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第4版数量关系模块宝典节选
上篇数字推理上篇数字推理
第一章基本知识与基本思维
第一节基础数列
基础数列六大类型：
(1)常数数列；(2)等差数列；(3)等比数列；(4)质数型数列；(5)周期数列；(6)简单递推数列。
一、常数数列
由一个固定的常数构成的数列叫做常数数列。
【例1】3，3，3，3，3，3，3，3，3，…
二、等差数列
相邻两项之差（后项减去前项）等于定值的数列叫做等差数列。
【例2】3，5，7，9，11，13，15，17，…
三、等比数列
相邻两项之比（后项除以前项）等于定值的数列叫做等比数列。
【例3】3，6，12，24，48，96，192，…
备考要点
“等差数列”与“等比数列”的基本概念在考试当中基本没有意义，对于考生来说，重要的是以下两点：
(1)快速地判断出某个中间数列是等差数列还是等比数列，抑或两者皆不是；
(2)迅速将数列对应规律的下一项计算出来。
四、质数型数列
质数数列：由质数构成的数列叫做质数数列。
【例4】2，3，5，7，11，13，17，19，…
合数数列：由合数构成的数列叫做合数数列。
【例5】4，6，8，9，10，12，14，15，…
质数基本概念
只有1和它本身两个约数的自然数叫做质数；除了1和它本身之外还有其他约数的自然数叫做合数。注意：1既不是质数，也不是合数。
五、周期数列
自某一项开始重复出现前面相同（相似）项的数列叫做周期数列。
【例6】1，3，7，1，3，7，…
【例7】1，7，1，7，1，7，…
【例8】1，3，7，-1，-3，-7，…
周期数列基本原则
一般来说，数字推理当中的周期数列（包括未知项）至少应出现两个“3-循环节”，或者三个“2-循环节”，此时其周期规律才比较明显。故在一般情况下，要判断一个数列有无周期规律，加上未知项，至少要有六项。
项数过少的数列称其为“周期数列”过于牵强，此时这种数列如果还有其他规律存在，则优先考虑其他规律。
六、简单递推数列
数列当中每一项等于其前两项的和、差、积或者商。
【例9】1，1，2，3，5，8，13，…（简单递推和数列）
【例10】37，23，14，9，5，4，1，…（简单递推差数列）
【例11】2，3，6，18，108，1944，…（简单递推积数列）
【例12】256，32，8，4，2，2，1，2，…（简单递推商数列）
本章总结
在公务员考试中，以上基础数列都相对比较简单，直接考查以上各种基础数列的题目也并不是很多，但各位考生一定要注意以下两点：
1.在规律不变的前提下，可能只是由于数字稍加变化，规律就可能变得模糊；
2.作为复杂数列的中间数列，大家对基础数列一定要“烂熟”。
第二节数字敏感
一、单数字发散
“单数字发散”概念
即从题目中所给的某一个数字出发，寻找与之相关的各个特征数字，从而找到解析试题的“灵感”的思维方式。
“单数字发散”基本思想
1.分解发散
针对某个数，联系其各个因子（即约数）及其因子的表示形式（包括幂次形式、阶乘形式等），牢记典型质数与“典型形似质数”的分解方式。
2.相邻发散
针对某个数，联系与其相邻的各个具有典型特征的数字（即“基准数字”），将题干中数字与这些“基准数字”联系起来，从而洞悉解题的思想。
常用幂次数
平方数底数12345678910平方149162536496481100底数11121314151617181920平方121144169196225256289324361400底数21222324252627282930平方441484529576625676729784841900立方数底数12345678910立方1827641252163435127291000多次方数指数
底数123456789102248163264128256512102433927812437294416642561024552512562566362161296
常用幂次数记忆
1.对于常用的幂次数字，考生务必将其牢记在心，这不仅对数字推理的解题很重要，对数学运算乃至资料分析试题的迅速、准确解答都起着至关重要的作用。
2.很多数字的幂次数都是相通的，比如729＝93＝36＝272，256＝28＝44＝162等。
3.“21～29”的平方数是相联系的，以25为中心，24与26、23与27、22与28、21与29，它们的平方数分别相差100、200、300、400。
常用阶乘数
（定义：n的阶乘写作n!。n!=1×2×3×4×…×（n-1）×n）
数字1 2 3 4 5 6 7阶乘1 2 6 24 120 720 5040
200以内质数表（特别留意划线部分）
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、199
“质数表”记忆
1.“2、3、5、7、11、13、17、19”这几个质数作为一种特殊的“基准数”，是质数数列的“旗帜”，公务员考试中对于质数数列的考核往往集中在这几个数字上。
2.83、89、97是100以内最大的三个质数，换言之80以上、100以下的其他自然数均是合数，特别需要留意91是一个合数（91=7×13）。
3.像91这样较大的合数的“质因数分解”，也是公务员考试中经常会设置的障碍，牢记200以内一些特殊数字的分解有时可以起到意想不到的效果，可将其看作一种特殊意义上的“基准数”。
常用经典因数分解
91=7×13 111=3×37 119=7×17 133=7×19 117=9×13 143=11×13 147=7×21 153=9×17 161=7×23 171=9×19 187=11×17 209＝19×11
有了上述“基准数”的知识储备，在解题中即可以此为基础用“单数字发散”思维解题。
例如：题目中出现了数字26，则从26出发我们可以联想到：
又如：题目中出现了数字126，则从126出发我们可以联想到：
【例1】（江苏2004B类）4，6，10，14，22，（）。
A. 30 B. 28 C. 26 D. 24
［答案］C
［解析］4，6，10，14，22，（26）分别是2，3，5，7，11，（13）的两倍。
【例2】（国家2005一类-32）2，3，10，15，26，（）。
A. 29 B. 32 C. 35 D. 37
［答案］C
［解析］2＝12+1；3＝22-1；10＝32+1；15＝42-1；26＝52+1；（35＝62-1）。
［点评］这里用到26＝25＋1。
【例3】（国家2007-43）0，9，26，65，124，（）。
A. 165 B. 193 C. 217 D. 239
［答案］C
［解析］0＝13-1；9＝23+1；26＝33-1；65＝43+1；124＝53-1；（217＝63+1）。
［点评］这里用到26＝27－1。
【例4】3，4，8，26，122，（）。
A. 722 B. 727 C. 729 D. 731
［答案］A
［解析］3＝1!＋2；4＝2!＋2；8＝3!＋2；26＝4!＋2；122＝5!＋2；（）＝6!＋2＝722。
［点评］这里用到阶乘基准数字。
【例5】-1，0，4，22，118，（）。
A. 722 B. 720 C. 718 D. 716
［答案］C
［解析］-1＝1!-2；0＝2!-2；4＝3!-2；22＝4!-2；118＝5!-2；（）＝6!-2＝718。
［点评］这里用到阶乘基准数字。
二、多数字联系
“多数字联系”概念
即从题目中所给的某些数字组合出发，寻找之间的联系，从而找到解析试题的“灵感”的思维方式。
一般来说，大约75%的情况下我们研究数列当中“三个数片断”的“多数字联系”；20%的情况下研究“两个数片断”的“多数字联系”；在数列较长的情况下，偶尔研究“四个数片断”的“多数字联系”。
“多数字联系”基本思想
1.共性联系：把握数字之间的共有性质；
2.递推联系：把握数字之间的递推关系。
例如：题目中出现了数字1、4、9，则从1、4、9出发我们可以联想到：
【例6】4，9，25，49，121， ()。
A. 144 B. 169 C. 196 D. 225
［答案］B
［解析］4,9,25,49,121,（169）的平方根构成质数数列2,3,5,7,11,（13）。
［点评］这里用到了多数字联系22,32,52,72,112,132的基本思想。
【例7】1，4，9，（），1，0。
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
［答案］C
［解析］1，4，9，（8），1，0可以写成50，41，32，23，14，05。
［点评］这里用到了多数字联系50,41,32的基本思想。
【例8】3，1，4，9，25，（）。
A. 16 B. 64 C. 256 D. 512
［答案］C
［解析］从第三项开始，每一项等于前面两项差的平方。
［点评］这里用到了多数字联系9=（4-1）2的基本思想。
【例9】1，4，9，15，18，（）。
A. 9 B. 33 C. 48 D. 51
［答案］A
［解析］从第三项开始，每一项等于前面两项差的3倍。
［点评］这里用到了多数字联系9=（4-1）×3的基本思想。
【例10】1，4，9，22，53，（）。
A. 75 B. 97 C. 128 D. 150
［答案］C
［解析］第三项＝第一项+第二项的２倍，第四项＝第二项+第三项的２倍，以次类推，第六项＝第四项+第五项的２倍。
［点评］多数字联系9=4×2+1。
【例11】1，4，9，29，74，（）。
A. 103 B. 132 C. 177 D. 219
［答案］D
［解析］第三项＝第一项的5倍+第二项，第四项＝第二项的5倍+第三项，依此类推，第六项＝第四项的5倍+第五项。
［点评］多数字联系9=4+1×5。
第三节数列试错
在讲述“数列试错”的概念之前，我们先看看以下三个例子：
【例1】1,2,（）,67,131。
A. 6 B. 10 C. 18 D. 24
【例2】1,2,（）,22,86。
A. 6  B. 10 C. 18 D. 24
【例3】1,2,（）,37,101。
A. 6  B. 10 C. 18 D. 24
【分析】以上三道题目的题干当中都含有五个数字，并且未知项都在正中间。因此，如果数列当中相邻数字两两作差，得到的次生数列（这个概念后面章节马上会讲到）当中的四个数中，中间两个是不知道的，需要我们“先猜后验”从而得到最终答案。巧合的是，以上三题两两作差得到同样的次生数列：
1,（）,（）,64
【例1解析】如果猜测该次生数列是一个等差数列，则应为形式：1,22,43,64，从而得到例1的答案，选择D：
【例2解析】如果猜测该次生数列是一个等比数列，则应为形式：1,4,16,64，从而得到例2的答案，选择A：
【例3解析】如果猜测该次生数列是一个立方数列，则应为形式：1,8,27,64，从而得到例3的答案，选择B：
【总结】例1~例3都是通过“相邻两项两两做差”得到同样的“次生数列”从而得到答案的，然而对这个“次生数列”的三种不同“猜测”分别对应以上三个不同的例题，其对应性需要我们进行“验算”来确定。因此，这三个例题告诉我们一个非常重要的道理：在考场上，我们需要进行很多大胆的“尝试”，但并非每一次尝试都会成功，有时候我们需要通过“数列试错”来剔除错误答案，并最终得到正确答案。
下面，我们再来看看另外三个类似的例子：
【例4】15,20,33,62,123,（）。
A. 194  B. 214 C. 248 D. 278
【例5】-1,6,25,62,123,（）。
A. 194  B. 214 C. 248 D. 278
【例6】3,2,27,62,123,（）。
A. 194  B. 214 C. 248 D. 278
【分析】以上三道题目的题干当中都含有六个数字，其中未知项是最后一项。这三道题都可以看作是“幂次修正数列”，其突破口就在最后两个已知数字上，即：62与123。在看以下解析之前，大家可以试着自己从这两个数字入手，通过寻找与之相邻的幂次数（相邻发散），找到各题的答案。
【例4解析】如果猜测“123=128-5=27-5”的话，那么我们可以得到例4的答案为C：
原数列：15 20 33 62 123（248）
基准数列：8 16 32 64 128 256（2的幂次数列）
修正数列：741-2-5-8（等差数列）
【例5解析】如果猜测“123=125-2=53-2”的话，那么我们可以得到例5的答案为B：
原数列：-16 25 62 123（214）
基准数列：18 27 64 125 216（立方数列）
修正数列：-2-2-2-2-2-2（常数数列）
【例6解析】如果猜测“123=121+2=112+2”的话，那么我们可以得到例6的答案为A：
原数列：32276
2123（194）
基准数列：14 25 64 121 196（平方数列）
平方底数：-1 2 5 8 11 14（等差数列）
修正数列：2-22-22-2（周期数列）
【总结】例4~例6都是通过相同的片断“62和123”入手，寻找与之相邻的特征幂次数，从而得到最终结果。虽然通过62我们只想到了64，但通过123我们却可以联想到三个不同的特征幂次数（前文“单数字发散”部分讲过126的发散，123与之类似），从而得到三道不同题目分别对应的答案，再一次证明“数列试错”的实战重要性。
【补充】例4的“基准数列”其实也是一个“等比数列”；例5本身就是一个“三级等差数列”；例6的“基准数列”其实也是一个“二级等差数列”。大家不妨试试。
第四节速减训练
尽管数字推理题只是对若干简单数字进行简单的分析和计算，但由于每道题目所允许的解题时间非常短，所以提高基本运算速度仍然是我们平时不可忽略的训练内容。
基本运算速度包括两部分：（1）单数字分解发散；（2）基本加减乘除运算。前者包括迅速判断一个数是否为质数、这个数含有哪些因子、这个数有何种分解方式以及这个数是否可以表示为幂次形式（前文已经详尽阐述）；后者要求各位考生对于基本的“加减乘除”运算有一个非常娴熟的把握。
在四则运算当中，“减法”是数字推理答题当中使用最多的，本节试图利用一个简单的例子给大家传递一个非常简单的信息：不要高估自己的减法计算能力，不要忽略自己的减法计算训练。当然有一个前提必须记住：时间是有限的。
【示例】请将数列“1，9，2，3，7，-8，3，2”两两做差，得到的结果再两两做差，如此循环操作，直至得出最后唯一的数字： -255
【训练】将以下10组数列按照“示例”的方式进行循环减法计算（在自己草稿纸上进行），同时用秒表计算自己所用时间，最后再核对计算结果：
组数数列数字计算结果所用时间
第一组-4 7 2 6 3 9 -5 -9（±）331秒
第二组3 5 -2 3 -9 0 3 2（±）475秒
第三组9 -2 3 5 7 4 -2 -9（±）67秒
第四组3 4 2-5 4 -4 3 6（±）431秒
第五组-8 -5 2 -3 5 -8 2 4（±）527秒
第六组5 7 3 8 4 6 3 1（±）227秒
第七组5 3 2 6 -4 8 7 3（±）446秒
第八组2 -6 7 3 4 3 1 8（±）162秒
第九组3 9 5 2 8 4 2 -4（±）189秒
第十组2 -5 2 3 7 -2 3 6（±）276秒
“速减训练”说明
1.上述训练是锻炼数字推理减法能力的有效手段，经常训练可以很好地提高我们减法计算的速度和精度；
2.大家平时可以自己在草稿纸上任意写数进行计算，写数的时候务必注意：随机列出八个“-9与9之间”的数字，数字太多或者数字绝对值太大将带来不必要的难度；
3.自己随机列数的练习可以使用excel表格的公式进行自动验算；
4.计算过程中，可以从左边减至右边，也可以从右边减至左边，但每一级的减法相减的顺序必须保持一致，因此最后得到的结果若只有正负号的区别，可以视为正确，当然，实践过程中仍然推荐大家从头到尾保持一致的相减顺序，否则极易出错；
5.计算过程务必保持“心无杂念”，集中一切注意力，否则极易出错；
6.一般来说，刚开始进行练习的考生往往需要2分钟甚至更长的时间完成一个数列的计算，并且结果往往是错误的，但请不要灰心，如果多训练几次，你很快会发现自己的减法计算水平有明显的提高；
7.训练目标：10分钟之内完成10组“速减训练”（这个时间不包括编题、抄题和验算的时间），并且正确率达到80%或以上。
第五节因数分解
 关于“因数分解”，我们来讲两种不同的情形，首先我们通过一个例子来讲述第一种情形：
【例1】7,14,28,77,189，（）。
A. 285  B. 312  C. 392  D. 403
［解析］本题可以通过“三级等差数列”关于“三级等差数列”和后面涉及的“二级等差数列”等多级数列的概念，我们在第二章将会详细阐述。的做法直接得到答案为C。
  与此同时，我们很容易发现题干当中的五个已知数字都是7的倍数，如果我们把这几个数的7因子去掉，然后再进行做差，就可以得到下面的结果： 因此答案为：56×7＝392，仍然选择C。
【总结】很多考生会认为上述两种方法并没有质的区别（事实上也确实没有），甚至会认为第一种方法更直接、更简单。然而在考场上，第二种方法通过滤过“因子7”，大大地简化了计算，大家不要小看这一点，对于很多考生来说，计算的复杂性往往是“致命”的。当然，如果时间真的不够用了，当你发现题干当中的数字全部是7的倍数，而选项当中只有392是7的倍数，那你大胆的猜C也未尝不是一个最佳的选择。
  关于“因数分解”，上面这种情形是非常简单且容易理解的，本质上来说只是稍微简化了计算，但是下面介绍的这种“因数分解”却给考生提供了另外一种解题的可能性。我们下面再看三个例题，这三个例题既可以通过直接做差得到答案（即所谓“多级数列”），也可以通过分解成2~3个“子数列”来得到答案。分解成“子数列”之后，原数列的第N项即为各个子数列第N项的乘积。这种说法比较抽象，我们还是来看具体的例子吧：
【例2】（国家2002A类-1）2，6，12，20，30，（）。
A. 38  B. 42  C. 48  D. 56
［答案］B
［解一］
［解二］原数列：2 6 12 20 30（ 42 ）
子数列一：1 2 3 4 5(6)（等差数列）
子数列二：2 3 4 5 6（7）（等差数列）
【例3】（北京社招2005-5、广东2005上-3）
0，6，24，60，120，（）。
A. 186  B. 210  C. 220  D. 226
［答案］B
［解一］
［注释］上述解法可以在“滤过6因子”之后进行，同样可以得到简化。
［解二］原数列：0 6 24 60 120（ 210 ）
子数列一：0 1 2 3 4（5）（等差数列）
子数列二：1 2 3 4 5（6）（等差数列）
子数列三：2 3 4 5 6（7）（等差数列）
【例4】1，9，35，91，189，（）。
A. 286  B. 310  C. 341  D. 352
［答案］C
［解一］
［解二］原数列：1 9 35 91 189（341）
子数列一：1 3 5 7 9（11）（等差数列）
问题一：例2~例4这三个例题既可以通过“多级数列”做差的方式来解决，也可以通过“因数分解”的方式来解决。这其中到底有没有本质的联系呢？
多级数列与因数分解的本质联系
1.能够分解为“两个等差数列子数列”的数列，是一个二级等差数列；
2.能够分解为“三个等差数列子数列”的数列，是一个三级等差数列；
3.能够分解为“四个等差数列子数列”的数列，是一个四级等差数列；
4.能够分解为“一个等差数列子数列”和“一个二级等差数列子数列”的数列，是一个三级等差数列；
5.能够分解为“一个等差数列子数列”和“一个三级等差数列子数列”的数列，是一个四级等差数列；
6.能够分解为“两个二级等差数列子数列”的数列，是一个四级等差数列。
事实上，上述结论并不难记忆，首先把一般的等差数列称为“一级等差数列”，那么上述结论可以简化为结论一。
结论一：“一个M级等差数列子数列”与“一个N级等差数列子数列”对应项相乘构成的乘积数列，是一个M+N级等差数列。
另外还有一个类似的重要结论，我们称为结论二。
结论二：“一个M级等差数列子数列”与“一个N级等差数列子数列”对应项相加构成的和数列，是一个M级等差数列（M≥N）。
以上两个结论对于我们直接解题意义并不大，但对于我们理解数列解题方法、综合比较不同的数列解题方法，有着非常重要的意义。
问题二：如果一道题既可以通过“多级数列”做差的方式来解决，也可以通过“因数分解”的方式来解决，而显然前者更加简单、实用，那么“因数分解”这种方法还有什么实际的用途和意义呢？
多级数列与因数分解的使用范围
如果一个数列既可以通过“多级数列”做差的方式来解决，也可以通过“因数分解”的方式来解决，强力推荐大家使用做差来得到答案。但有时候，你必须并且只能通过“因数分解”来得到精准的答案，因为你有可能碰到以下两种情形：
1.数列的子数列不全是等差数列或其他多级数列，最常见的情形就是子数列当中存在“质数数列”和“等比数列”；
2.数列的已知数字个数，没有比其级数多2的，最常见的情形就是“已知四个数字的三级等差数列”和“已知五个数字的四级等差数列”。
 问题三：多级做差数列很好入手，拿来做差即可。但是如果一个数列需要通过“因数分解”分解成若干子数列，我们从何处下手呢？
因数分解法常用子数列
(1) -2，-1，0，1，2，3，…如果数列中间有0，或者有正有负的
(2) 0，1，2，3，4，…如果数列端点是0
(3) 2，3，5，7，11，…如果数列中有数字明显存在7或11因子
(4) 1，2，3，4，5，6，…可以是2或者3开头的自然数列
(5) 1，3，5，7，9，…也可以是3开头的奇数数列
？【例5】0，4，18，48，（）。
A. 100  B. 120  C. 140  D. 160
［答案］A
［解析］原数列：0，4，18，48，（100）
提取子数列：0，1，2，3，（4）（常用子数列2）
剩余子数列：0，4，9，16，（25）（平方数列）
【例6】（国家2006一类-33、国家2006二类-28）-2，-8，0，64，（）。
A. -64  B. 128  C. 156  D. 250
［答案］D
［解析］原数列：-2，-8， 0，64，（250）
提取子数列：-2，-1， 0， 1，（2）（常用子数列1）
剩余子数列：1， 8，27，64，（125）（立方数列）
【例7】（国家2007-41）2，12，36，80，（）。
A. 100  B. 125  C. 150  D. 175
［答案］C
［解析］原数列：2，12，36，80，（150）
提取子数列：2， 3， 4， 5，（6）（常用子数列4）
剩余子数列：1， 4， 9，16，（25）（平方数列）
【例8】2，30，130，350，（）。
A. 729  B. 738  C. 1029  D. 1225
［答案］B
［解析］原数列：2，30，130，350，（738）
提取子数列：1， 3，5，7，（9）（常用子数列5）
剩余子数列：2，10，26，50，（82）（二级等差数列）
*【例9】（江苏2006B类-63）8，12，16，16，（），-64。
A. 0  B. 4  C. -8  D. 12
［答案］A
［解析］原数列：8，12，16，16，（0），-64
提取子数列：4， 3， 2， 1，（0）， -1（常用子数列1）
剩余子数列：2， 4， 8，16，（32）， 64（等比数列）
【例10】（江苏2004A类）2，8，24，64，（）。
A. 160  B. 512  C. 124  D. 164
［答案］A
［解析］原数列：2，8，24，64，（160）
提取子数列：1，2，3，4，（5）（常用子数列4）
剩余子数列：2，4，8，16，（32）（等比数列）
【例11】6，15，（），63，121。
A. 21  B. 35 C. 48  D. 58
［答案］B
［解析］原数列：6,15,（35）,63,121
提取子数列：3, 5,（7）, 9, 11（常用子数列5）
剩余子数列：2, 3,（5）, 7, 11（质数数列）
【例12】（江苏2008C类-10）2,6,15,28,（）,78。
A. 45 B. 48 C. 55 D. 56
［答案］C
［解析］原数列：2，6，15，28，（55），78
提取子数列：2，3， 5， 7，（11），13（常用子数列3）
剩余子数列：1，2， 3， 4，（5）， 6（等差数列）
【例13】（江西2008-31）0，8，54，192，500，（）。
A. 820 B. 960 C. 1080 D. 1280
［答案］C
［解析］原数列：0，8，54，192，500，（1080）
提取子数列：0，1， 2，3，4，（5）（常用子数列2）
剩余子数列：1，8，27， 64，125，（216）（立方数列）
【例14】（四川2008-5）6,21,52,105,（）。
A. 172 B. 186 C. 210 D. 224
［答案］B
［解析］原数列：6，21，52，105，（186）
提取子数列：2， 3， 4，5，（6）（常用子数列4）
剩余子数列：3， 7，13， 21，（31）（二级等差数列）
第六解答一道数字推理题，简单来说分成两步：（1）判断类型；（2）按类型使用具体方法。
 后者很重要：掌握具体题型的具体解法是数字推理解题的基本能力。本书第二至七章将分门别类地介绍六大类数字推理题各自的典型解题方法和经典例题。
 前者更重要：这是解题的前提和关键。拿到一道数字推理题，我们如何迅速而准确地判定应该选用什么样的题型方法来解答这道题，或者说我们应该用什么样的思维步骤来处理一个尚未确定类型的普通题目，这就是本节将要为大家解决的问题。
数字推理六大题型
1.多级数列：数列中相邻项通过四则运算，得到的结果形成某种特定的规律。
2.多重数列：数列中数字通过交叉或者分组，从而形成某种特定的规律。
3.分式数列：数列中的数通过自然分隔，形成某种特定的规律。
4.幂次数列：数列中有基于平方、立方或其他乘方的规律。
5.递推数列：数列中前面的项通过某种特定的运算，得出后一项从而形成规律。
6.图形数阵：借助几何图形，构建数字之间平面二维关系的数字推理类型。
  在考场上，除了极其偶然地遇到本章第一节当中阐述的“基础数列”之外，我们遇到的所有题型都可以完全归入上面定义的“六大题型”。
  我们把数字推理的原题数列定义为“原生数列”，而原题数列经过一定处理后得到的新的数列我们称之为“次生数列”。得到“次生数列”的处理方式包括但不仅限于：
（1) 原题数列相邻项做差/商/和/积得到的新数列；
（2) 原题数列通过交叉思维得到的两个新数列；
（3) 原题数列通过分组运算后得到的新数列；
（4) 原题数列分子/分母单独构成的数列；
（5) 原题数列写成幂次形式后，其底数/指数单独构成的数列；
（6) 原题数列解题过程当中遇到的“修正数列”；
（7) 原题数列拆成的两个乘积子数列或者加和子数列。
  很明显，“次生数列”要比“原生数列”简单，求解次生数列，我们只需要简单地应用以下口诀即可：
 特征→做差→递推。
 而求解原生数列，我们的基本思想也是“特征→做差→递推”，只是这个过程相对次生数列更加细致、全面。我们用一个逻辑思路图来总结做题的思维步骤：

特别说明：
1.上图简单地阐述了我们做数字推理题的整个“思维过程”，大家如果觉得过于抽象，务必在看完本书后面六章之后，再重新回头好好体会。事实上，对于整个思维步骤图，即使看完本书之后，还需要大家多加练习熟练掌握后才能真正应用自如。
2.上图看似繁琐，但真正掌握之后，平均一分钟之内完成一道题是完全没有问题的，这就好比某武林秘笈的招数写出来也许有几十页，但打出来肯定不超过一两分钟。
3.我们做题使用上图的时候，绝对不是一道一道的去验证上图，而是数字推理五道题（有些考试是十道题）一起验证，一起寻找特征，这样才能有效节省时间。
4.大家可能还关心一件事，上图最后一步，在“递推数列”再失败之后，我们到底如何“看情况”？其实，能够走到这一步的数字推理题平均下来大致也就是10%~30%，直接蒙一个，跳过这些特别难的数字推理题，节省下时间去完成其他题目未尝不是一个最佳选择；但如果时间够用，并且是对于基础相对较好的考生来说，那么就应该从这两个方面去验证所谓“特殊数列”：一是本书每章最后一节的“题型拓展”；二是关注当时各地考试刚出现的最新题型。
第二章多级数列
多级数列结构示意图
基本知识点：
（1）多级数列是指对数列相邻两项进行“－÷＋×”四则运算从而形成规律的数列；
（2）“做差数列”是多级数列的主体内容，做和数列和做积数列一般很少考到；
（3）以做差数列为主体内容的多级数列是五大题型中最基础、最重要、最常见的数列；
（4）运算后得到的“次生数列”可能是等差数列、等比数列，也可以是其他“特殊数列”，包括质数数列、周期数列、幂次数列、基础递推数列等。
第一节二级等差数列
二级等差数列：一个数列相邻两项两两做差，得到一个等差数列。
【例1】（黑龙江2007-8）11，12，15，20，27，（）
A. 32B. 34C. 36D. 38
［答案］C
［解析］
【例2】（国家2002B类-3）32，27，23，20，18，（）
A. 14  B. 15  C. 16  D. 17
［答案］D
［解析］
【例3】（江苏2008C类-8）0，8，24，48，80，（）
A. 120B. 116C. 108D. 100
［答案］A
［解析］
？【例4】（浙江2007A类-1）0.5，2，92，8，（）。
A. 12.5 B. 272 C. 1412 D. 16
［答案］A
［解析］
［注释］本题如果全部化成分母为2的分数，则分子呈“平方数列”。
【例5】（江苏2008A类-6）1，8，21，40，（），96
  A. 55   B. 60 C. 65  D. 70
［答案］C
［解析］
猜测：一个公差为6的等差数列。
尝试：x = 19+6=25,（）=40+25=65。
检验：y = 25+6=31，（）=96-31=65。猜测合理，选择C。
核心提示
对于未知项在中间的多级数列，需要我们采取先“猜”后“验”的方式。
【例6】（广东2002-87）6，9，（），24，36。
A. 10 B. 11 C. 13 D. 15
［答案］D
［解析］
猜测：一个公差为3的等差数列。
尝试：x=3+3=6，（）=9+6=15。
检验：y=6+3=9，（）=24-9=15。猜测合理，选择D。
【例7】（国家2002B类-5）-2，1，7，16，（），43
A. 25  B. 28  C. 31  D. 35
［答案］B
［解析］
猜测：一个公差为3的等差数列。
尝试：x =9+3=12,（）=16+12=28。
检验：y = 12+3=15，（）=43- 15=28。 猜测合理，选择B。
第二节二级等比数列
二级等比数列：一个数列相邻两项两两做差，得到一个等比数列。
*【例1】（上海2009-1）8，6，2，-6，（）。
A. -8B. -10C. -20  D. -22
［答案］D
［解析］
［注释］本题前一项的2倍减去10等于后一项。
【例2】（四川2008-4）3，8，33，158，（）。
A. 219 B. 378 C. 512 D. 783
［答案］D
［解析］
［注释］本题前一项的5倍减去7等于后一项。
核心提示
“二级等比数列”全部可以看成“递推倍数数列”，其修正项为一常数数列。
【例3】(安徽2008-2)12，14，20，38，()。
A. 46 B. 38 C. 64 D. 92
［答案］D
［解析］
*【例4】（四川2008-2）2，-2，6，-10，22，（）。
A. -36 B. -40 C. -42 D. -48
［答案］C
［解析］
［注释］每个数字是其后面两个数字的平均数。
【例5】（山东2003-1）3，4，6，10，18，（）。
A. 34  B. 36  C. 38  D. 40
［答案］A
［解析］
【例6】（广东2005下-4）118，199，226，235，（）。
A. 255  B. 253  C. 246  D. 238
［答案］D
［解析］
【例7】（国家2006一类-31、国家2006二类-26）102，96，108，84，132，（）。
A. 36  B. 64  C. 70  D. 72
［答案］A
［解析］
［注释］每个数字是其后面两个数字的平均数。
【例8】（北京应届2008-4）32，48，40，44，42，（）。
A. 43  B. 45  C. 47  D. 49
［答案］A
［解析］
［注释］每个数字是其前面两个数字的平均数。
核心提示
“二级等比数列”中，如果做一次差后生成的次生数列公比为-2，那么原生数列中每个数字是其后面两个数字的平均数；如果做一次差后生成的次生数列公比为-1/2，那么原生数列中每个数字是其前面两个数字的平均数。
？【例9】（浙江2008-4）34，-6，14，4，9，132，（）。
A. 223 B. 253 C. 274 D. 314
［答案］D
［解析］
［注释］每个数字是其前面两个数字的平均数。
【例10】（浙江2009 -31）0，16，8，12，10，（）。
A. 11  B. 13  C. 14  D. 18
［答案］A
［解析］
［注释］每个数字是其前面两个数字的平均数。
二级等差与等比数列重要提示
1.“二级等差”与“二级等比”数列虽然非常简单，但它们是之后许多数列的“基础数列”，需要引起大家高度重视！
2.多级数列涉及“两两做差”或者“两两做商”的时候，切记一定要“保持相减/相除顺序不要改变”，如果习惯性的认为应该用大数减去/除以小数，那么在“大小振荡”型的多级数列中就很容易犯错误！
第三节 二级特殊数列
基本类型：
1.二级质数数列；
2.二级周期数列；
3.二级幂次数列；
4.二级递推数列；
5.其他二级特殊数列。
【例1】（国家2002A类-2）20，22，25，30，37，（）。
A. 39  B. 45  C. 48  D. 51
［答案］C
［解析］2.3.5.7.11二级质数数列
【例2】（浙江2004-4）6