作业18函数的凹凸性和图像描绘.doc

1、填空题
1）若曲线的拐点为，则常数，。
2）曲线的渐近线方程为。
3）设函数由参数方程确定，则曲线向上凸的取值
范围为。
4）曲线有个拐点。
2、计算下列函数图形的凹凸性及拐点
1）
解：
在区间函数下凸；在区间函数上凸，点是拐点。
2）
解：
在区间函数上凸；在区间函数下凸；在区间函数上图。点为拐点。
3、证明下列不等式
1）
证明：考虑函数，因为，当时，此曲
线是凹（下凸）的，所以，对任意的，及有

2）
证明：考虑函数，因为，当时，此曲线是
下凸的，所以，对任意的，及有

4、描绘向下列函数的图像
1）
解：①此函数定义域，既不是奇函数也不是偶函数，并且不是周期
函数
②判定函数的单调性和凹凸性

-
-
-
0
+

-

-
0
+
+
+

+
此函数在区间单调递增；在区间上单调递减。在区间上上凸；在区间上下凸。
③求渐近线
因为，所以此曲线有水平渐近线，铅直渐近线
④作图

2）
解：①此函数定义域，是奇函数，但不是周期函数
②判定函数的单调性和凹凸性
，

+
0
-
-
-
0
+

-
-
-
0
+
+
+
此函数在区间单调递增；在区间上单调递减。在区间上上凸；在区间上下凸。
③求渐近线
因为，
所以此曲线有斜渐近线
④作图

5、设在点三阶可导，，，求证：点是
曲线的拐点。
证明：无妨设，根据导数的定义

由极限的保号性存在的去心邻域内有。当时，，所以；当时，，所以；根据拐点的定义，点是曲线的拐点。同理可证的情形。