基于在线最小二乘支持向量机的数控机床热误差建模与补偿.doc

基于在线最小二乘支持向量机的数控机床热误差建模与补偿

林伟青1,2，傅建中1，许亚洲1，陈子辰1
(1.浙江大学 机械工程学系，浙江 杭州 310027；
2.福建农林大学 机械系，福建 福州 350002)

摘 要：为了消除数控机床热误差对加工精度的影响，提出了基于在线最小二乘支持向量机的数控机床热误差建模方法。为了构建机床热误差模型，对一台数控铣床进行建模实验，采用智能温度传感器与激光位移传感器分别测量机床温度值与主轴热变形量。将获得的数据进行在线最小二乘支持向量机建模训练，构建机床热误差模型。在根据模型得出误差预测值的同时，可以不断根据在线输入的新数据修正热误差模型本身，运算时间短，适用于在线建模。实验结果表明，基于在线最小二乘支持向量机的数控机床热误差建模方法精度高，鲁棒性强，计算时间短。在此基础上，根据在线模型进行热误差补差，可有效消除机床热误差影响，提高数控机床的加工精度。
关键词：在线最小二乘支持向量机；热误差；建模；补偿
中图分类号：TP205 文献标识码：A

Thermal error modeling of numerical control machine tools based on on-line least squares support vector machines and error compensation
LIN Wei-qing1,2, FU Jian-zhong1, XU Yan-zhou1, CHEN Zi-chen1
(1. Department of Mechanical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China;
2. Department of Mechanical Engineering, Fujian Agriculture and Forestry University, Fuzhou 350002, China)
Abstract: In order to eliminate the influence of the thermal error on machining precision of the workpiece, a novel method based on on-line least squares support vector machine (OLS-SVM) is utilized to implement error compensation. In order to construct the thermal error model of machine tool, a series of experiments were designed to acquire the data of a NC milling machine, including temperature on different positions and the thermal deformation of spindle. By smart temperature sensors and laser position sensors, the temperature and thermal error of the machine tool were collected respectively. The data were trained to construct the thermal error model of NC tool based on OLS-SVM. The thermal error compensation model was modified recursively according to new input data. The process was very rapid and robust. Results show that OLS-SVM is an effective method for error modeling which can be used for the on-line thermal error compensation and can highly improve the machining precision.
Key words: on-line least squares support vector machines; thermal error; modeling; compensation

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0　引言
现代机械制造技术正迅速向高效率、高精度、综合自动化方向发展。在机械加工精度方面，热误差是机床最大的误差源之一[1]。为了发展现代加工技术，解决机床热变形对加工精度的影响，具有决定性意义。

基 金项目：国家自然基金资助项目（50675199）；
浙江省科技计划资助项目（2005E10049）。

由于机床热误差在很大程度上取决于诸如加工条件、加工周期、冷却液的使用以及周围环境等多种因素，且机床热误差呈现非线性及交互作用，所以仅用理论分析来精确建立热误差数学模型是相当困难的[2,3]。最为常用的热误差建模方法为试验建模法，即根据统计理论对热误差数据和机床温度值作相关分析，并用最小二乘原理进行拟合建模[4]。
近年来，神经网络理论、模糊理论等也已运用到热误差建模中[5]。由于这些建模方式是离线建模，故用这些方法建立起来的热误差数学模型的鲁棒性较差。
本文提出一种基于在线最小二乘支持向量机（OLS-SVM）的热误差回归建模方法。它在根据测量值训练建模得出热误差模型的同时，不断根据输入的新数据修正模型本身，以提高补偿模型的实时性与鲁棒性。根据该方法得到的热误差模型可用于误差补偿控制，减小数控机床热误差的影响。依据OLS-SVM模型进行实时热误差补偿技术具有较好的通用性。
1　最小二乘支持向量机回归
最小二乘支持向量机（LS-SVM）是在Vapnik的支持向量机（SVM）基础上[6]，将不等式约束转化成等式约束，发展而来。对于非线性样本数据，，…，，采用最小二乘支持向量机回归[7]，则函数回归问题描述为求解如下问题：
(1)
式中：为输入量，为目标值。为误差变量，为核空间映射函数。为权矢量，为可调参数，为偏差量。
引入拉格朗日函数：
(2)
式中：是拉格朗日乘子。根据极值存在的必要条件，得到如下方程组：
(3)
式(3)消去 和，得到式（4）：
(4)
式中：，，.
根据Mercer条件[7]，使用核函数，LS-SVM回归估计可表示为如下形式：
(5)
式中：，由式（4）求解出。核函数为满足Mercer条件的任意对称函数，常用的核函数有：
线性核：；
多项式核： ；
RBF核：
2　在线最小二乘支持向量机回归
2.1 稀疏性处理
由于LS-SVM将不等式约束改为等式约束，导致稀疏性的缺失，使得每个向量都成为支持向量。在线训练算法由于没有足够的空间来存储这么多的支持向量，因此这种方法用于在线估计的效率比较低。对LS-SVM进行稀疏性处理，使得其获得近似的稀疏性，是实现在线训练的一个重要步骤。它是在已经分类好的支持向量值基础上，忽略相对较小的、意义不大的支持向量，然后重新递归计算LS-SVM，产生一种近似的稀疏性，使得在线建模成为可能[8]。
首先根据式（4）解出的，将绝对值较小的对应数据点去掉，然后重新进行训练计算，循环反复，直至对应的表征的向量都是影响相对较大的支持向量，即可得到具有稀疏性的LS-SVM。具体运算过程如下：
1) 用LS-SVM对个数据点进行初始训练；
2) 根据的大小进行排序，去掉对应较小的样本点，本文将序列中最小5％的对应样本点去除，不列为支持向量；
3) 在缩减的数据训练列中再次进行LS-SVM训练，然后返回2），循环往复，直到定义的性能指标（比如泛化能力）开始显著下降时停止。
上述的修剪算法，一般只需进行少量几次迭代，即可使LS-SVM获得具有稀疏性的解，大大减少了存储空间，提高了在线建模的效率。
2.2 OLS-SVM算法
将LS-SVM算法进行修剪处理，使得其获得了一定的稀疏性，为在线建模提供了充分的准备。但是当训练样本集合发生改变时,该算法也只能机械地从头开始训练，重新寻找一组，来满足条件，而不能充分利用LS-SVM自身的特点和前一次学习训练的结果，故导致计算效率低下，仍无法适应于在线学习预测。在线最小二乘支持向量机（OLS-SVM）算法是在LS-SVM基础上进行改进，当一个新样本加入到训练序列中，OLS-SVM算法就会更新已经训练好的LS-SVM[9]。
令为加入到已有的个数据对中的新样本，由式（4），当前模型与新模型之间的增量关系为：
(6)
式中：，，，。
OLS-SVM的目的在于无论何时加入一个新样本，可以通过递推运算来有效更新，而无需显著增加矩阵求逆计算。根据子矩阵逆运算有：

(7)
根据矩阵求逆引理[9]，整理式（7），得出：

(8)
由式（8）可知，在后续增量计算中，可以避免复杂的更新运算，而直接通过递归运算获得逆结果，大大提高计算速度，OLS-SVM算法使得在线建模成为可能。结合稀疏性处理，OLS-SVM整体算法实现流程如图1所示：

图1 OLS-SVM算法流程图
3　基于OLS-SVM的数控机床热误差建模
数控机床热误差建模可以看成是一个多元函数回归问题。设机床热变形误差为回归函数的输出值，而影响热误差的耦合温度场作为回归函数输入向量。本文利用OLS-SVM在线学习方法，进行数控机床的热误差建模时，核函数选用RBF核函数：，因为其待定参数少，只有一个，简化了计算，而且其非线性拟合能力较强。

3.1 数控机床热误差建模试验
对一台XK713数控铣床进行热误差建模试验。机床主轴热变形量由两个CCD激光位移传感器（LK-150H）采集。温度场的测量系统由16个智能温度传感器、一块7寸夏普液晶显示器、一张FS44B0XLII型号ARM开发板，以及显示器驱动卡与接口线路组成，如图2所示。

图2 数控铣床热变形测量系统
测量数控铣床空载时，主轴转速每分钟5000转下的机床温度场数据与主轴轴向（Z轴）与径向（X轴）热变形数据。每间隔0.1分钟进行一次数据采样，机床运行6小时后，停车1小时，获得了每个采样时间点上对应的温度数据与热变形数据。
3.2 基于OLS-SVM热误差建模
采用交叉验证的方法[10]，确定OLS-SVM建模参数为：，。对实时获得的温度值与主轴热变形值进行OLS-SVM方法建模，将16个温度值作为输入，热变形值作为输出，进行OLS-SVM训练，计算机运行环境为PentiumIV，1.8GHz处理器，获得热误差模型，如图3所示。图3(a)所示为机床运行到第200分钟时的热误差模型；图3(b)所示为机床运行到第300分钟时的热误差模型。表1列出了时间间隔30分钟的测量值与OLS-SVM建模获得的径向热误差结果。

(a) 第200分钟的热误差模型

(b) 第300分钟的热误差模型
图3 OLS-SVM热误差建模
表1 主轴径向热误差测量值与OLS-SVM建模结果
时间
/m
测量值
/μm
建模结果
/μm
时间
/m
测量值
/μm
建模结果
/μm
30
4.635
4.772
240
38.292
38.208
60
16.074
16.061
270
38.217
38.150
90
25.401
25.023
300
38.523
38.436
120
31.148
31.117
330
38.351
38.300
150
35.063
34.872
360
37.563
37.455
180
36.705
36.817
390
35.705
35.922
210
37.038
37.463
420
35.252
34.998
4　结果分析与补偿
4.1 热误差建模结果分析
OLS-SVM方法构建的热误差模型可以作为一种动态模型，能构建出机床运行过程中的热误差。由图3可见，模型精度高；由表1可见，获得的在线模型与实际测量值相比，误差很小。为更好的说明OLS-SVM方法在线建模的优势，特别得将其与固定建模方法进行了比较，包括有LS-SVM方法和传统的最小二乘方法（LS）。采用平均绝对百分比误差(MAPE)，以及模型构建时间这两项性能指标，来比较说明。表2所示为70个采用数据输入时，OLS-SVM，LS-SVM，LS三种方法构建获得的主轴轴向与径向热误差模型的比较结果。
表2 在线建模（OLS-SVM）与固定建模方法比较
建模方向
建模方法
MAPE
计算时间 /s
轴向
OLS-SVM
1.43％
1.015
LS-SVM
1.46％
3.472
LS
7.28％
0.173
径向
OLS-SVM
1.72％
1.036
LS-SVM
1.78％
3.491
LS
7.67％
0.176
由表2可以看出，在线建模方法OLS-SVM的模型精度比固定回归函数方法要高。固定回归函数方法在建模过程中，建模函数是固定不变的。每当新数据读入后，在线建模方法即刻将其添加到训练集合中，然后更新回归函数。OLS-SVM的精度远远高于传统的LS方法，与LS-SVM精度相差无几，但计算时间却大为缩短，更加适应于后续的热误差补偿应用。
4.2补偿研究
利用OLS-SVM方法构建得到的机床热误差模型，可以对数控机床进行热误差补偿[4]。补偿原理框图如图4所示，工作过程为：首先通过布置在机床上的智能温度传感器实时采集机床的温度信号，经放大等预处理后再通过A/D板和输入输出接口把它送入微处理器，微处理器根据基于OLS-SVM的热误差模型，计算出机床热误差值。结合实时采集的机床温度值运算出补偿值，将补偿值跟机床编码器信号叠加，送入机床控制器。控制器根据补偿值实时控制刀架的附加进给运动来修正误差、提高机床加工精度。

图4 补偿原理框图
根据上节获得的热误差模型，对XK713数控铣床进行热误差补偿，如图5所示为主轴轴向热误差补偿结果。可见经过热误差补偿以后，机床精度获得了显著提高。

图5 主轴轴向热误差补偿结果
5　结束语
(1) 在数控机床热误差建模过程中引进在线最小二乘支持向量机方法，对机床热误差进行建模，获得了高精度的误差模型。
(2) 建模实例表明，该方法可以将采集数据不断加入到训练集合中，获得更新的热误差模型，实现在线建模。采用在线最小二乘支持向量机方法，建模时间短，鲁棒性强，适于热误差补偿应用。
(3) 基于数控机床动态加工特性，将在线最小二乘支持向量机建模得到的误差模型用于机床热误差补偿，提高了机床的加工精度，具有很好的应用前景。

参考文献：
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