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任意角及其度量（3课时）
一、任意角
定义：角是由平面内一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）而形成的图形．
规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转所形成的角为负角．特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角．
例1、
已知：主动轮与被动轮相向旋转，它们的齿数之比是3:5，求当主动轮逆时针方向旋转5周时，被动轮旋转的角度．–1080°

二、直角坐标系中的角
例2、
(1) 观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同；
(2) 终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与k个周角的和
30°=30°+0×360° (k=0)
390°=30°+360° (k=1)
–330°=30°–360° (k=–1)
1470°=30°+4×360° (k=4)
–1770°=30°-5×360° (k=–5)
(3) 所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合．
即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

例3、课本第30页的例1．
判别下列各角分别属于哪个象限：(1) –200°； (2) 2000°．

三、角度制与弧度制
定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad．

其中l是以角a作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径．
概念：这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
注：弧度是两个长度的比值，在不引起混淆的情形下，可以省略单位“rad”或“弧度”．
角的集合与实数集R之间的对应关系：

1、把角度换成弧度

2、把弧度换成角度

例4、
(1) 把67°30’化成弧度； (2) 把rad化成度．
解：(1) ，(2) ．
我们知道，所有的圆都相似，两圆的相似比=，每个圆的周长与半径之比是常数2π，记周角=2π rad．
因此平角= π rad，直角=rad，进而可得（请学生填第二行）
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度

问：长度等于半径长的弧所对的圆心角=_________________________rad．

例5、
找出下列同终边角的最大负角：(1) ； (2) ； (3) 5π．
(1) ； (2) ；(3) -p．

【归纳小结】
1、
2、学习了角的弧度和弧度制的定义，要熟记特殊角的弧度数；
3、角度制与弧度制的互化：180°=π rad．
对于角α，设它的角度为n°，它的弧度为θ，则满足公式：．
四、扇形的弧长与面积

填课本第32页的表1
一般地，如果一个半径为r的圆心角a所对的弧长为l，那么比值就是角a弧度数的绝对值，即．

例6、课本第33页的例4．
如图，已知扇形的圆心角的弧度数为α（0<α<2π），半径为r，弧长为l，面积为S．
求证：（1）l=α r；（2）；（3）

公式：，，．
注：扇形中有关的基本量有四个r,l,a,S，只要知道其中的2个量就可求出其它的量．

例7、
一个半径为R的扇形，它的周长是4R．求这个扇形所含弓形的面积．
解：

例8、《数学教学目标与课堂教学设计》书105页．
如图，弓形ABC所在的半径为1，如果弓形的弧的长为x，弓形的面积为y，试写出y关于x的函数关系式。
解：，问：如果x>p 呢？

例9、
一绳索绕在半径为40厘米的轮圈上．绳索的下端B处悬挂着物体W（如图）．如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转6圈，那么需要几秒才能把物体W的位置向上提升100厘米？
解：（秒）．

例10、
两个齿轮相向旋转，其中大齿轮逆时针旋转．已知：两齿轮的半径大小分别是R、r，大齿轮的角速度是ω．用ω、R、r表示小齿轮的角速度θ．
解：．

【归纳小结】
扇形的弧长与面积公式：l=a r，；

五、角的加、减运算与终边的关系

例11、
(1) 写出终边分别在x轴、y轴正负半轴的角的集合；
(2) 写出终边分别在x轴、y轴的角的集合；
(3) 写出终边在坐标轴的角的集合．
解：(1) 终边在x轴正半轴的角的集合是，终边在x轴负半轴的角的集合是，终边在y轴正半轴的角的集合是，终边在y轴负半轴的角的集合是；
(2) 终边在x轴的角的集合是，终边在y轴的角的集合是；
(3) 终边在坐标轴的角的集合是．

例12、在直角坐标系中画出集合中角的终边．

例13、写出直角坐标系中终边在直线y=-x上的角的集合．

六、终边关于x轴、y轴、原点等对称的角

例14、在直角坐标系中
(1) 角a 与b 的终边关于x轴对称，写出a、b 满足的关系式；
(2) 角a 与b 的终边关于原点对称，写出a、b 满足的关系式；
(3) 角a 与b 的终边关于y轴对称，写出a、b 满足的关系式．

例15、在直角坐标系中
(1) 角a 与b 的终边关于直线y=x对称，写出a、b 满足的关系式；
(2) 角a 与b 的终边关于直线y=-x对称，写出a、b 满足的关系式．

七、象限角、轴线角与区间角

例16、用区间表示终边在下列位置的角的集合．
1）第一象限； 2）第四象限； 3）第二、四象限； 4）第一、四象限．

例17、在直角坐标系中，用阴影表示属于区间的角的终边所在的位置．

例18、写出终边落在图1，图2所示范围内的角的集合（不包含画成虚线的边界）．
其中OA是角的终边，OB是角的终边．
y
x
O
y
x
O
图1
图2
A
B
A
B

例19、课本第34页的例6
设α是第三象限的角，试讨论是哪个象限的角，并在直角坐标系中用阴影部分表示出来．

例20、若角是第一象限角，指出，，，，终边所在的位置．

例21、设圆与x轴正半轴的交点为A，质点M从圆周上点A位置开始，依逆时针方向作匀速圆周运动．已知：质点M一分钟转过的角为θ (0 ≤ θ ≤ 2π)，2分钟后到达第二象限，14分钟后回到原来位置．求角θ ．

弧度制
一、填空题
1． 把下列给角化成弧度
(1)____________________ (2)____________________
(3)____________________ (4)____________________
2． 把下列给弧度化成角度
(1)____________________ (2) ____________________
(3)____________________ (4) ____________________

二、选择题
1．在半径为R的圆中,一个扇形的圆心角为 弧度,那么这个扇形面积为 ( )
A． B． C． D．
2．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,那么这个扇形的圆心角的大小为 ( )
A． B． C． D．
三、解答题
1． 计算下列三角式的值

2．设两个角的差为,它们的和为2弧度,求这两个角各是多少弧度?

3．圆的半径等于12cm,求这个圆上长25cm的弧所对圆心角的度数(精确到)

4．直径是20cm的轮子,每秒钟旋转45弧度,那么轮周上一点经过5秒钟所转过的弧长为多少?

5．一个扇形OAB的中心角为,扇形的面积为,求弧AB的长和以AB为弦的弓形的面积

6．若扇形的圆心角为,半径为r ,求扇形的内切圆与扇形的面积之比

7．已知一扇形的周长为m(m>0)．问:扇形的圆心角为多大时,它的面积最大?

任意角（1）
一、选择题
1、角属于第几象限 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、与角终边相同的角是 （ ）
A． B． C． D．
3、下列各角的始边相同，其中有相同的终边的一组角是 （ ）
A． B．
C． D．
4．若角的终边在第四象限，则角的终边在 （ ）
A．第二象限 B. 第二象限或第一象限
C．第二象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限
5．经过20分钟时，钟的分针所转过的角是 （ ）
A． B． C． D．
6．2003是 （ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
7．所有与角终边相同的角可表示为，其中一定是 （ ）
A．小于的角 B．正角 C．象限角 D．任何角
二、填空题
1．在下列角的集合中，找出终边在之间的一切角：
（i），A中有____________________
（ii），B中有____________________
（iii），C中有____________________
2．
则____________________，____________________
三、解答题
1、在下列角的集合中，找出终边在之间的一切角：
（i） （ii）

2、设A和B分别是等腰三角形的顶角和底角，用弧度制表示A和B的范围。

3、若是第二象限的角，试判定下列各角所在象限：
（i） （ii） (iii)

任意角（2）
一、选择题
1、终边在y轴上的角的集合为 （ ）
A． B．
C． D．
2、已知角和分别是等腰三角形的顶角和底角，则和满足 （ ）
A． B．
C． D．
3、下列各角中，有一个角与其它三个角的终边不重合，这个角是 （ ）
A． B． C． D．
4、设M= ,则是 （ ）
A． B． C． D．以上都不对
5、已知扇形的周长为6cm，面积为2，则扇形的中心角的弧度数为 （ ）
A．1弧度 B．4弧度 C．1弧度或4弧度 D．6弧度
二、填空题
1、在间，找出与下列各角终边相同的角，并判定是哪个象限的角：
a）的角与______________的角的终边相同，它是第__________象限角
b）的角与______________的角的终边相同，它是第__________象限角
2、在直角坐标系中，
若角和角的终边互为反向延长线，则角和角的关系是_____________________
若角和角终边关于x轴对称，则角和角的关系是______________________
若角和角终边关于y轴对称，则角和角的关系是______________________
3、与8终边相同的角是____________________，它们是第__________象限角；其中最小的正角是____________________；最大负角是____________________．
三、解答题
1、若是第二象限的角，试判定下列各角所在象限：
（i） （ii） (iii)

2、已知集．求

3、已知
（1）把写成的形式；
（2）求q，使与的终边重合且