正交试验结果的方差分析方法.doc

正交试验结果的方差分析方法
计算公式和项目
试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的
(1) Ij ”水平所对应的试验指标的数值之和
(2) IIj——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和
(3)……
(4) kj——同一水平出现的次数。等于试验的次数除以第j列的水平数.
(5)Ij/kj——“水平所对应的试验指标的平均 ”
(6)IIj/kj——“2”水平所对应的试验指标的平均值
(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节
(8)偏差平方和

(4-1)
(9) fj——自由度.fj第j列的水平数－1.
(10）Vj——方差.
Vj=Sj/fj
(4-2)
（11）Ve——误差列的方差。

(4-3)
（12）Fj——方差之比

(4-4)
（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。
（14）总的偏差平方和

(4-5)
（15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。即

(4-6)
式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和Se等于5个单列的偏差平方和之和,即：Se=Se1+Se2+Se3+Se4+Se5；也可用Se= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和
应引出的结论。
与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。在数理统计上，这是一个很重要的问题。显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
方差分析方法应用举例
例4-6 为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平见表4-18。
表4-18 例4-6的因素水平表
因素
发酵温度/℃
发酵时间/h
初始的PH值
投曲量/ %
符号
x1
x2
x3
x4
水平

1
10
12
7
5
2
20
24
6
10
3
30
48
5

4
50
72
4

试验指标（y）为成品的总酸度。要求写出应用正交试验设计方法的全过程，用方差分析方法分析正交试验的结果。
解：
试验的目的：为改善猪发酵饲料的品质，寻找适宜的发酵条件。
试验指标（y）：成品的总酸度
因素水平表：见表4-18。
理论和经验都不知道有应该考虑的交互作用。
四个因素的水平数不完全相同，所以应选择混合水平正交表。因为3个因素是4水平，1个因素是2水平，所以选L16（43×26）正交表，见表4-19（a）
表头设计：见表4-19（a）
表中数据的计算举例：（以第3列为例）
I3=y1+y6+y11+y16=6.36+5.39+8.03+16.54=36.32
II3=y2+y5+y12+y15=7.43+8.66+12.45+9.80=38.34
III3=y3+y8+y9+y14=10.36+19.53+12.08+10.77=52.74
IV3=y4+y7+y10+y13=11.56+15.50+13.13+13.49=53.68
k3=4
I3/k3=36.32/4=9.08
II3/k3=38.34/4=9.59
III3/k3=52.74/4=13.19
IV3/k3=53.68/4=13.42
极差D3=13.42－9.08=4.34

218.35
表4-19(a) 使用正交表L16（43×26）的正交试验数据表
列号
1
x1
2
x2
3
x3
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
x4
总酸度/ %
y
试验号
1
1
(10)
1
(12)
1
(7)
1
1
1
1
1
1
(5)
6.36
2
1
(10)
2
(24)
2
(6)
1
1
2
2
2
2
(10)
7.43
3
1
(10)
3
(48)
3
(5)
2
2
1
1
2
2
(10)
10.36
4
1
(10)
4
(72)
4
(4)
2
2
2
2
1
1
(5)
11.56
5
2
(20)
1
(12)
2
(6)
2
2
1
2
1
2
(10)
8.66
6
2
(20)
2
(24)
1
(7)
2
2
2
1
2
1
(5)
5.39
7
2
(20)
3
(48)
4
(4)
1
1
1
2
2
1
(5)
15.50
8
2
(20)
4
(72)
3
(5)
1
1
2
1
1
2
(10)
19.53
9
3
(30)
1
(12)
3
(5)
1
2
2
2
2
1
(5)
12.08
10
3
(30)
2
(24)
4
(4)
1
2
1
1
1
2
(10)
13.13
11
3
(30)
3
(48)
1
(7)
2
1
2
2
1
2
(10)
8.03
12
3
(30)
4
(72)
2
(6)
2
1
1
1
2
1
(5)
12.45
13
4
(50)
1
(12)
4
(4)
2
1
2
1
2
2
(10)
13.49
14
4
(50)
2
(24)
3
(5)
2
1
1
2
1
1
(5)
10.77
15
4
(50)
3
(48)
2
(6)
1
2
2
1
1
1
(5)
9.80
16
4
(50)
4
(72)
1
(7)
1
2
1
2
2
2
(10)
16.54

表4-19(b) [上接表4-19(a)]
列号
1
x1
2
x2
3
x3
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
x4

名称
Ij
35.71
40.59
36.32

83.91

IIj
49.08
36.72
38.34

97.17

IIIj
45.69
43.69
52.74

IVj
50.60
60.08
53.68

kj
4
4
4
8
8
8
8
8
8

Ij/ kj
8.93
10.15
9.08

10.49

IIj/ kj
12.27
9.18
9.59

12.15

IIIj/ kj
11.42
10.92
13.19

IVj /kj
12.65
15.02
13.42

极差Dj
3.72
③
5.84
①
4.34
②

1.66
④

偏差平方和Sj
33.57③
79.19①
63.67
②

Se= 30.9

11.02
④
218.35
自由度fj
3
3
3

fe=5

1

方差Vj
11.19
26.40
21.22

Ve= 6.18

11.02

方差比Fj
1.81
4.27
3.43

1.78

F0。25
1.88
1.88
1.88

1.69

F0.10
3.62
3.62
3.62

4.06

F0.05

5.41

F0.01

显著性
0*
(0.25)
2*
(0.10)
1*
(0.25)

1*
(0.25)

偏差平方和
=4(9.08－11.32)2+4(9.59－11.32)2+4(13.19－11.32)2+4(13.42－11.32)2
=63.67
自由度f3=4－1=3
方差
Se= S总－(S1+S2+ S3+ S9)=218.35－(33.57+79.19+63.67+11.02)=30.9
fe=(16-1)－(3+3+3+1)=5

查F分布数据值表得：
F(α=0.01, f1=3, f2=5)=12.06> F3
F(α=0.05, f1=3, f2=5)=5.41> F3
F(α=0.10, f1=3, f2=5)=3.62> F3
F(α=0.25, f1=3, f2=5)=1.88< F3
所以，第3列对试验指标的影响在α=0.25水平上显著。
其它列的计算结果见表4-19(b)。
用方差分析方法分析正交试验结果，应该引出如下几点结论：
（1）关于显著性的结论

发酵时间（x2）对指标的影响在α=0.10水平上显著；初始的PH值（x3）和投曲量（x4）在α=0.25水平上显著；发酵温度(x1)在α=0.25水平上仍不显著。
(2)试验指标随各因素的变化趋势：见图4-6
图4-6是用表4-18及表4-19（b）中的Ⅰj/kj, Ⅱj/kj, Ⅲj/kj, Ⅳj/kj值来标绘的。
（3）适宜的操作条件
在确定适宜操作条件时，对于F检验中α=0.25不显著的因素，如本例中的因素x1, 一方面因为图4-6 (a) 所示的“规律”不可靠，不能作为确定x1适宜水平的依据。另一方面，F检验不显著，Fj太小，可能是因为Ve太大，误差太大；也可能是因为Vj太小，该因素对指标影响太小。所以，对于F检验不显著的因素，适宜的水平可以是任意的。如本例，可认为x1=（20~50）℃即可，不必非50℃不可。所以在本例中为提高总酸度，适宜的操作条件为：x1=（20~50） ℃，x2=72 h, x3=4, x4=10%。
（4）对所得结论及进一步研究方向的讨论。
① 由图4-6(d)可见，投曲量x4这个水平为试验范围的边上（最大值或最小值）所以x4增大，成品的总酸度也增大的结论尚需作进一步的研究。应研究投曲量大于10%时试验指标随投曲量的变化规律。
② 从图4-6（c）可见，初始PH值等于5时的总酸度与初始PH值等于4时的总酸度差不多。但与令PH=4相比较，令PH=5，比较容易实现。所以进一步研究的方向之一，是研究令PH=5的好处和问题。
③ 从图4-6（b）可见，发酵时间愈长，成品的总酸度愈大，所以进一步研究的方向之一，是研究为提高总酸度而增长发酵时间的优缺点。
例4-7为了提高某种产品的产量,寻求较好的工艺条件。考虑三个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度。它们都取三个水平[见表4-20（a）]。
表4-20（a） 例4-7的因素水平表
因素
温度/℃
压力/ kPa
浓度/%
符号
（A）
（B）
（C）
水平

1
60
20
0.5
2
65
25
1.0
3
70
30
2.0
为考察3个因素间所有的两因素交互作用的影响，选正交表L27（313），依该表的表头设计表得到的表头设计如表4-20（b）所示。
表4-20（b） 例4-7正交表表头设计
列号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
因素符号
A
B
(A×B)1
(A×B)2
C
(A×C)1
(A×C)2
(B×C)1
e1
e2
(B×C)2
e3
e4
可见，3水平两因素的交互作用占两列。
试验结果见表4- 20（c）
试验结果的方差分析计算见表4-20（d）
①
总的偏差平方和 161.02
② 两个三水平因素的交互作用占两列，它的S、f、V如何计算？
以交互作用B×C为例。B×C占第8和第11列。
偏差平方和SB×C=S8+S11=0.09187465+0.08907423=0.18095
表4-20（c） 正交表L27（313）的试验设计计算表

列号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
产量/T

因素符号
A
B
(A×B)1
(A×B)2
C
(A×C)1
(A×C)2
(B×C)1
e1
e2
(B×C)2
e3
e4
y

试验号

1
1
1
1
1
1
1
1
1

1

1.30

2
1
1
1
1
2
2
2
2

2

4.63

3
1
1
1
1
3
3
3
3

3

7.23

4
1
2
2
2
1
1
1
2

3

0.50
5
1
2
2
2
2
2
2
3

1

3.67
6
1
2
2
2
3
3
3
1

2

6.23
7
1
3
3
3
1
1
1
3

2

1.37
8
1
3
3
3
2
2
2
1

3

4.73
9
1
3
3
3
3
3
3
2

1

7.07
10
2
1
2
3
1
2
3
1

1

0.47
11
2
1
2
3
2
3
1
2

2

3.47
12
2
1
2
3
3
1
2
3

3

6.13
13
2
2
3
1
1
2
3
2

3

0.33
14
2
2
3
1
2
3
1
3

1

3.40
15
2
2
3
1
3
1
2
1

2

5.80
16
2
3
1
2
1
2
3
3

2

0.63
17
2
3
1
2
2
3
1
1

3

3.97
18
2
3
1
2
3
1
2
2

1

6.50
19
3
1
3
2
1
3
2
1

1

0.03
20
3
1
3
2
2
1
3
2

2

3.40
21
3
1
3
2
3
2
1
3

3

6.80
22
3
2
1
3
1
3
2
2

3

0.57
23
3
2
1
3
2
1
3
3

1

3.97
24
3
2
1
3
3
2
1
1

2

6.83
25
3
3
2
1
1
3
2
3

2

1.07
26
3
3
2
1
2
1
3
1

3

3.97
27
3
3
2
1
3
2
1
2

1

6.57

表4-20（d） 方差分析计算表
列 号
1
2
3
4
5
6
7
8
11
9,10,12,13
因素符号
A
B
(A×B)1
(A×B)2
C
(A×C)1
(A×C)2
(B×C)1
(B×C)2
e
项 目

Ij
36.73
33.46
35.63
34.30
6.27
32.94
34.21
33.33
32.98

IIj
30.70
31.30
32.08
31.73
35.21
34.66
33.13
33.04
33.43

IIIj
33.21
35.88
32.93
34.61
59.16
33.04
33.30
34.27
34.23

kj
9
9
9
9
9
9
9
9
9

Ij/kj
4.081111
3.717778
3.958889
3.811111
0.6966667
3.660000
3.801111
3.703333
3.664444

IIj/kj
3.411111
3.477778
3.564444
3.525556
3.912222
3.851111
3.681111
3.671111
3.714444

IIIj/kj
3.690000
3.986667
3.658889
3.845556
6.573333
3.671111
3.700000
3.807778
3.803333

Sj
2.038941
1.166608
0.7635201
0.5553843
155.8695
0.2071406
0.07494069
0.09187465
0.08907423
Se =0.3445
SA×B=S3+S4=1.3189
S A×C=S6+S7=0.282081
S B×C=S8+S11=0.18095
fj
2
2
fA×B =f3+f4=2+2=4
2
fA×C =f6+f7=2+2=4
fB×C=f8+f11=2+2=4
fe=8
Vj
1.0195
0.58330
VA×B= = 0.3297260
77.935
VA×C= = 0.070520
VB×C= = 0.0453238
Ve=0.043062
Fj
23.7
13.5
F A×B =7.66
1.81×103
FA×C =1.64
FB×C =1.05
1.0
F0.01
8.65
8.65
7.01

8.65

7.01

F0.05

3.84

F0.10

2.81

F0.25

1.66
1.66

显著性
4*
4*
(A×B)：4*
4*
(A×C)：0*(0.25)
(B×C )：0*(0.25)

Fj＇
20.2
11.6

6.53

F＇0.01
6.23
6.23

4.77

（显著性)＇
4*
4*

4*