矩阵分块法.doc

§4  矩阵分块法
例   设
可按以下方式分块，每块均为小矩阵：
， ， ，
则
矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。
矩阵分块法的运算性质：
1．   加法：
设 ， ，
则 。
2．   数乘：
设 ， 是数，则 。
3．   乘法：
设 ， ，则
其中 ， ， ， 。
4．   转置：
设 ，则 。
5 ．对角分块的性质：
       设 ，其中 均为方阵，则 。
       若 可逆，则 。
例   。求 。
解   设 ， ，则
       ， ，则 。
例   设 ， 为可逆方阵，求
解   设 ，则由 得
，其中 ，
按乘法规则，得

解得： ， ， ，
故 。
几个矩阵分块的应用：
1．   矩阵按行分块：
设 ，记 ，
则
矩阵按列分块：
记 ，
则 。
2．   线性方程组的表示：
设
若记 ， ，
则线性方程组可表示为 。
若记 ，则线性方程组可表示为 或 。
若记 ，则线性方程组可表示为 或 。
3．   矩阵相乘的表示：
设 ， ，则 。
设 ， ，则 ，其中 是 矩阵， 是 ， 是 。
4．   对角阵与矩阵相乘：
，
。