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解排列组合应用题的策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证
明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一
谈排列组合应用题的解题策略.

1. 相邻问题捆绑法:

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1. A, B, C, D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有

A．60 种 B．48 种 C．36 种 D．24 种
【答案】D

【解析】把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列， A44 = 24 种. 【变式 1】7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与

其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 A55 A22 A22 = 480 种不
同的排法

甲乙 丙丁

要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.

【变式 2】某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20

【解析】 没命中的 4 枪有 5 个空， 连续的命中的 3 枪捆绑到一起， 和单独命中的一枪插空， 共有 A52 = 20 种方法.
【解析 2】用列举法列举出来
1 2 3 ★ ★ ★ ★
1 2 3 ★ ★ ★
★ 1 2 3 ★ ★★ ★ 1 2 3 ★
★ ★ ★ 1 2 3
★ ★ ★ ★ 1 2 3

2. 相离问题插空排:

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插

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入上述几个元素的空位和两端.
例2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A．1440 种 B．3600 种 C．4820 种 D．4800 种

【解析】除甲乙外，其余 5 个排列数为 A55 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A62 种，不同的排法种数是

A55 A62 = 3600 种，选 B .
【变式 1】一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序
有多少种？

【解析】分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A55 种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6

个元素中间包含首尾两个空位共有种 A 46 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A 55 A 46
种
【变式 2】某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两
个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30。

【解析】 A62 = 30

3. 定序问题缩倍（空位插入）法:

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
例3. A, B, C, D, E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B 可以不相邻）那么不同的排

法种数是
A．24 种 B．60 种 C．90 种 D．120 种
【解析】B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同， 所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半，

即

1 A5 = 60
25


种，选 B .

【变式 1】7 人排队，其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法？
【解析】(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,

然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： A 77/ A 33

(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 47 种方法，其余的三个位置甲乙丙共

有 1 种坐法，则共有 A 47 种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗？

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有 C73 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 A44 种方法，所以共有

C73 A44 种排法.

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插

【变式 2】10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

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【答案】 C10 （10 人中选 5 人，排到前排，选出来之后身高确定，因此位置确定，后排的 5 人位置 5

也就确定了）

4. 标号排位问题分步法:

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依
次即可完成.
例4. 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号
与所填数字均不相同的填法有
A．6 种 B．9 种 C．11 种 D．23 种
【解析】先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三
个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3×3×1=9 种填法，选 B .

5. 有序分配问题逐分法:

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5. 有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，
不同的选法种数是

A．1260 种 B．2025 种 C．2520 种 D．5040 种
【解析】先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另

外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有 C10C1C1 = 2520 种，选 C . 2
87

【解析 2】 C10C42C1 = 2520 4
2
【变式 1】12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案
有

4

A． C C C

4
4
4种
B． 3C C C 种

4
4
4
C． C C A 种

12
8
4
12
8
4
4
12
4
8
3
3
D．
C12C84C44
A33 种

【答案】A

6. 全员分配问题分组法:

例6. 4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

【解析】把四名学生分成 3 组有 C42 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 A33 种，故共有

C42 A33 = 36 种方法.
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【变式 1】5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为
A．480 种 B．240 种 C．120 种 D．96 种
【答案】B

【解析】 C52 A44 = 240 （5 人分 3 组较难，后期有试题加入）

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