解析几何中的对称问题.doc

解析几何中对称问题的常见求解方法
关键词：对称点、对称直线
解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。
一、关于点对称。
1、点关于点对称。①点关于原点的对称点坐标是；②点关于某一点的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为。
2、直线关于点对称。① 直线L：关于原点的对称直线。设所求直线上一点为，则它关于原点的对称点为，因为点在直线上，故有，即；② 直线关于某一点的对称直线。它的求法分两种情况：1、当在上时，它的对称直线为过点的任一条直线。2、当点不在上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线上任取一点，则它关于的对称点为，因为点在上，把点坐标代入直线在中，便得到的方程。解法（二）：在上取一点，求出关于点的对称点的坐标。再由，可求出直线的方程。解法（三）：由，可设关于点的对称直线为且求设从而可求的及对称直线方程。
3、曲线关于点对称，曲线关于的对称曲线的求法：设是所求曲线的任一点，则点关于的对称点为在曲线上。故对称曲线方程为。
二、关于直线对称
1、点关于直线对称。
⑴ 点关于轴、轴，直线，的对称点坐标可利用图像分别求设为。
⑵ 点关于某直线的对称点的坐标。
解法（一）：由⊥知，直线的方程→由可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点的坐标。
解法（二）：设对称点由中点坐标公式求得中点坐标为把中点坐标代入中得到；① 再由得②，联立①、②可得到点坐标。
解法（三）：设对称点为，由点到直线的距离公式有①，再由得②由①、②可得到点坐标。
2、直线关于直线的对称直线。
⑴ 当与不相交时，则∥∥。在上取一点求出它关于的对称点的坐标。再利用可求出的方程。
⑵ 当与相交时，、、三线交于一点。
解法（一）：先解与组成的方程组，求出交点的坐标。则交点必在对称直线上。再在上找一点，点的对称点也在上，由、两点可求出直线的方程。
解法（二）：在上任取一点，则点关于直线的对称点在直线上，再由⊥，。又的中点在上，由此解得，把点代入直线的方程中可求出的方程。
解法（三）：设关于的对称直线为，则必过与的交点，且到的角等于到的角，从而求出的斜率，进而求出的方程。
3、曲线关于直线对称。曲线关于直线的对称曲线的方程，在上任取一点，可求出它关于的对称点坐标，再代入中，就可求得的方程。
综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是：⑴ 求对称点一般采用，先设对称点，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵ 求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点，再利用求对称点的方程求出点的对称点点坐标，将点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于的关系式，就是所求对称曲线的方程。

通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：
心
)
中
称
对
(
轴
称
对
)
线
直
(
点
称
对
线
直
、
点

原点（0，0）

轴

轴

直线

直线

由此可见，熟练地记忆和掌握各种对称点和对称曲线的求法，将会对我们解决对称问题带来很大的方便。
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