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垂直于弦的直径（第一课时）教学设计
广宁县五和中学 陈家三
一、教学目标：
1．知识与能力: 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论，学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题，了解拱高、弦心距等概念。
2．过程与方法：经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法
3．情感态度与价值观: 在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的创新意识，良好的运用数学。
二、学情分析
学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能．
学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力．
三、教学重点、难点：
教学重点：垂径定理、推论及其应用。
教学难点：发现并证明垂径定理，利用垂径定理解决一些实际问题。
教学方法：探究发现法。
四、教学方法、学法指导：
（一）教法设计：类比引入→猜想探索→知识应用→归纳小结→巩固练习。
　　1、本节课采用引导发现法，直观演示法，自主，探究，合作，交流讨论法，讲练结合法。
　　2、采用多媒体课件，投影仪等现代化教学手段，增大教学容量和增强直观性。
（二）学法指导：
　　1、为了培养学生动手，动脑，动口能力，这节课采用制作学具，动手实验，自己发现结论，总结规律的学习方法，让学生进行创造性学习。
　　2、结合教材，借助直观教具，图形，重点使用“数形结合”， “转化”的数学思想。
　　3、鼓励学生多角度思维问题，逆向思维问题，把学习与创造结合起来，创造才能的发挥是学生主体作用的最高体现。
教具准备：圆形纸片、电脑、三角板、圆规。
五、教学过程：
（一）创设情景 激发兴趣

1．实例：同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
⌒

2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的，它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。

（二）自主探究 归纳新知
1.阅读教材81～83页，将重点内容标划并识记。
2.每个小组利用课余时间剪切一个圆，将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
圆是 对称图形，其对称轴是任意一条过 的直线．
（二）活动1
请同学按下面要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
相等的线段：

相等的弧：

这样，我们就得到垂径定理：
垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条 ．
表达式：

垂径定理的条件和结论分别是什么？
①过圆心，②垂直于弦.
③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧.
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
求证：AM=BM，弧AC=BC，弧AD=BD.
分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．
证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中

∴Rt△OAM≌Rt△OBM( )
∴AM=
∴点 和点 关于CD对称
∵⊙O关于CD对称
∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，弧AC与BC重合，AD与CD重合．
∴ ， ，
进一步，我们还可以得到结论：
平分弦（ ）的直径垂直于 ，并且平分弦所对的两条 ．
表达式：

（三）、归纳总结：
1．圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴．
2．垂径定理
推论 ．

（三）巩固新知 应用新知

C
A
B
D
O
E
A
B
O
E
A
B
O
E
D
A
B
O
E
D
1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？

O

A

B

E
2、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

[来源:Zxxk.Com]
变式：在⊙O中，弦AB的长为8cm，OE⊥AB，垂足为E，EC长为2cm，求⊙O的半径。

O
D
A
C
R
3、你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,　拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

（四）总结反思 升华提高
1、圆是轴对称图形，经过圆心的 都是它的对称轴。
由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧。
如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备① 经过圆心，② 垂直于弦， ③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。
在圆的有关计算和证明中，常作圆心到 的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。
2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。
3.实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可，这样把垂径定理和勾股定理结合起来，构造直角三角形，可得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系
R=ｄ＋（）．
A．定理的三种基本图形——如图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。
B ．计算中三个量的关系——如图Ⅳ，。
C．证明中常用的辅助线——作弦心距。
构造Rt△的“七字口诀”：半径半弦弦心距

（图Ⅰ） （图Ⅱ） （图Ⅲ） （图Ⅳ）

（五）巩固练习,测评反馈
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若______________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）
2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.

3、如图，两圆都以点O为圆心，求证AC=BD

4、如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形。

O

B

A

C

E

D

（六）课外分层训练：
A组：
1、填空：在⊙O中
（1）若CD⊥AB，AB为直径，则 、 、
（2）若CM=DM，AB为直径，ＣＤ不是直径，则 、 、
（3）若AB⊥CD，CM=DM，则 、 、
（4）若=，AB为直径，则 、 、
2、如图⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8

第3题
第4题
第2题
第1题

3、如图已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（ ）
A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm
4、如图所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，OM=_______
5． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行． （ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧． （ ）
（6）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （ ）
B组：
1、⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦、最长弦的长为 .
2、如右图2所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，
则OM＝ .
3、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .
4、已知一段弧AB，请作出弧AB所在圆的圆心。

5、问题1：如图1，AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径，AB交小圆交于C、D两点，求证：AC=BD

问题2：把圆中直径AB向下平移，变成非直径的弦AB，如图2，是否仍有AC=BD呢？

问题3：在圆2中连结OC，OD，将小圆隐去，得图4，设OC=OD，求证：AC=BD

问题4：在图2中，连结OA、OB，将大圆隐去，得图5，设AO=BO，求证：AC=BD

6．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，
求⊙O的半径的长。

7、⊙的半径为5，弦，弦，且.求两弦之间的距离。

C组： 选作题
1.如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、
DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，
说明理由．

2.如图所示，CD是⊙O的直径，过弦AB两端分别作FA⊥AB，
EB⊥AB，交CD所在直线于F、E. 求证：CE＝FD.

3、（如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？（1）过圆心 ；（2）垂直于弦； （3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧 ； （5）平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
条件
结论
命题
①②
③④⑤

①③
②④⑤

①④
②③⑤

①⑤
②③④
②③
①④⑤

②④
①③⑤

②⑤
①③④
③④
①②⑤

③⑤
①②④
④⑤
①②③