猪的最佳销售时机.docx

数学建模论文
肥猪的最佳销售时机

作者:詹伟龙 叶玲玲 郑浩彬

摘要
猪的商业性饲养和销售的主要目的是获得最大利润，建立其最大利润方程得到猪的最佳销售时机具有十分重要的意义。
猪的利润由销售额和饲养成本决定，而这两者均受诸多因素影响，为简化模型，以每头猪所获得的利润为研究对象，销售额在排除市场的影响后只由猪销售时的体重决定，而猪的体重随时间的变化可以用logistic模型来模拟，这样就解决了猪的销售额。
另一方面，猪的饲养成本由猪仔的购价和饲料决定，而每头猪每天消耗的饲料随猪的三个生长阶段（小猪，中猪，大猪）而变化，由此建立分段函数来解决猪的饲养成本。所以，最大利润为销售额与饲养成本之差，通过以每头猪所获得的利润为目标函数来解决销售的最佳时机。
为减少繁琐的计算及画图问题，我们在模型求解过程中使用了Matlab软件。

关键词：肥猪最佳销售时机；饲料消耗；Logistic模型；利润；生长曲线；体重；生长量
一、问题重述和分析
一般从事猪的饲养和销售总希望获得利润，因此饲养某种猪是否获利，怎样获得最大利润，是饲养者必须考虑的问题。如果把饲养技术水平，猪的性质等因素看成不变的，且不考虑市场的需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是如何选择猪的售出时机，即何时把猪卖出获利最大。也许有人认为，猪养的越大，售出后获利愈大，其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就愈多，但同时其体重的增长速度却不断下降，所以饲养时间过长是不合算的。 考虑某个品种猪的最佳销售时机的数学模型。
要求猪的最佳销售时机，目标是寻求最大利润的取得，由此实际上需要找出收入和支出分别是什么，受什么影响。为了简化问题，我们只考虑一头猪的利润，并且做了一系列的理想化的假设，比如生猪价格固定等，所以收入与猪的体重成正比，而成本则由固定成本（如猪仔价格，防疫费用）和变化成本（主要是饲料的消耗）组成，最终问题转化成建立猪的生长模型和饲料消耗模型。通过查阅大量相关资料，我们选择了用Logistic模型来模拟猪的生长情况，而对于后者，我们对实际原始数据进行了分析，建立了较理想的模型。而对于最优化的出售时机，可以考虑最大总利润的时间。

二、模型假设
1. 不考虑猪的品种和猪的公母的区别
2. 在养猪期间，猪正常生长，不考虑猪生病或其他因素造成的成本
3. 猪是从猪仔饲养时的各生理条件一致
4. 每只猪的销售价格是紧仅由它的重量决定
5. 成本主要由饲料和猪仔价格决定
6. 生猪的价格固定，且其销售不受市场供求关系影响
7. 体重的绝对增重规律：一般体重的增长是慢—快—慢的趋势。

三、符号说明
l C：饲养成本；
l S：销售价格；
l P：利润值；
l dN/dt：表明为猪生长速度；
l ：是猪的日龄称重；
l t：为时间,用来表示猪的生长日龄,记刚买进仔猪的时间;
l r：为瞬间相对生长速度(近似),若自出生开始分析,则为出生时的相对生长速度,若自受精开始分析,则为受精卵的相对生长速度；
l ：是猪的个体初始体重；
l ：是猪成熟体重。

四、模型建立求解
⑴销售利润模型
由 利润=销售价格-成本
得
（1.1）
其销售价格与猪的质量有关，设猪在t天时的质量是N（t），销售价格为一公斤a元，销售价格是关于质量的一次函数，即
（1.2）
猪的饲养成本为仔猪的价格和饲料的成本之和，由于猪在成长阶段的每个时期，每天所吃的饲料的数量并不相同，而是随着猪的体重有所变化，所以是质量N的函数，即,对于猪的采食量（即猪消耗的饲料），我们从网上查到资料如下：
体重kg
6.5
13
20
30
42
53
64
76
88
100
日采食量kg
0.25
0.65
0.9
1.4
1.8
2
2.2
2.7
3
3.2
通过matlab软件对该十组数据描点并用最小二乘法进行了拟合（代码见附录），发现效果比较理想，由此把该拟合的线性关系作为体重和饲料消耗量的关系。数据拟合图线如下：

每天饲料消耗量随体重变化图

图一

由图形曲线可以设猪的日采食量与猪的重量的关系为
（1.3）
根据附录1的Matlab程序可以得到
0.0307
0.2965
故
（1.4）
饲料的总数量是关于变量N的积分，即
（1.5）
联立（1.4）与（1.5），又根据实际资料显示，当猪的重量达到100kg时，需要食用的饲料为260kg，所以有
（1.6）
设饲料的价格为每公斤元,仔猪的价格为，所以
（1.7）
综上所述可知
（1.8）
联立式子（1.4）和（1.7）

得
（1.9）

⑵猪的生长模型
实际中猪的生长变化规律是很复杂的，一般的，猪的体重会随着时间t的增加而增加。由于动物生长到一定程度后（即猪成熟之后），体重的增长速率下降知道不再增加而慢慢老化。假设当时间时，猪的体重达到最大N（t），为了简化模型，可以把猪的生长速率设为
（2.1）
当式子中的时，，，从而0。
于是猪的生长模型可以用Logistic模型来表示，其微分方程表示为:
（2.2）
方程（2.2）可用分离变量法求解得到
（2.3）
由（2.2）式子可以得出
（2.4）
当时，说明此时猪的增长速率最大，是“体重的增长是慢—快—慢的趋势曲线”的拐点，即

将其代入（2.3）计算得到

上述说明点是的拐点，由显示资料显示，我们可以定义

利用Matlab编程可得到的图形如下图（代码见附录1）

体重随日龄变化曲线

图2

⑶模型求解
综上，由利润公式（1.9）和猪的质量生长公式（2.3）的
（*）
由市场调查可知我们认为仔猪的价格可以定为=300元，销售价格为一公斤元，饲料的价格为每公斤元
所以，
（1）
由Mtlab程序（代码见附录3）可以得出，当的时候，P取得最大值290.5，其图形曲线如下图所示

利润随体重变化曲线

图3
由图二可知当时，t=152。
故，最后得到的结果是在猪龄是152天的时候将其售出可获得到最大利润为290.5元。

五、模型的检验
1.考虑的成本过于理想。猪的成本不仅只有仔猪的价格和饲料的价格，它还包括猪在生长过程中必须的预防及药品费、工作人员的工资及水电费等。预防及药品费每头猪约为15元，工作人员的工资平均到每头猪约为30元，水电及其他费用每头猪约为5元。此时每头猪的成本价将再加上50元。可见此时利润大大减小。对于大规模猪场而言，利润较为合理。而对于中小规模的猪场而言有所偏低。但是，我们的模型中所用的猪肉市场价格正处于低谷，待猪肉价格回升以后，利润也必将有所提高。
2. 由模型的结果可知，模型中我们考虑的是单个猪获得的最大利润，而没有考虑单个猪每天所获得的最大利润，根据实际情况，在一段时期内，利润值随时间而增加，但是时间越长，而猪的生长周期一定，所饲养的批次就少，在较长的时间里其所获得总的利润不一定最大。没有考虑单个猪每天所获的利润是本模型的缺点。
总体来说，上述模型与实际情况基本符合，但考虑的因素过于简单，有较大的改进之处。

参考文献
[1] 孙华，彭先文，梅书棋.湖北白猪优质系生长曲线分析.湖北省农业科学院畜牧兽医研究所.2008-09-16.
[2]徐如海，胡锦平，翁经强，褚晓红，黄少珍.连续日称重杜洛克公猪的生长曲线分析（Compertz模型）.浙江省农业科学院畜牧兽医研究所.2007-04-08
[3]农博畜牧网.全国各地仔猪市场价格，全国各地生猪市场价格.www.http//.2009-08-15.
[4] 石辛民,郝整清.基于MATLAB的实用数值计算 ，清华大学出版社
北京交通大学出版社

附录1
grid on;hold on
f=[0.25 0.65 0.9 1.4 1.8 2.0 2.2 2.7 3.0 3.2];
n=[6.5 13 20 30 42 53 64 76 88 100];
p=polyfit(n,f,1)
plot(n,f,'*','markersize',15)
hold on
grid on
x=0:0.1:100;
y=p(1)*x+p(2);
plot(x,y,'b-','linewidth',2)

附录2
n0=15;n1=115;r=0.024;
t=0:500;
d=(n1/n0-1)*exp(-r*t);
n=n1./(1+d);
plot(t,n,'linewidth',2)

附录3
n=[6.5 13 20 30 42 53 64 76 88 100];
ni=0:1:150;
a=-0.053725;b=10.49595;c=222.15;
pi=a.*ni.^2+b*ni-c;
plot(ni,pi)