利用辅助圆解决直线型问题.docx

课题: 利用辅助圆解决直线型问题

-----初三几何复习

授课教师： 海淀北部新区实验学校 刘晓燕 授课时间： 2017年4月24日
教学目标:
1、 通过品一道常规旧题,学会挖掘图形间的内在联系,识清题目的本质。
2、 经历多角度、多方法的分析题目，能借助题目中共端点的等线段及直角条件构造辅助圆，达到优化解决直线型问题的方法。
3、 学会对题目的解题过程进行及时的总结、归类、拓宽、演变。“品尝”解法的独特性、技巧性和关键点。
教学重点：能理清万变不离其宗的问题本质，品数学思维，玩味解题方法，并会将解题思想自主地运用于解决新问题的过程中。
教学难点: 学会分析、归纳、变式，学会类比，从而自动生成新的问题，逐步形成问题意识，同时提高解决问题的能力。
教学过程：
一：品旧引入,延承思路
问题：如图:在三角形△ABC中，AB=AC, BD⊥AC于D , 探究∠1与∠BAC的数量关系。

分析： 题目条件中AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，等腰三角形中的底角和顶角可以互相转化，可用其中一个量表示另一个量。而另一个条件BD⊥AC得出了△ABD和△BDC是直角三角形，于是在直角△BDC中，∠1和∠C建立了互余关系，从而∠1和∠C可以互相表示。而∠C是联系∠1和∠BAC两角的纽带，借助∠C可以探究出∠BAC是∠1的二倍关系。当然学生还可能借助等腰三角形的“三线合一”性质，或者利用等腰三角形的轴对称性翻折三角形，构造与∠1相等的角等等。
预设学生的解法
方法一：∠1+∠C=又2∠C+∠BAC=，易导出∠BAC=2∠1
方法二：取BC的中点E，连接AE,利用等腰三角形三线合一的性质可得出AE⊥BC,再通过等角的余角相等导出∠BAC=2∠1。
方法三：把△BDC沿着BD或者CD边翻折，构造新的等腰三角形，从而推出∠BAC=2∠1
。

设计意图：利用初二时探究过的旧题，通过学生品条件，品图形结构，后独立思考，最后展示解法，帮助学生梳理解决等腰三角形的相关问题的常规思路，抓住图形间元素的内在联系，认清图形关系的本质，最终触类旁通内化为解决这一类问题的思想方法。

二：品新探究，挖掘内涵
继续探究这个问题，引导学生发现等腰三角形、直角与圆的紧密关系。从圆的定义可知，连接圆的任意两条半径都会构建一个等腰三角形；还有直径所对的圆周角是直角。逆向思维要解决具有等腰三角形或直角的几何图形的问题，我们能否构造一个辅助圆帮助问题的解决呢？
方法4： 以A为圆心，AB为半径画圆，利用圆中同弧所对的圆心角和圆周角的关系，很容易解决了
∠BAC=2∠1的关系。
方法5： 以AB中点O为圆心OA为半径画圆，圆O交BC于点P。易证点P是BC的中点,根据圆心角
和圆周角的关系导出∠BAC=2∠1的关系。

等腰三角形的性质

等腰三角形（共端点的等线段）
小结：
1．
构造辅助圆，利用圆中角与角丰富的关系

直角三角形的外接圆圆心是斜边中点

圆的性质及定理。
直角三角形

直径所对的圆周角是直角
2.

三：品比新旧，巩固提高（老题新解法）
1、四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，已知：∠BDC=40o，求∠BAC的大小。

1题图 2题图

分析：读完条件∠BDC=40o，题中有一个角的度数已知，此时学生寻找的解决思路多半是借助等腰倒角建立关系，去解决问题。但是在倒角中发现直接建立起∠BAC与∠BDC的数量关系比较困难。转变思路从另一个角度认识条件，三条共端点的等线段AB＝AC＝AD，说明点B、C、D在以A点为圆心，AB为半径的圆上。辅助圆的建立，很容易找到了所求的角与已知角的数量关系。

2、如图：PA=PB=PC,AC与PB交于点D,且PB=4，PD=3,求AD×DC的值。

分析:从图上观察，AP与BC平行，可得△ADP与△BDC相似，通过相似得到对应边的比例关系，从而易求AD×DC的值。但是这两个三角形相似的判定条件缺一个，从题中的条件间接的也得不出△ADP与△BDC相似的另一个条件，所以这条解决思路行不通，只能另辟蹊径，仍然借助条件PA=PB=PC，构建辅助圆解决。
3、(备用) 平面直角坐标系中，已知点A（－4，0），B（2，0），若点C在一次函数的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分析：题中存在不确定条件直角三角形△ABC的直角不确定，因此此题进行分类讨论，以
四：中考链接:
1、（2015年）28. 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移，使点D移动到点C，得到，过点Q作于H，连接AH，PH.
(1) 若点P在线段CD上，如图1.
① 依题意补全图1；
② 判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
(2) 若点P在线段CD的延长线上，且，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路. （可以不写出计算结果）
A
B
C
D
P
A
B
C
D
图1
备用图

分析：第一问在前面复习中已经解决，第二问点A、P、D、H满足四点共圆,构建辅助圆解决求DP长比用直线型的方法解决容易。
五:课后巩固
1、在直角梯形ABCD中，AB＝12，BC＝9，DC＝13，问在AB边上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？

2、(东城二模)如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=，，求BE的长．

3、如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内一点，且∠OPB=45o, PA:PB=5:14，求PB的长。

总体设计思路：在某些数学习题中，借助辅助圆解（证）题是比较生疏的一种解题方法，但同时又是一种行之有效、事半功倍的一种方法。解（证）平面几何题，最棘手的莫过于添加辅助线，常见的辅助线，有连结、延长、平移或翻折、旋转，这些都是对直线而言的，利用辅助圆解（证）平面几何题，虽远不如直线那么为人所熟知，但如果辅助添加合理，同样可使分散的条件集中，隐蔽的条件明朗，同样为沟通条件与结论之间的内在联系而起到事半功倍的作用。因此，本节课从等腰三角形中的一道常规题解决方法入手，引导学生品条件和结论间的关系，找到条件和结论之间的内在联系，从而找到解决问题的多种方法。从品题中的条件，结合圆的对称性和旋转不变性，再次引导学生将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三方面结合起来认真分析、思考，即可发现，适当的添加圆，并利用圆的有关性质，就能巧妙的找到解决问题的途径，构造合适的辅助圆，搭桥铺路，轻松解决问题。
引导学生小结后，紧接着回归书本，把《人教社》九年级上册88页书练习第3题稍作改动设计了品比新旧环节中的1、2题，重新品味，感悟圆在解决直线型问题中的作用。通过对比，达到学生在面对综合性、技巧性、隐蔽性较强的平面几何问题，能根据题目的本质特征，联想到圆的有关知识，恰当地构造辅助圆，化难为易，化繁为简，找到解题捷径，从而提升解决问题的综合能力。