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一、 派尔斯（Peierls）相变
1、聚乙炔的结构
（1） 聚乙炔是由CH单体聚合而成的平面型线型共轭高分子。

（2） 聚乙炔的常见同分异构体：
反式：两个CH单体组成一个原胞，双键两端的两个氢原子位于双键的两侧，反式异构体是热力学的稳定状态。

顺式：四个CH单体组成一个原胞，双键两端的两个氢原子位于双键的同侧。

在温度升高时，顺式会转变成为反式。在保持相领两键之间的夹角是120度的情况下，有四种同分异构体：

（3） 聚乙炔薄膜的结构
在电子显微镜下，聚乙炔薄膜是由混乱取向的细丝所组成，细丝的直径随着不同的聚合条件而定，每根细丝由千万个碳链组成，薄膜中细丝之间的空隙很大。细丝中碳链上碳原子间的耦合性很强，碳链之间的耦合性很低，所以碳链基本上只能在单链上运动。由于细丝之间的空隙很大，所以容易参杂，因为是插隙式的，所以能保持碳链的完整性。
2、一维体系的电导和派尔斯相变

（1） 价电子
在聚乙炔中，每个碳原子有四个价电子，其中三个是sp2杂化轨道，第四个是2pz轨道。在sp2杂化轨道上的一个电子与氢原子相连，另外两个分别与左右的碳原子相连形成σ 键，σ 键构成了聚乙炔的主链。第四个电子是π 电子，π电子可以在相邻碳原子之间跳跃，因此π电子可以导电。

（2） 相变过程：一维体系物质的电导率随温度变化而变化的过程。
（3） 派尔斯相变：当温度升高时，一维体系由绝缘体或半导体转变为导体的相变过程。
3、费米面
（1） 波数K：波长的倒数；（K=1/入=p/h）表示在1cm的长度中有多少波长。
（2） K空间（动量空间）：以K为坐标轴的空间。

（3） 对于动量为p的电子，取电子的运动方向为x轴，则其波函数是平面波：
（4） 电子在长度为L的直链中运动时，其波函数要满足周期性的边界条件（在边界上波函数值相等→ (m=0,1,2------)）
（5） 费米动量：设一维体系的长度为L，其中有N个可以自由移动的电子，体系中的N个电子按其能量的大小依次从K小的状态向K大的状态逐一填充在动量空间，N个电子填充后，最大的动量为PF，PF就是费米动量。
（6） 一维体系中决定费米动量的重要公式：
（7） 费米能EF：一维电子体系处于基态时，最大的动量是PF，电子的最大动量为
（8） “电子----空穴对”激发：将一个位于︱K︱>KF的状态上去的激发。

（9） 激发能：
（10） 在二维电子体系中，电子的波函数为

在周期性边界条件下：, mx, my=0,1,2…….
二维体系中决定动量的公式：

（11） 费米球：在三维动量间中，当体系处于基态时，N个电子将填满一个半径为KF的球，此球称为费米球。
（12） 在三维体系中，电子的波函数为：

在周期性边界条件下：
（13） 费米动量（三维空间）：在三维动量空间中的费米球的半径KF
（14） 费米面：三维动量空间中费米球的球面；二维的费米面是圆周；一维的费米面是两点。
4、一维晶格的布里渊区
（1） 能谱：电子的能量与动量之间的函数关系，称为电子的能谱。

（2） 电子的线密度n：
（N：晶格中的原子数；L：一维晶格的总长度；a：晶格常数）
（3） 电子的费米动量:
（4） 能隙2△：当波数为，其上的电子会受到晶格原子的强烈散射，导致电子的能谱E（k）在KB上发生跳跃，出现的能谱差值。
（5） 能带：晶格中电子的能谱是一段一段的，每一段连续的能谱就称为一个能带。
（6） 布里渊区：由所分割成的区域称为布里渊区。
布里渊区的分布：
第Ⅰ布里渊区：
第Ⅱ布里渊区：
第Ⅲ布里渊区：
……………….
特殊的波数KB （n）就是布里渊区的边界。

另外：布里渊区边界KB （n）是由晶格常数决定的，与电子数无关；而费米动量KF，完全由电子的密度n 决定，与晶格结构无关。KF是基态中电子的最大动量，而KB （n）是电子能谱不连续的位置。
（7） 不同的材料，电子的线密度n不一样，运用费米动量计算，相比较可得出第一能带的填充情况。
（8） 通过薛定谔方程，自由电子的能谱为：
（9） 在第一布里渊区出现的能隙Eg（1）=2V1 ，在第n个布里渊区的边界上的能隙为Eg(n)=2V(n) 。
5、二维晶格和三维晶格的布里渊区
（1） 晶格常数a，1/a作为度量空间的单位。令b=1/a, k轴上的一系列点在动量空间中称为“倒格点”，以1/a为单位的动量空间称为“倒格子空间”。倒格子空间中的各个倒格点的中点就是布里渊区的边界。
（2） 在边长为L晶格常数为a 的正方形晶格中，原子数N=（L/a）2
（3） 在二维动量空间中，点阵中各点的位置矢量是：，称为“倒格矢”。
（4） 在二维倒格子空间中，对每个倒格矢Kn1,n2做垂直平分线，这些垂直平分线将动量空间划分成许多区域，最靠近坐标轴原点的一块正方形区域称为第Ⅰ布里渊区，其次靠近的四块三角形区域称为第Ⅱ布里渊区…….布里渊区域的边界是倒格矢的垂直平分线，各个布里渊区域的面积都相等S=1/a2

（5） 在二维布里渊区域中，布里渊区域中动量状态数=晶格数中的原子数。
（6） 不同维度的布里渊区域及其边界的形状：
维度
布里渊区
布里渊区的边界
一维
线段
点
二维
多边形
直线
三维
多面体
平面
不同维度的菲费米球和费米面的形状：
维度
费米球
费米面
一维
线段
两点（±Kf)
二维
圆
圆周
三维
球
球面

6、一维晶格的派尔斯不稳定性
（1） 导体和半导体的差别：如果能带未被电子填满，则是导体；如果能带被电子填满，则是半导体或绝缘体。
（2） 导体和半导体的判断方法：（1）能带是否被电子填满；（2）费米面与布里渊区边界是否重合
（3） 在聚乙炔中，如果碳原子是等距离排列，聚乙炔是导体。
（4） 派尔斯不稳定性：等距离排列的一维晶格是不稳定的。
（5） 二聚化：两个原子配对组成新原胞的过程。
（6） 结论：对于一维体系，如果费米面的位置KF与布里渊区的边界KB(n)不重合，该一维体系就具有派尔斯不稳定性，晶格原子要发生位移，对于形变后的新晶格，其新的布里渊区一定与费米面KF重合，这时在费米面上产生一个能隙，一维体系变为半导体或者绝缘体。
（7） 派尔斯相变：升高一定的温度后，费米面上的能隙消失，此时一维体系变成导体 。
（8） 派尔斯相变是一维体系的特性，这是维度性决定凝聚态物性的一种表现 。
7、聚乙炔的哈密顿量
（1） 体系的哈密顿量是体系的总能量 。
（2） 聚乙炔的总能量是晶格原子（CH单元）和电子（包括晶格原子对电子的作用）两部能量之和 。
（3） H=Ha+He
H：聚乙炔总哈密顿量
Ha：晶格原子哈密顿量
（k:弹性常数，k=21—56eV/A2；M：原子质量；un:第n个原子在链方向上的位移）
He：电子哈密顿量
（pi :第i个电子的动量；m：电子的质量；r i ：第i个电子的坐标）
（4） 产生算符an+1+ :表示在第n+1个原子上增加一个原子 ；
湮灭算符an :表示在第n个原子上减少一个电子 。
（5） an+, s 和 an , s ;说明在第n个原子上增加或减少一个自旋为S（）的电子。
（6） 哈密顿量：
（7） 费米对易关系：a+a+aa+=1
8、派尔斯不稳定性的理论
（1） 对于聚乙炔，派尔斯不稳定性的结果就是发生了二聚化。
（2） 聚乙炔二聚化以前：，哈密顿量为：
（3） 将哈密顿算符对角化后，哈密顿量变为：

二聚化以前的电子能谱为：
二聚化以前体系的能量：
（4） 二聚化以后，电子的能谱分为两部分：

二聚化后体系的能量为：当原子的位移u比较小时，第一项降低的数值超过了第二项增加的数值，因而二聚化可使整个体系的总能量降低，这是派尔斯不稳定性的来源。

（5）

孤子
（1） 孤波：一种在水面上传播的具有特殊性质的波，其形状是一个孤立的波峰，波峰在传递过程中保持形状不变 。
（2） 根据傅里叶分析，孤立的波峰是由各种波长的平面波叠加而成的，单独的色散或非线性效应都会导致波峰改变形状 。
（3） 孤波可具有的特点：
定域性： 波形集中在一定的范围以内，在此范围以外，波幅很快趋向于零，因此波动的能量也定域在有限的范围内。
稳定性：在传播过程中波形固定不变，传播速度也保持不变。
完整性：在碰撞后，波形仍恢复到原来的形状，并以原有的速度继续向前传播。
（4） 孤子：一种同时具有定域性、稳定性和完整性的孤波。
（5） 孤波：只具有定域性和稳定性，不具有完整性的波形。
（6） 孤子的扩大范围应用：只要是孤波，不管在碰撞后能否恢复到原来的形状。
（7） 孤子的两种形式：具有波峰的形式和像台阶的形式。
台阶式：

（8） 聚乙炔中出现的孤子就是畴壁型的，（如上图所示）它能够携带正电荷或负电荷，但诶有自旋和自旋磁矩，运动时的有效质量大约是电子的六倍，所以，当它在聚乙炔连上运动时，就能形成电流。这种孤子是聚乙炔的载流子。

反式聚乙炔中的孤子
（1） 碳原子位移的序参量Φn ：Φn =（-1）n un 。（un是相领两个碳原子的位移）
对于A相：Φn = -u0= -0.04×10-10
对于B相：Φn = +u0= +0.04×10-10
（2） Pople Walmsiey缺陷：全部处于基态A相得反式聚乙炔链，加以一定数量的能量让其激发，在碳链上将会出现两个过度区域，由A相过渡到B相的区域为正畴壁，由B相过度到A相得区域为反畴壁，这种畴壁就是 Pople Walmsiey缺陷 。
（3） 畴壁是反式聚乙炔中的一种激发方式，每个畴壁是该种激发的一个单元，激发的单元称为元激发 。
（4） 正畴壁和反畴壁都是孤子，正畴壁称为孤子（S），反畴壁称为反孤子（）
具体的函数形式：Φu=u0tanh(na/ξ) (正畴壁)
Φu= -u0tanh(na/ξ) （反畴壁）
（5） 定域态：孤子所引起的势场畸变是域的，在此种定域势场的作用下，电子会形成束缚态，电子的定域态简称为孤子态，其能级ξs 简称为孤子能级，位于能隙中央 。
孤子的电荷和自旋
（1） 孤子—反孤子对：在原来均由基态A相中激发起孤子，就要使其中的一段变为B相，这时将出现两个过度区域，一个是孤子，另一个是反孤子，因而孤子和反孤子是成对出现的。
（2） “半个状态”：在聚乙炔中可以实现双峰式的电子波函数，这是一个电子的一个状态，但有两个波包，由于孤子和反孤子可以独立运动，因而每个波包相当于定域的“半个状态”。
（3）

（4） 孤子的电荷和自旋

电荷 q
自旋s
中性孤子
0
+1/2和-1/2
正电子
+e
0
负电子
-e
0
电子
-e
+1/2和-1/2
空穴
+e
+1/2和-1/2
（6） “单粒子激发”：产生一个电子和空穴，只要将一个电子从价带激发到倒带中去，此时原子的晶格结构和电子的能带结构都不改变，这种激发称为“单粒子激发”；
“集体激发”：当产生一个孤子时，除了一个电子从价带顶跃迁到能隙中央的孤子能级以外，原子的晶格结构发生了变化（出现了畴壁），同时电子的能带结构也发生了变化（价带和倒带中每种自旋各减少了“半个状态”）。