高等数学单元测验试卷第11章微分方程答案.doc

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2010～2011 学年第 二 学期

科目: 高数（二）微分方程 单元测验参考答案及评分标准
命题教师： 使用班级：10 级专科各班

一、选择题（2 分*8=16 分）
1 2 3 4 5 6 7 8C B D B A D D C

二、填空题(2 分*5=10 分)

1、 - cos x + C 2、 C1 cos x + C2 sin x

3、 y = e-ò P(x)dx é Q(x)eò P(x)dxdx + C ù ò

5、
ê
ë

y = Cex - x -1
ûú
4、 y¢¢ + 3 y¢ + 2 y = 0

三、求下列方程的通解或特解。 （本题共 8 小题，每小题 7 分，总计 56 分）
dx

1、解：原方程变形为： -sin ydy = 2 x
3分

两边积分得： cos y = - 1 + C Þ cos y + 1 = C


7分

2、解: 原方程变形为：
x

dy = x2 + y2 = x + y
x


1分

令
dx

u = y Þ y¢ = u + u¢x
x
xy
yx


2分

y¢ = u + u¢x = u +


1 Þ 1 u2 = ln | x | +C Þ y2 = ln x2 + C


5分

u 2 x2

y2 = ln x2 Þ x2 = e yx22

y(1) = 0\C = 0 Þ 2 x


1页
7分

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3、解 ：原方程变形为： y


¢ + 2 x y = 4 x2


1分

\ P(x) = 2x ,Q(x) = 42x


2
x2 + 1
x2 + 1


3分

-
x2 + 1
x +1

\y =e
ò x22x+1dx éò 4x2 eò x22x+1dxdx + C ù

ê x2 + 1
ë
ú
û
4分

1 éò 4x2dx + C ù = 4x3 + 3C

=2 x +1ë
û 3(x2 +1)
7分

4、解： y ¢¢ = ò (sin x + x)dx = - cos x + 1 x2 + C1¢
2


3分

y¢ = ò (-cos x + 1 x2 + C1¢)dx = -sin x + 1 x3 + C1¢x + C2


5分

y=


ò(-sin x + 1 x


3
2

+ C1
6

¢x + C )dx = cos x + 1 x4 + C x2 + C x + C
7分

6
2
24
1
2
3

5、解：特征方程为： r2 - 4r + 3 = 0 Þ r1 = 1, r2 = 3

所以，通解为： y = C1ex + C2e3x

代入 y(0) = 6, y¢(0) = 10 ，得： C1 = 4,C2 = 2 ，

特解为：y = 4ex + 2e3x

6、解：特征方程为： r2 - 6r + 13 = 0 Þ r1,2 = 3 ± 2i


2分

5分

7分

3分

所以， a = 3, b = 2 ： 4分

通解为： y = e3x (C1 cos2 x + C2 sin2 x) 7分

7、解：原方程变形为：

dy = - xdx


2分

y


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1 - x2

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两边积分得：ln | y |= 1 - x2 + ln | C1 | 5分

\ y = Ce


1-x2


7分

8、解：令 u =


y Þ y¢ = u + u¢x
x


1分

原方程变形为： y¢ = u + u¢x = e-u + u

\ 1 dx = eudu Þ eu = ln | x | +C
x

y


3分

5分

y(1) = 0\C = 1Þ e = ln | x | +1 x

四、解：设曲线方程为 y = f (x), 则依题意有：

y¢ = 2 y + 2

这是一个一阶线性微分方程，其中 P(x) = -2,Q(x) = 2
7分

2分

3分

= e2x éò 2e-2xdx + Cù = e2x é-e-2x + C ù

ë
û
ë
û
5分

又因为曲线过点 (2,0) ，所以：C = e-4 Þ y = e2(x-1) -1 8分

五、 证明： 显然 a,b 至少有一个不为 0， 因此， u = ax + by + c 且不妨设b ¹ 0 ， 设

则

y = u - ax - c Þ y¢ = u¢ - a = f (u) 3分

b

\ du = bf (u) + a
dx
du
b


4分

分离变量得：\
bf (u) + a
= dx
6分

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