数系的扩充与复数引入的教案.doc

3.1.1数系的扩充和复数的概念
【教学目标】
1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；
2．理解复数的有关概念以及符号表示；
3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；
4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念．
【教学难点】复数概念的理解．
知识形成过程：
1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）
自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数
2．提出问题
我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
3．组织讨论，研究问题
我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？
组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．
4．引入新数，并给出它的两条性质
根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：
（1）；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）．
5．提出复数的概念
根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如 的数，我们把它们叫做复数．
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：
N*NZQRC．
【巩固练习】
下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
，， ， ，），，，

例1.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

例2、当m为何实数时，复数
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数

6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是

由此容易得出：
例3、 已知,其中，x,yR，求x与y．

练习： 1、若x，y为实数，且 ，求。
2、求的值。
3、
思考：两个复数是否可以比较大小.
【归纳总结】
一、数系的扩充；
二、复数有关的概念：
1、复数的代数形式；
2、复数的实部、虚部。
3、虚数、纯虚数；
4、复数的相等.

课后作业：课本P112，习题3.1