广义积分的概念.doc

5.4 广义积分的概念
5.4.1 无穷限的广义积分
定义1　设函数f(x)在区间[a , +¥ )上连续，取b>a，若极限

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +¥ )上的广义积分，记作
，即　。　　　　　　　　　　　　　 (1)
这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。
类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。
设函数f(x)在区间(-¥ ,+¥ )上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-¥ , +¥ )上的广义积分，记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。
上述广义积分统称为无穷限的广义积分。
例1　证明广义积分(a>0)当p>1时收敛，当p£ 1时发散。
证　当p = 1时，
,
当p¹ 1时，

因此，当p > 1时，这广义积分收敛，其值为；当p£ 1时，这广义积分发散。
5.4.2 无界函数的广义积分
现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。
定义2　设函数f(x)在(a,b]上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛。
类似地，设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而在点c的领域内无界，如果两个广义积分与都收敛，则定义
；　　　(2)
否则，就称广义积分发散。
例2　证明广义积分当q < 1时收敛，当q ³ 1时发散。
证　当q = 1时，
，
当q ¹ 1时，

因此，当q < 1时，这广义积分收敛，其值为；当q ³ 1时，这广义积分发散。