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第13单元：带电粒子在匀强电场中的运动
一、教法建议
抛砖引玉
这是一个以培养能力为主要目的单元。处理问题所需的知识都在本章第一单元和前几章的力学单元中学习过了，关键是怎样把学过的知识有机地组织起来，这就需要具有分析与综合的能力。
图 6-20
本单元讲授的内容有下列两项，教法如下：
1．带电粒子的加速
如图6-20所示：在一对带电平行金属板所形成的匀强电场中，两板间的电压为U、电场强度为E。如果图中的带正电或带负电的粒子的初速为零，就会在电场力的作用下作匀加速直线运动。（注：忽略带电粒子所受重力的影响才作直线运动。若不能忽略重力影响，则带电粒子将作向下方偏移的曲线运动。）
处理这类问题有两种方法。
第一种方法和基本思路如下：
QE=ma→a
F=QE
F=ma
然后再根据问题要求，选用匀变速运动公式。
（注：上式中的q和m为带电粒子的电量和质量。）
第二种方法的基本思路如下：
W=qU
ΔEk=
2．带电粒子的偏转
如图6-21之（1）、（2）、（3）、（4）所示：在真空中水平放置的一对带电金属板，两板间的电压为U、距离为d。若带电粒子以水平方向或斜向以初速v0射入平行金属板的电场中，则会发生偏转，其运动形式和性质与平抛、斜抛运动相似。
处理这种问题的基本思路如下：
F=ma
F=QE
E=
然后再根据类似平抛运动的公式求解：
x=v0t
y=

图 6-21

注1．上式与平抛运动不同的是a不是q而是上面的a=。
注2．忽略了带电粒子所受重力的影响。
注3．若属于斜射的问题不能按上式计算，需采用类似斜抛运动的公式求解。但是由于在力学中“斜抛物体的运动”已被列为选学（*），而且定量计算的要求不高，所以在“带电粒子的偏转”问题中对斜射问题也不作较高要求了。
指点迷津
1．为什么在解答“带电粒子在匀强电场中运动”的问题时，一般都可以忽略带电粒子所受的重力？
“带电粒子”一般是指电子、质子及其某些离子或原子核等微观的带电体，它们的质量都很小，例如：电子的质量仅为0.91×10-30千克、质子的质量也只有1.67×10-27千克。（有些离子和原子核的质量虽比电子、质子的质量大一些，但从“数量级”上来盾，仍然是很小的。）如果近似地取g=10米/秒2，则电子所受的重力也仅仅是meg=0.91×10-30×10=0.91×10-29(牛)。但是电子的电量都为q=1.60×10-19库（虽然也很小，但相对而言10-19比10-30就大了10-11倍），如果一个电子处于E=1.0×104牛/库的匀强电场中（此电场的场强并不很大），那这个电子所受的电场力F=qE=1.60×10-19×1.0×104=1.6×10-15（牛），看起来虽然也很小，但是比起前面算出的重力就大多了（从“数量级”比较，电场力比重力大了1014倍），由此可知：电子在不很强的匀强电场中，它所受的电场力也远大于它所受的重力——qE>>meg。所以在处理微观带电粒子在匀强电场中运动的问题时，一般都可忽略重力的影响。
但是要特别注意：有时研究的问题不是微观带电粒子，而是宏观带电物体，那就不允许忽略重力影响了。例如：一个质量为1毫克的宏观颗粒，变换单位后是1×10-6千克，它所受的重力约为mg=1×10-6×10=1×10-5（牛），有可能比它所受的电场力还大，因此就不能再忽略重力的影响了。（说明：这类问题也属本章范围）
2．带电粒子在匀强电场中的运动，是一种什么性质的物理问题？解答这种问题经常运用哪些物理知识和规律？
带电粒子在匀强电场中的运动，是一种力电综合问题。
解答这种问题经常运用电场和力学两方面的知识和规律，具体内容如下：
所需电场的知识和规律有：E→F=qE；W=qU；E；电力线的性质和分布；等势面的概念和分布：电势、电势差、电势能……
所需力学的知识和规律有：牛顿第二运动定律F=ma；动能定理W=ΔEk；动能和重力势能的概念和性质；能的转化和守恒定律；匀变速直线运动的规律；匀变速直线运动的规律；平势物体运动的规律（目前涉及/斜抛运动的定量问题要求得不多）
解答“带电粒子在匀强电场中运动”的问题，既需要掌握较多的物理知识，又需要具有一定的分析综合能力。
附带提到一点，有些是带电粒子在非匀强电场中运动的问题，也属于本单元的讨论范围，不过这种问题对中学生要求不高，也就是说不会有难度过大的问题。
二、学海导航
思维基础
例题1. 下列几种说法中，哪种说法是正确的？
（A）电场中电力线上每一点的切线方向都跟点的场强方向一致。
（B）沿电力线方向，场强一定越来越小。
（C）沿电力线方向，电势一定越来越低。
（D）在电场力作用下，正电荷一定以电势高的地方向电势低的地方移动。
（E）在电场力作用下，负电荷一定以电势高的地方向电势低的地方移动。
答：（ ）
思维基础：本题既能检查基础知识的掌握情况，又能启发和培养周密思考的习惯，这对中学生是十分有益的。解答本题需要熟知以下几方面的知识。
1．电力线的概念和性质。
2．电力线的方向与场强变化的关系——对于正点电荷形成的电场，沿电力线方向，场强越来越小；对于负点电荷形成的电场，沿电力线方向，场强越来越大；对于一对分别带等量正电和负电的平行金属板间形成的匀强电场，各处场强的大小和方向都相等。（各种情况不同。）
3．电力线的方向与电势变化的关系——沿着电力线的方向，电势越来越低。（此性质是唯一的，不受场源的正、负影响）
4．掌握物体在力的作用下的各种情况——如果物体原来是静止的，在动力（一个力或合力不为零）作用下应沿着力的方向运动；如果物体原来是运动着的（有初速度），则需看动力与初速度的方向而定；既可能加速，也可能减速，既可能直线，也可能曲线。（各种情况不同）
解题思路：
1．根据电力线的性质，可知（A）是正确的。
2．根据电力线的方向与电势变化的关系，可知（C）是正确的。
3．在前面“思维基础”的第2条中，我们已经分析说明了——在不同场源所形成的电场中场强的变化情况是各不相同的，因此（B）的那种说法——不考虑场源的差别，而一律都认为“沿电力线方向，场强一定越来越小。”显然是不正确的（至少是不全面的）。
4．在本题中，最易一误选的是（D）和（E），这是由于粗心大意，思维不周密造成的。在既不知场源的性质、也不知电荷初速度的大小和方向的情况下，就要作出一定的结论，显然是不可能的。
答案：（A、C）
例题2. 下列粒子从初速度为零的状态经过加速电压为U的电场之后，哪种粒子的速度最大？
（A）a粒子 （B）氚核 （C）质子 （D）钠离子
思维基础：解答本题需要把带电粒子在电场中加速的知识与高二学过的原子核知识联系起来。
1．本题已知电场的加速电压为U，要判断的是粒子被加速后的速度v的大小，因此采用分析问题比较方便。
2．若以mp表示质子的质量、以 e表示质子的电量，则根据高二所学过的原子核知识可知——a粒子的质量应为4mp、电量应为2e；氚核的质量应为、电量应为e；钠离子的质量比其它三种粒子的质量都大（由于是选择判断题，对此未记质量数也无妨）、电量应为e。
解题思路：
1． 根据可以导出下式

由于可知：对于各种粒子来说，加速电压U都是相同的。因此v与成正比；v与 成反比。
因为质子和钠离子所带的电量相同，而钠离子的质量却比质子大得多，所以可断定——电场加速后的质子速度应比钠离子大得多。因此选项（D）首先被淘大。
2．为了严格和慎重起见，我们对被加速后的a粒子、氚核、质子的速度进行下列推导：对于a粒子——质量为4mp、电量为2e

对于氚核——质量为3mp、电量为e

对于质子——质量为mp电量为e

从比较推导的结果中知：质子的速度 VP 最大。
答案：（C）
学法指要
图 6-22
例题3. 在图6-22中a、b和c表示点电荷a的电场中的三个等势面，它们的电势分别为U、U、U。一带电粒子从等势面a上某处由静止释放后，仅受电场力作用而运动，已知它经过等势面b时的速率为v，则它经过等势面c的速率为 。
启发性问题：
1．在本题中的场源点电荷Q是带正电的还是带负电的？
2．原来处于静止状态的带电粒子，若仅受电场力作用，则应作什么性质的运动？运动的方向如何？
3．解答本题，你认为应当选用哪个关系式？
分析与说明：
1．已知a、b、c三点的电势的大小关系为U>U>根据“电力线的方向总是由电势高的等势面指向电势低的等势面”的性质，可分析出本题中的电力线方向是由场源点电荷Q为中心向四外放射的，而这样分布电力线的场源点电荷应当是带正电的。
2．原来处于静止状态的带电粒子，若仅受电场力作用应作加速运动。应沿着电力线的方向由电势高处向电势低处运动。
附注：前面所说的加速运动不一定是匀加速运动。只有在匀强电场中带电粒子才会作匀加速运动。在非匀强电场中（例如在点电荷场源的电场中）由于各处的电场强度不同，电荷所受的电场力的大小是变化的，所以加速度的大小也是变化的。
3．解答本题选用的主要关系式为：

式中Uab两等势面的电势差，va、vb为带电粒子经过时a、b等势面时的速率。（对于b、c两等势面也存在同样形式的关系式。）
求解过程：
设：带电粒子的电量为q；a、b两等势面的电势差为Uab、b、c两等势面的电势差Ubc；带电粒子经过等势面a、b、c时的速率分别为Ua、Ub、Uc。（已知：Ua=0，Ub=v）
则：
①
②
将①、②两式相除可得：
③
将、、、代入③式：

答案：带电粒子经过等势面c的速度为1.5v。
思维体操
例题4. 如图6-23所示：在方向水平向右的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m的带正电的小球，另一端固定于O点。把小球拉起至细线与场强平行，然后无初速解放。已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ。求：小球经过最低点时细线对小球的拉力。
图 6-23

“准备活动”（解题所需的知识与技能）：
1．在本题中，小球摆动的过程是电荷克服电场力做功（电场力做负功）的过程——重力势能减少，电势能增加。根据能的转化和守恒定律可知：重力势能的减少量等于电势能的增加量。（说明：本题是宏观小球，重力不能忽略。）
2．重力对物体所做的功只跟起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。而且重力所做的功等于物体重力势能的变化。根据这种性质，在本题中若设细线长度为l，则小球从释放点到左侧最高点重力势能的减少量应该等于mglcosθ。
3．电场力对电荷所做的功只跟起点和终点的终点的位置有关，而跟电荷运动的路径无关。而且电场力所做的功等于电荷的电势能的变化。根据这种性质，在本题中若设小球所带电量为q、场强为E，则小球从释放点到左侧最高点电势能的增加量应该等于qEl(1+ sinθ)。（请读者根据W=qU、U=Ed、d=1+lsinθ推导出上面的结果，这是不困难的。）
4．小球摆动的过程中，重力做正功（重力势能减少）；电场力做负功（电势能增加），因此正功与负功的代数和（即算术差）应当等于小球增加的动能。若设小球运动到最低点时的速度为v，则其数学关系为。
5．在解答本题时，还需使用圆周运动的向心力关系式，若设小球经过最低点时细线对小球的拉力为T，则应有：。
“体操表演”（解题的过程）：
在前面的“准备活动”中我们已作了充分的准备，下面只需把准备好的各个关系式联立起来，就可求解了。
①
②
③
由②式可以导出：
④
将④、③两式相除可得：

将v2值代入③式：

答：小球经过最低点时细线对小球的拉力为。
“整理运动”（解题后的思考）：
1．你觉得本题的难点在哪里？
2．通过解题，你对于“势能”的概念和性质有什么体会？（包括“重力势能”和“电势能”）
3．运用“能的转化和守恒”来解答“力一电”综合问题有什么优点？
4．如果只给你列出①、②、③三个关系式，你能推导出最后的答案吗？你认为自己在“运用数学解决物理问题的能力”方面达到了什么水平？
三、智能显示
心中有数
1．带有粒子的加速度：若带电粒子仅受电场力且电场力做正功，其电势能减少功能增加。
（1）初速度为零时

（2）初速度不为零时

上述公式适用于匀强和非匀强电场。
2．带电粒子的偏转：带电粒子仅受电场力作用为初速度v0垂直进入匀强电场，做类平势运动，此类问题一般都是分解为两个方向的分运动来处理。
沿初速度方向做匀速运动：vx=v0，x=v0t
沿电场方向做匀加速运动：vy=at，y=at2/2
两个分运动的联系桥梁：时间t相等
若偏转电场的电压为U、距离为d，则带电粒子的加速度为a=qU/md，任意时刻的速度为侧移量。偏转角θ的正切为。
3．处理带电粒子运动问题的三条途径：
（1）匀变速直线运动公式和牛顿运动定律
（2）运动定理或能量守恒定律
（3）运动定理和动量守恒定律
4．带电粒子所受重力是否可以忽略；
（1）基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外一般都可忽略不计。
（2）带电颗粒：如液滴、尘埃、小球一般都不能忽略。
动脑动手
图 6-24

动脑动手
（一） 选择题
1．如图6-24所示，a、b、c为一点电荷形成的电场中的三条电场线，另有一点电荷从M点射入电场，在电场力（只受电场力）作用下沿图中虚线运动到N点，则该电荷从M向N运动的过程中
A．加速度一直减小 B．动能一直减小
C．电势能一直减少 D．动能和电势能的总和一直减少
2．如图6-25所示，水平放置的平行金属板充电后板间形成匀强电场，板间距离为d，一个带负电的液滴带电量大小为q，质量为m，从下板边缘射入电场，沿直线从上板边缘射出，则
A． 液滴做的是匀速直线运动
B．液滴做的是匀减直线运动
图 6-25

B． 两板的电势差为mgd/q
C． 液滴的电势能减少了mgd
3．如图6-26所示，电子从负极板边缘垂直射入均强电场，恰好从正极板边缘飞出。现在若使两极板间的距离大于原来的2倍，两极板的电压保持不变，电子入射的方向和位置不变，且电子仍恰从正极板边缘飞出，则电子入射速度大小应为原来的
图 6-26

A． B．1/2倍 C． D．2倍
4．一带电粒子射出一固定在O点的点电荷的电场中，粒子运动轨迹如图6-27中虚线abc所示，图中实线是同心圆弧，表示电场的等势面，不计重力，可以判断
A．此粒子一直受到静电排斥力的作用
B．粒子在b点的电势能一定大于在a点的电势能
C．粒子在b点的速度一定大于在a点的速度
D． 粒子在a点和c点的速度大小一定相等
图 6-27

5．让原来静止的氢核（）、氚核（）和氚核（）的混合物通过同一加速电场后，各种核将具有
A．相同的速度 B．相同的动能
C．相同的动量 D．以上都不相同
6．让质子（）、氚核氚核（）的混合物沿着与电场垂直的方向进入匀强电场偏转，要使它们最后的偏转角相同，这些粒子必须具有相同的
A．初速度 B．动能 C．动量 D．质量
7．如图6-28所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行极板间的电场中，入射方向跟极板平行，整个装置处在真空中，重力可忽略。在满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角变大
图 6-28

的是
A．U1变大，U2变大 B．U1变小，U2变大
C．U1变大，U2变小 D．U1变小，U2变大小
8．一个带电小球，用绝缘细线悬在水平方向的匀强电场中，如图6-29所示，当小球静止后把悬线烧断，小球将做
A．自由落体运动 B．匀变速曲线运动
C．沿悬线的延长线做匀加速直线运动 D．变加速直线运动
9．一束正离子以相同的速度从同一位置垂直于电场方向飞入匀强电场中，所有离子的轨迹都是一样的，这说明所有离子
A．具有相同的质量 B．具有相同的电量
C．电量与质量相比（荷质比）相同 D．都属于同元素的同位素
10．一带正电的质量为m的液滴在匀强电场外上方的A点自由下落，如图6-30所示。当液滴进入匀强电场后，其可能的运动轨迹为图6-30中哪一个？
11．如图6-31所示，有三个质量相等分别带正电、负电和不带电的小球，从p点以相同的初速度垂直电场方向进入匀强电场E中，它们分别落到A、B、C三点，则可判断
图 6-29

A．落到A点的小球带正电，落到B点的小球不带电
B．三个小球在电场中运动的时间相等
C． 个小球到达正极板时的动能关系是：EkA> EkB> EkC
D． 三个小球在电场中运动的加速度关系是：aA > aB >aC

图 6-30

图 6-31

12．如图6-32所示，是一个示波管工作的原理图，电子经加速电压加速后以速度v0垂直电场方向进入偏转电场，离开电场时侧移量为h，两平行板间的距离为d，电势差为U，板长为l，每单位电压引起的侧移量h/U叫做示波管的灵敏度。为了提高灵敏度，可采用下列哪些方法？
A．增加两板间的电势差U
B．尽可能使板长l做得短些
图 6-32

C．尽可能使两板间的距离d减小些
D．使电子的射入速度v0大些
13．质子（）和a粒子（）由静止经相同加速电压加速后，垂直射入同一匀强电场，射出电场时，它们的横向侧移量之比和在偏转电场中运动时之比分别是
图 6-33

A．2:1，:1 B．1:1:1: C．1:2，2:1 D．1:4，1:2
14．如图6-33所示，绝缘细线栓一带负电的小球，在竖直向下的匀强电场中的竖直平面内做圆周运动，则
A．小球到达最高点A时，细线的张力一定最小
B．小球到达最高点B时，小球的速度一定最大
C．小球到达最高点A时，小球的电势能一定最小
图 6-34

D．小球在运动过程中机械能不守恒
15．如图6-34所示，A、B是一对平行金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压，A板的电势为零，B板的电势随时间变化的规律如图6-35所示。一电子从A板上的小孔进入两板间的电场中，设电子的初速度和重力可忽略不计，则
A．若电子是在t=0时刻进入电场的，它将一直向B板运动
B．若电子是在t=T/8时刻进入电场的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
图 6-35

C．若电子是在t=3T/8时刻进入电场的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
D．若电子是在t=T/8时刻进入电场的，它时而可能向B板运动，时而向A板运动
（二）填空题
16．在绝缘光滑的水平桌面上，有两个带同种电荷的小球A和B，质量分别为m和4m，相距l。在它们之间的库化力的作用下由静止开始运动，经历时间t后，B球的速度为v，此时两球的动量大小之比为PA:PB= ，A、B两球的电势能共减少了 。
图 6-36

17．如图3-36所示，水平放置的平行板电容器，电容为C，极板间的距离为d，板长为l，与电池组相连。当电键S闭合时，电容器中央一个质量为m、电量为q的油滴恰好处于静止状态。
（1）电键S始终闭合，用绝缘手柄把下极板在向上d/3的范围内缓慢地向上、向下周期性移动，油滴的运动状态是 ，若是在向下d/3范围内上、下移动下极板，则油滴的运动状态是 。
（2）断开电键S，用绝缘手柄把下极板在向下d/3范围内缓慢地向下、向上周期性移动，油滴的运动状态是 ，若是在向上d/3范围内上、下移动下极板，则油滴的运动状态是 。
（3）断开电键S，用绝缘手柄将上极板向左移出一些，保持极板间距离d不变，则油滴的运动状态是 。
（三）计算题
图 6-37

18．一束电子流在U1=500V的电压作用下得到一定速度后垂直于平行板间的匀强电场飞入两板间的中央，如图3-37所示。若平行板间的距离d=1cm，板长l=5cm，问至少在平行板上加多大电压U2才能使电子不再飞出平行板？
19．在光滑水平面上有一质量m=1.0×10-3kg，电量q=1.0×10-10C带正电小球，静止在O点，以O点为原点，在该水平面建立直角坐标系Oxy。现突然加一沿x轴正方向、场强大小E=2.0×106V/m的匀强电场，使小球开始运动，经过1.0s，所加电场突然变为沿y轴正方向，场强大小仍为E=2.0×106V/m的匀强电场，再经过1.0s所加电场又突然变为另一个匀强电场，使小球在此电场作用下经1.0s速度变为零，求此电场的方向及速度变为零时小球的位置。
图 6-38

20．质子和a粒子从静止开始，经过同一电压加速后，再垂直进入同一匀强偏转电场。试证明两粒子离开偏转电场时沿电场方向的位移相同。
创新园地
21．如图6-38所示，水平放置的两平行金属板MN的距离d=0.20m，给两板加电压U（M板带正电，N板带负电），板间有一长度L=8.0×10-2m绝缘板AB能够绕端点A在竖直平面内转动。先使AB板保持水平静止，并在AB板的中点放一质量m=4.9×10-10kg、电量q=7×10-10C的带正电的微粒p。现使板AB突然以角速度ω100π/3，r/s沿顺时针方向匀速转动。为使板AB在转动中能与微粒p相碰，则加在平行金属板M、N之间的电压取值是多少？
参考答案
动脑动手
（一）选择题
1.A、B 2.A、C、D 3.B 4.A、B、D 5.B 6.B 7.B 8.C 9.C 10.C 11.A 12.C 13.B 14.C、D 15.A、B
（二）填空题
16．1:1，10mv2
17．（1）向上加速运动，向下加速运动；（2）静止状态，静止状态；（3）向上加速运动
（三）计算题
18．电子经U1加速时，电场力做正功，根据动能定理可得

电子飞入平行板电场后做类似平抛运动，在水平方向电子做匀速直线运动，最大运动时间
t=l/v0
在竖直方向电子做初速为零的匀加速运动，其加速度为
a=ev2/md
根据运动学公式
d/2=at2/2
由以上各式解得：
U2=2U1 a2/l2=400V
19．由牛顿定律得知，在匀强电场中小球加速度的大小为：
a=qE/m=0.20m/s
当场强沿x轴正方向时，1.0s末小球速度的大小和沿x轴正方向的位移分别为
vx=at=0.20m/s
Δx1=at2/2=0.10m
在第2s内，电场方向沿y轴正方向，小球在x正方向做匀速运动，沿y轴正方向做初速度为零的匀加速运动，沿x轴正方向的位移为
Δx2=vxt=0.20m
沿y轴正方向的位移为
Δy=at2/2=0.10m
在第2s末小球的位置坐标为
x2=Δx1+Δx2=0.30m
y2=Δy=0.10m
在第2s末小球在x轴方向的分速度仍为vx，在y轴正方向的分速度为
vy=at=0.20m/s
由此可知，此时小球的运动方向与x轴正方向成45°角，要使小球速度变为零，则在第3s内所加匀强电场方向必须与此方向相反，即指向第三象限，与x轴正方向成225°角。
在第3s内，小球的加速度沿x轴和y轴的分量为
ax=vx/t=0.20m/s2
ay=vy/t=0.20m/s2
在第3s末小球到达的位置坐标为
x3=x2+vxt-axt2=0.40m
y3=y2+vxt-ayt2=0.20m
20．改粒子的质量为m、电量为q，经电压U1加速后，根据动能定理

粒子以速度v0垂直场强E的匀强电场，做类似平抛运动，沿v0方向做匀速运动沿场强方向做匀加速运动

粒子离开偏转电场沿v0方向的位移x=1。
由以上各式解得：粒子离开偏转电时沿场强方向的位移为
y=El2/4U1
由此可知：粒子沿偏转电场方向的位移y与粒子的质量和带电量无关。所以质子和a粒子沿偏转电场方向的位移相同。
创新园地
21．设微粒p经过时间t1恰好与B端相碰，则AB板转过的角度θ=π/3，所以过去的时间t1=θ/ω=0.01s，微粒p竖直下落的高度h=Lsinθ的加速度a1=(mg+qU1/d)/m，由h=得

解得电压

另一种情况，设AB板转过2π+q=7p/3时恰与微粒p相碰于B端。运动时间t2= (2p+q)/w=0.70s，微粒下落的加速度a2=(mg+qU2/a)/m
∴
解得电压

综上所述，当金属板MN间的电压U≥192V或者U≤2.6V时可保证AB板与微粒p相碰。