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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,第十二章,1,1.,定义,:,幂 级 数,一、函数项级数的一般概念,2,2.,收敛点与收敛域,:,3.,和函数,:,3,(,定义域是,?),函数项级数的部分和,余项,注意,(,x,在收敛域上,),函数项级数在某点,x,的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题,.,例如,等比级数,4,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,又如,级数,级数发散,;,所以级数的收敛域仅为,有和函数,5,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛,.,原级数发散,.,6,收敛,;,发散,;,7,2.,收敛性,:,1.,定义,:,二、幂级数及其收敛性,8,收敛,发散,定理,1.,(Abel,定理,),若幂级数,则对满足不等式,的一切,x,幂级数都绝对收敛,.,反之,若当,的一切,x,该幂级数也发散,.,时该幂级数发散,则对满足不等式,证,:,设,收敛,则必有,于是存在,常数,M,0,使,发 散,发 散,收 敛,阿贝尔,9,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛,.,也收敛,反之,若当,时该幂级数发散,下面用反证法证之,.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛,面的证明可知,级数在点,故假设不真,.,的,x,原幂级数也,发散,.,时幂级数发散,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,10,幂级数在,(,+),收敛,;,由,Abel,定理可以看出,中心的区间,.,用,R,表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R,=0,时,幂级数仅在,x,=0,收敛,;,R,=+,时,幂级数在,(,R,R,),收敛,;,(,R,R,),加上收敛的端点称为,收敛域,.,R,称为,收敛半径,，,在,R,R,可能收敛也可能发散,.,外发散,;,在,(,R,R,),称为,收敛区间,.,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,11,定理,2.,若,的系数满足,证,:,1),若,0,则根据比值审敛法可知,:,当,原级数收敛,;,当,原级数发散,.,即,时,1),当,0,时,2),当,0,时,3),当,+,时,即,时,则,12,2),若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3),若,则对除,x,=0,以外的一切,x,原级数发,对任意,x,原级数,因此,散,因此,的收敛半径为,说明,:,据此定理,因此级数的收敛半径,13,对端点,x=,1,的收敛半径及收敛域,.,解,:,对端点,x=,1,收敛,;,级数为,发散,.,故收敛域为,例,1,.,求幂级数,级数为交错级数,14,例,2,.,求下列幂级数的收敛域,:,解,:,(1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在,x=,0,处收敛,.,规定,:0!=1,15,例,3.,的收敛半径,.,解,:,级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,2,比值审敛法求收敛半径,.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,16,例,4.,的收敛域,.,解,:,令,级数变为,当,t,=2,时,级数为,此级数发散,;,当,t,=2,时,级数为,此级数条件收敛,;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,17,三、幂级数的运算,定理,3.,设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有,:,其中,以上结论可用部分和的极限证明,.,18,说明,:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多,.,例如,设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,19,定理,4,若幂级数,的收敛半径,(,证明见第六节,),则其和函,在收敛域上,连续,且在收敛区间内可,逐项求导,与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同,:,注,:,逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变,.,20,两边积分得,解,21,解,:,由例,2,可知级数的收敛半径,R,+.,例,5.,则,故有,故得,的和函数,.,因此得,设,22,例,5,求和函数,解,收敛域为,记,则,并求,的和,23,故,故,24,例,6.,的和函数,解,:,易求出幂级数的收敛半径为,1,x,1,时级数发,散,25,因此由和函数的连续性得,:,而,x,=0,时级数收敛于,1,及,26,例,7.,求级数,的和函数,解,:,易求出幂级数的收敛半径为,1,及,收敛,x,=1,时级数发散,27,例,8.,解,:,设,则,28,而,故,29,内容小结,1.,求幂级数收敛域的方法,1),对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的收敛性,.,2),对非标准型幂级数,(,缺项或通项为复合式,),求收敛半径时直接用,比值法,或,根值法,2.,幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过,换元,化为标准型再求,.,乘法运算,.,例,3,例,4,30,阿贝尔,(1802 1829),挪威数学家,近代数学发展的先驱者,.,他在,22,岁时就解决了用根式解,5,次方程,的不可能性问题,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群,.,在级数研究中,他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理,.,论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路,.,数学家们工作,150,年,.,类代数方程,他是椭圆函数,C.,埃尔米特曾说,:,阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,31,常用已知和函数的幂级数,32,记住几个常见级数的和,常数项级数求和的一种重要方法,幂级数法或,Abel,法,33,练 习 题,34,35,练习题答案,36,