的关键是：找到不变量△ABE≌△DAF。从图中，观察可发现：无论P点如何变化，总有△ABE≌△DAF，从而有AE=DF，BE=AF再结合图形，可知图①有BE－DF=AF－AE=EF；图②有DF－BE=AE－AF=EF；图③有BE+DF=AF+AE=EF。
第三，以动制动。有的动点问题需要研究两个变量之间的关系，这时，可以试图建立两者之间的函数关系，利用函数性质来求解。
例3，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求此时x的值．
解：（1）∵正方形ABCD，∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠AMB＋∠BAM＝90°．
∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°，
∴∠AMB＋∠CMN＝90°．
∴∠BAM＝∠CMN，∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴＝，即＝．
∴CN＝．
∴y＝(CN＋AB)·BC＝(＋4)·4
＝－x 2＋2x＋8＝－(x－2)2＋10
当x＝2时，y取最大值，最大值为10．
∴当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN面积最大，最大面积为10．
（3）∵∠B＝∠AMN＝90°
若Rt△ABM∽Rt△AMN，则＝．∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴＝．∴BM＝MC．
∴当M点运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时x＝2．
点评：解决这类两个变量之间的关系的动点问题的关键是建立函数关系。而建立函数关系一般是由相似三角形、线段的比例关系和面积等得出。而最值问题只要根据函数性质结合题目限制条件（如自变量取值范围）就可求得。
二，教学的几点建议
1，有效解题。
首先，教学时教师应注意层次性，要讲究循序渐进，由浅入深，由易到难，不要一步到位，应逐步过渡，如果违背学生的认知规律，教学效果是可想而知。其次，注意所选例题的典型性，尽量多选最基础且最具代表性的动点问题，这样就可由一题推及一类，让学生可触类旁通，达到举一反三的效果。
2，教学时要注重两个过程。
第一，重视动点运动的整个过程。动点问题与其它静态问题不同之处在于：动点运动过程中，图形会跟着发生变化。解决动点问题关键是要搞清楚图形的变化过程，理解图形的运动规律。首先，要引导学生认识并理解这个过程，这一点对于解题有至关重要的作用，特别对于初学动点问题和理解能力差的学生，它是解决这类问题的的最佳钥匙。在前面例1的教学中。在讲述本题时，我先播放多媒体课件，让学生们反复观看P、Q两点从开始运动到其中一点到达终点停止这一过程，第一遍让学生们仔细感受四边形PQCD的变化：开始四边形PQCD是一般梯形，然后四边形PQCD是平行四边形，一般梯形，直角梯形，一般梯形，等腰梯形，一般梯形，并画出各种情况下的代表图形；第二遍让学生观察当四边形PQCD分别出现以上不同情况下边DP与边CQ的数量变化：PD＞CQ，PD=CQ，PD＜CQ。我发现学生们在几遍观察之后，就开始讨论其中的变化，反应比开始好多了。实践证明，先必需要让学生对动点问题有感性认识，只有感性认识足够了，才能让学生对动点问题认识升华到理性的角度，并对之产生观察、思考、跃跃欲试的兴趣。其次，在需要分类的动点问题中，认识并理解这个过程对于正确分类有很强的导向作用。有的动点问题分类的切入点就是动点的不同位置，理解了动点运动的整个过程，就可以很容易科学地进行分类。
第二，重视学生思维的形成过程。解题思维的形成有如下特点：寻找方法——不断探索纠错——最后找出正确解法。如果教师上课时，解决问题每次都是顺利流畅，讲解例题、习题时滴水不漏，那么就会掩盖教师在寻找方法——不断探索纠错这一过程，掩盖教师解决问题经历的曲折或失误，不利于学生解题思维的形成。相反，教师如果愿意向学生展示自己的思维过程：如何切入，寻找方法，如何纠正错误思路，最后得到正确方法，学生不但能学习教师分析问题，解决问题的思想方法，还能了解：原来教师在解决问题时也会遭遇挑战，也会经历曲折与失误，这对于学生克服畏难情绪，树立解题自信心是十分有益的。
3，注重数学思想方法的渗透。
数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，在数学教学和探究活动中始终体现这些数学思想方法，动点问题也不例外，因此，在数学教学中应特别注重这些思想方法的渗透，因为只有让学生充分掌握领会这种思维，才能更有效地运用所学知识，形成求解动点问题的能力。动点问题中主要体现方程与函数思想，数形结合思想，分类讨论思想等。
方程与函数思想。大多数动点问题到最后都转化为方程或函数形式，然后利用方程或函数的性质来求解。
数形结合思想。动点问题中，所研究的量的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。
例4，如图，直线y=－x+4与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，当点M在线段AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由。
分析：直接观察四边形OCMD的周长是不好入手的，我们如果能设一个未知量a，然后将四边分别用a表示就比较好办了，因为点M在直线y=－x+4上，所以可设M（a,－a+4），可得OC=DM= a，OD=MC=－a+4，故四边形OCMD的周长= 2〔a+（－a+4）〕=8，即四边形OCMD的周长不变。
分类讨论思想。动点问题是中考的热点，常作为压轴题，难度较大，往往会出现多种情况或多个结果。这时就需要分类讨论。分类讨论的关键是考虑运动全貌，对运动的整个过程的深刻把握，站在更高角度鸟瞰全局，不致以偏概全，这样才能做到分类标准统一，不漏不重。
例5，直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．
（1）直接写出两点的坐标；
x
A
O
Q
P
B
y
（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式．
分析：（2）通过了解P、Q两点的运动变化规律，Q点的位置始终在OA上，故OQ=t，而P可以分别位于OB和AB上，故分两种情况：a当P点在OB上时，先求得点的速度是（单位/秒），此时，OP=2t，故s=OQ*OP=*t*2t=；
b当在线段上运动时，如图b，作作于点，由，得，

解（1）A（8，0）B（0，6）
（2）

点由到的时间是（秒）
点的速度是（单位/秒）
当在线段上运动（或0）时，

当在线段上运动（或）时，,
如图b，作于点，由，得，

∴
教师在进行动点问题的教学时，只有长期、反复、明确的渗透数学思想方法，才会使学生对动点的问题的认识由感性飞跃到理性，形成解题能力。
4，学生正确解题习惯的培养。
第一，教师应培养学生正确的审题习惯。我教学时发现，部分学生不会解动点问题的原因是没有正确地审题。我收录了几条：①存在畏难心理，没有看题就认为自己不会做；②没有理解动点运动的整个过程；③审题时看漏了条件；④审题时自己添加了题中没有的条件等等。正确的审题习惯是：首先，通读全题，大致理解题意：了解动点的运动全过程，如果读一遍不够，可以多读一遍或两遍。其次，细读全题，找清题中所有条件，并将这些条件在图形上标示或在题目文字中标记。
第二，教师应培养学生正确的分析习惯。在分析时，一定要分析题中每一个条件的作用；由这些条件能得到哪些有用的结论；由结论或所求出发，分析需要哪些条件，哪些已知，还要求得哪些。
第三，教师应培养学生周密思考的习惯。中考动点问题的压轴题，往往呈现多解的特点。在解这种题目时，“会而不对，对而不全”，是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，要防止这种错误，教师应注意分类讨论类型问题的教学，让学生找对分类标准，做到不重不漏。
第四，教师应通过反思答题过程，培养学生检查习惯。。，。hIQ"0 练后反思是增加体验，能力提升的重要环节，个别同学由于缺少练后思考，造成同类错误在下次考试中仍然出现。如果把每次测验的经验教训都记录下来，下次考前看一看，提醒自己要注意，定会事半功倍。通过反思自己的答题过程可知，如果要在考试中加以补救，那就是培养检查的习惯。养成良好的检查习惯是减少考试失误的有效手段。
=\rNxCEX  第五，教师应培养学生归纳总结的习惯。我在教学解动点难题时发现两点：①学生学一题是一题，②做错的题下次还是不会做。针对这种情况，我采取以下办法；①要求学生作好错题集，对错题进行收集并重解。②要求学生对解法类似的题进行归类。③要求学生定期对这些问题进行复习。
5，教师在进行动点教学时的四忌。
一忌缺乏耐心，急于求成。动点问题是一类综合性强、难度较大的问题，需要循序渐进，反复训练才能见效，不可能通过一两题、一两天训练就马上见效。二忌只讲不练和只练不讲。只有老师讲，学生没有练，学生遇到问题当然不会解；而学生练习一大堆，而老师没点评、归纳，学生一样也无法形成能力。三忌讲练不匹配。动点问题也有多种类型，只有教一类，练一类才能起到巩固的效果。四忌教师板书不清。有的老师认为动点问题只要给学生分析清楚，板书不重要，或认为板书太繁琐，书写费时间，于是就不给学生板书。实际上老师板书很重要：既起到了规范书写作用，又可作学生记下来课后复习巩固之用。
总之，数学中的动点问题，看似很难，但只要找准了方法，摸清了规律，引导学生巧用数学思维打破僵局，那么，这些难题也就化难为易了。

参考文献：
1．翟立安《例谈动态探究型问题》 中国数学教育2009年第3期
2．刘剑荣 《关于几何动点问题的探究》