第二章力系的简化和平衡22力矩和力偶.pptx

2-2 力矩与力偶力矩与力偶2.2.力矩力矩1.1.力偶定义力偶定义3.3.力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质5.5.算例算例4.4.力偶的平衡条件力偶的平衡条件6.6.空间力偶空间力偶7.7.力对轴之矩力对轴之矩1.1.力偶定义力偶定义什么是力偶什么是力偶力偶实例力偶实例力偶相关知识力偶相关知识力偶矩的计算力偶矩的计算何谓力偶何谓力偶?由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作力系称为力偶，记作AB什么是力偶什么是力偶 力力 偶偶 实实 例例F1F2力偶作用面力偶作用面 :二力所在平面二力所在平面 力力 偶偶 臂臂 d:d:二力作用线之间的垂直距离二力作用线之间的垂直距离力力 偶偶 系系 :作用于刚体上的一群力偶作用于刚体上的一群力偶力偶相关知识力偶相关知识OABdab力偶矩的计算力偶矩的计算OABdab说明：说明：力偶对任意点力偶对任意点O O的矩的矩M Mo o(F F,F F/)：力偶的作用效应取决于力的大小和力偶臂的力偶的作用效应取决于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关。长短，与矩心的位置无关。力与力偶臂的乘积称为力偶矩，记作：力与力偶臂的乘积称为力偶矩，记作：,或或M。OABdabC力偶矩的大小还可表示为：力偶矩的大小还可表示为：为以一力为底为以一力为底边，另一力的起点为顶点的边，另一力的起点为顶点的三角形。三角形。力偶矩的计算力偶矩的计算平面力偶对刚体的转动效应取决于：平面力偶对刚体的转动效应取决于：力偶矩的大小力偶矩的大小力偶在作用平面内的转向力偶在作用平面内的转向注意：注意：力偶矩是一个代数量，正负号表示力力偶矩是一个代数量，正负号表示力偶的转向，通常以偶的转向，通常以逆时针转向为正逆时针转向为正，反之为负。单位为反之为负。单位为Nm。力偶和力一样都是最基本的力学量。力偶和力一样都是最基本的力学量。2.2.力矩力矩平面中力对点之矩平面中力对点之矩力对点之矩矢力对点之矩矢算例算例平面中力对点之矩平面中力对点之矩力力F 对对O点之矩的计算方法点之矩的计算方法：注意：注意：在平面问题中，力对点之矩为一代数量，以在平面问题中，力对点之矩为一代数量，以绕矩心逆时针转动为正，反之为负。绕矩心逆时针转动为正，反之为负。的面积的面积OhABMo(F)O：矩心：矩心 h：力臂：力臂两个要素两个要素a.大小：力与力偶臂乘积大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向方向：转动方向力对点之矩矢力对点之矩矢力对点之矩矢的概念力对点之矩矢的概念力对点之矩矢的矢量积和解析表达式力对点之矩矢的矢量积和解析表达式力对点之矩矢的性质力对点之矩矢的性质合力矩定理合力矩定理力对点之矩矢的概念力对点之矩矢的概念a.强度：力与力偶臂乘积强度：力与力偶臂乘积b.方位：转动轴的方位方位：转动轴的方位c.方向：转动方向方向：转动方向力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素：力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素：力力 矩矩 矢矢 量量 的的 方方 向向 按右手定则按右手定则r力矢：力矢：矢径：矢径：力力F 对对O点之矩的计算方法点之矩的计算方法：OhABMo(F)O：矩心：矩心 h：力臂：力臂力对点之矩矢的矢量积和解析表达式力对点之矩矢的矢量积和解析表达式力力 对坐标原点对坐标原点O 的矩为：的矩为：x，y，为力作用点，为力作用点 A 的坐标的坐标 、为力在为力在 x，和，和 y 轴上的投影轴上的投影xyFxFyOABxy 力对点之矩的矢量运算力对点之矩的矢量运算=FFxFyFzr由高等数学知：由高等数学知：前已述及：前已述及：由此可得：由此可得：=FxFyFz力矩的单位：力矩的单位：或或力对点之矩矢的性质：力对点之矩矢的性质：a)当力沿其作用线移动时，当力沿其作用线移动时，保持不变。保持不变。b)若使若使 ，则：，则：或：或：F=0，（无力作用），（无力作用）或：或：h=0，（力通过矩心），（力通过矩心）c)互为平衡的两个力对同一点的矩的和互为平衡的两个力对同一点的矩的和=0OhABMo(F)O：矩心：矩心 h：力臂：力臂d)作用于刚体上的二力对刚体产生的绕一点的转动效应，作用于刚体上的二力对刚体产生的绕一点的转动效应，可以以该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分可以以该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别对该点之矩矢的矢量和。别对该点之矩矢的矢量和。合力矩定理合力矩定理定理叙述：定理叙述：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各分力对同一点力矩的代数和于各分力对同一点力矩的代数和定理证明：定理证明：AO若若 n 个力汇交于个力汇交于A点，则其合力为：点，则其合力为：用用 同时矢积上式两端同时矢积上式两端得到：得到：定理的应用：定理的应用：应用应用1：当合力对某点的矩较难计算时，常可先将该力分解当合力对某点的矩较难计算时，常可先将该力分解（通常为正交分解），然后用合力矩定理计算其力矩。（通常为正交分解），然后用合力矩定理计算其力矩。应用应用2：当平面汇交力系平衡时，其合力为零，所以当平面汇交力系平衡时，其合力为零，所以该该汇交力系对任意点汇交力系对任意点O O的力矩等于零的力矩等于零从而，当平面汇交力系平衡时，可采用上面的力矩从而，当平面汇交力系平衡时，可采用上面的力矩方程代替平面汇交力系的投影方程方程代替平面汇交力系的投影方程由于平面汇交力系只有两个独立平衡投影的方程，由于平面汇交力系只有两个独立平衡投影的方程，所以只有两个独立的平衡力矩的方程。所以只有两个独立的平衡力矩的方程。注意：注意：求求:解解:按合力矩定理按合力矩定理已知已知:F F=1400N,=1400N,直接按定义直接按定义算例算例求：求：解：解：由合力矩定理由合力矩定理得得已知：已知：q,l；合力及合力作用线位置。合力及合力作用线位置。取微元如图取微元如图3力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质 如果两个力偶的力偶矩矢相等如果两个力偶的力偶矩矢相等（大小（大小相等、转向相同）相等、转向相同），则两力偶彼此等效。，则两力偶彼此等效。力偶的等效条件力偶的等效条件同平面内力偶的等效定理的证明：同平面内力偶的等效定理的证明：设两力偶设两力偶(F F,F F/)和和(F F0 0,F F0 0/)，力偶矩相等，要求，力偶矩相等，要求证明它们等效。证明它们等效。已知：已知：将将 分解，分解，将将 分解，分解，将力将力 和和 移到移到 A A、B B点点AB同平面内力偶的等效定理的证明：同平面内力偶的等效定理的证明：去除去除 和和 ，和，和 构成一个新的力偶构成一个新的力偶CDABABCD 必有必有可见力偶可见力偶 和和 等效等效由于由于 和和 等效等效 证得证得 和和 等效。等效。同平面内力偶的等效定理的证明：同平面内力偶的等效定理的证明：由于力偶由于力偶 和和 有相同的力臂有相同的力臂d 和和相同的力偶矩。相同的力偶矩。力力 偶偶 的的 性性 质质性质一：性质一：力偶无合力，即主矢力偶无合力，即主矢FR=0；力偶不能与一个力等效，因此力偶不能与一个力等效，因此不能与一个力平衡，力偶只能不能与一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。用力偶来平衡。性质二：性质二：力偶对其作用面内任一点的力矩力偶对其作用面内任一点的力矩都等于其力偶矩本身的大小。都等于其力偶矩本身的大小。性质三性质三性质三性质三：只要保持力偶矩大小不变，力偶可在作只要保持力偶矩大小不变，力偶可在作只要保持力偶矩大小不变，力偶可在作只要保持力偶矩大小不变，力偶可在作用面内任意移动，或移到另一平行平面，其对刚用面内任意移动，或移到另一平行平面，其对刚用面内任意移动，或移到另一平行平面，其对刚用面内任意移动，或移到另一平行平面，其对刚体的作用效果不变。体的作用效果不变。体的作用效果不变。体的作用效果不变。FF FF 性质三：性质三：性质三：性质三：保持力偶转向和力偶矩大小不变，分保持力偶转向和力偶矩大小不变，分保持力偶转向和力偶矩大小不变，分保持力偶转向和力偶矩大小不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。FF F/2F/2 平平 面面 力力 偶偶 的的 特特 点点特点一：特点一：力偶只能用力偶来平衡；力偶只能用力偶来平衡；特点二：特点二：力偶对刚体的转动效应，只与力力偶对刚体的转动效应，只与力偶矩的大小和正负有关。偶矩的大小和正负有关。结论：结论：力偶矩是力偶作用的唯一量度。力偶矩是力偶作用的唯一量度。力偶的表示方法：力偶的表示方法：=4.力偶系的平衡条件力偶系的平衡条件由于力偶系的合成结果是一个合力偶矩，由于力偶系的合成结果是一个合力偶矩，力偶系平衡充要条件为：合力偶矩等于零力偶系平衡充要条件为：合力偶矩等于零上式的投影方程为：上式的投影方程为：力偶系有三个独立的平衡方程，可以求力偶系有三个独立的平衡方程，可以求解三个未知量。解三个未知量。平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件充要条件：即：所有各力偶矩的代数和等于零。即：所有各力偶矩的代数和等于零。这个平衡方程质能求解一个未知量。这个平衡方程质能求解一个未知量。根据力偶理论，一个力偶与一个力是不可能平衡的，根据力偶理论，一个力偶与一个力是不可能平衡的，图示圆盘图示圆盘 O 为何能在力偶为何能在力偶 M 和和力力 P 的作用下保持平衡的作用下保持平衡？平衡条件是什么平衡条件是什么？圆盘的半径为圆盘的半径为 r。OrP5 算例算例PO图示圆盘图示圆盘 O 为何能在力偶为何能在力偶 M 和和力力 P 的作用下保持平衡的作用下保持平衡？圆盘的中心圆盘的中心 O 处作用有一个处作用有一个垂直方向约束力，该力与力垂直方向约束力，该力与力 P 组成组成一个力偶，一个力偶，该力偶与力偶该力偶与力偶 M 保持保持平衡。平衡。圆盘的平衡条件为：圆盘的平衡条件为：OrP求：求：光滑螺柱光滑螺柱AB所受水平力。所受水平力。已知：已知：解得解得解：由力偶只能由力偶平衡的性解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为：质，其受力图为：已知已知求：系统平衡时的求：系统平衡时的以及铰链以及铰链 O、B 处的处的约束力约束力ABrOABrOABAOr1、对圆轮、对圆轮O2、对于杆、对于杆AB解得：解得：求图示刚架支座求图示刚架支座A、B的约束反力。的约束反力。ABCMaaa解：AC为二力杆，受力如图。为二力杆，受力如图。因为力偶只能用力偶来平衡，因为力偶只能用力偶来平衡，所以所以BC杆受力图如下杆受力图如下：()()BCMFBFAFCCA对对BC杆杆不计自重的杆不计自重的杆AB与与DC在在C处处为光滑接触为光滑接触,它们分别受力偶它们分别受力偶矩为矩为m1与与m2的力偶作用的力偶作用,转转向如图向如图.问问m1与与m2的比值为多的比值为多大大,结构才能平衡结构才能平衡?60o60oABCDm1m2解解:取杆取杆AB为研究对象画受力图。为研究对象画受力图。杆杆A B只只受力偶的作用而平衡且受力偶的作用而平衡且C处为光滑处为光滑面约束。则面约束。则A处约束反力的方位可定。处约束反力的方位可定。FC Mi=0FA=FC=FAC=aa F-m1=0m1=a F (1)60o60oABCDm1m2FA取杆取杆CD为研究对象。因为研究对象。因C点约点约束方位已定束方位已定,则则D点约束反力方点约束反力方位亦可确定。画受力图。位亦可确定。画受力图。60o60oDm2BCAFDF CFD=FC=FCD=a Mi=0-0.5aF+m2=0m2=0.5 aF (2)联立(1)(2)两式得:力偶系力偶系力偶系力偶系:由两个或两个以上力偶组成的特殊力系由两个或两个以上力偶组成的特殊力系由两个或两个以上力偶组成的特殊力系由两个或两个以上力偶组成的特殊力系y6.6.空间力偶系空间力偶系空间力偶系合成结果仍空间力偶系合成结果仍然是一个力偶，其力偶然是一个力偶，其力偶矩矢量等于原力偶系中矩矢量等于原力偶系中所有力偶矩矢量之和。所有力偶矩矢量之和。即：即：M空间力偶系合成空间力偶系合成上式的解析表达式为上式的解析表达式为 合力偶矢在合力偶矢在x x、y y、z z轴上的轴上的投影等于各分投影等于各分力偶矢在相应力偶矢在相应轴上投影的代轴上投影的代数和。数和。计算出合力偶矩矢在计算出合力偶矩矢在x、y、z轴上的投轴上的投影后，即可按照下述公式算得合力偶矩矢影后，即可按照下述公式算得合力偶矩矢的大小和方向。的大小和方向。7.7.力对轴之矩力对轴之矩力对轴之矩概念力对轴之矩概念力对坐标轴之矩力对坐标轴之矩力对轴之矩与力对点之矩的关系力对轴之矩与力对点之矩的关系算例算例Mz(F)=Fxyd =2(OAB)将力向垂直于该轴的平面投影将力向垂直于该轴的平面投影 ,力对轴的矩力对轴的矩等于力的投影等于力的投影与投影与投影至轴的垂直距离的乘积。至轴的垂直距离的乘积。力力F F对对z z轴的矩等于该力在通轴的矩等于该力在通过过O O点垂直于点垂直于z z轴的平面上的轴的平面上的分量分量 对于对于O O点的矩点的矩。力对轴之矩概念力对轴之矩概念 力对坐标轴之矩力对坐标轴之矩 将力向三个坐标轴方将力向三个坐标轴方向分解向分解,分别求三个分力对分别求三个分力对轴之矩，然后将三个分力轴之矩，然后将三个分力对轴之矩的代数值相加。对轴之矩的代数值相加。空间力对轴的矩等于零的条件空间力对轴的矩等于零的条件1、力通过轴线、力通过轴线2、力与轴线平行、力与轴线平行FzFxFyF力对轴之矩与力对力对轴之矩与力对点之点之矩的关系矩的关系结论结论:力对点之矩的矢力对点之矩的矢量在某一轴上的投影量在某一轴上的投影,等于该力对该轴之矩等于该力对该轴之矩 。C即：即：所以，可得所以，可得由右图可见：由右图可见：结论的说明：结论的说明：C力力力力F F作用在边长为作用在边长为作用在边长为作用在边长为a a的立方体上如图所示。求力的立方体上如图所示。求力的立方体上如图所示。求力的立方体上如图所示。求力F F对对对对各轴之矩。各轴之矩。各轴之矩。各轴之矩。oABCBCAOF算例算例解：解：解：解：oABCBCAOF力力F的作用线与的作用线与AO,AO,BC平行平行,与与BC重合。重合。MAO(F)=MAO(F)=MBC(F)=MBC(F)=0力力力力F F的作用线与的作用线与的作用线与的作用线与ABAB,oABCBCAOFCO,BB和和CC相交。相交。MAB(F)=MCO(F)=MBB(F)=MCC(F)=0求力求力求力求力F F对对对对AAAA 、OOOO 、A A A A 和和和和OO OO轴之矩。轴之矩。轴之矩。轴之矩。MAA(F)=MOO(F)=a FMAA(F)=MOO(F)=-a FoABCBCAOF求力求力求力求力F F对对对对ABAB、OCOC、BABA和和和和COCO轴之矩。轴之矩。轴之矩。轴之矩。MAB(F)=-a FMBA(F)=a FoACCAOBFBMOC(F)=-a FMCO(F)=a F设曲杆设曲杆设曲杆设曲杆OABDOABD位于同一平面内位于同一平面内位于同一平面内位于同一平面内,且且且且OAOA垂直于垂直于垂直于垂直于ABAB,ABAB垂直于垂直于垂直于垂直于BDBD,如图所示。在曲杆如图所示。在曲杆如图所示。在曲杆如图所示。在曲杆DD点上作用一力点上作用一力点上作用一力点上作用一力P P,其大小为其大小为其大小为其大小为 p p=2kN=2kN。力。力。力。力P P位于垂直于位于垂直于位于垂直于位于垂直于BDBD的平面内的平面内的平面内的平面内,且于竖直线成夹角且于竖直线成夹角且于竖直线成夹角且于竖直线成夹角 =30=30o o。求力。求力。求力。求力P P分别对图示直分别对图示直分别对图示直分别对图示直角坐标轴的矩。角坐标轴的矩。角坐标轴的矩。角坐标轴的矩。xzyoABD3cm4cm5cm PPxzyoABD3cm4cm5cm 解：解：解：解：(1)(1)根据力对轴的矩的定义计算根据力对轴的矩的定义计算根据力对轴的矩的定义计算根据力对轴的矩的定义计算M1oPyzd1作和作和x轴垂直的平面轴垂直的平面M1。找出交点找出交点O。确定力确定力P在平面在平面M1内的分力内的分力Pyz=1.732 kN 在平面在平面M1内确定内确定力力Pyz到矩心到矩心O的距的距离即力臂离即力臂d1=8cm 计算力计算力Pyz对点对点A的矩亦即力的矩亦即力P对对x轴的矩轴的矩Mx(P)=Mo(Pyz)=-Pyz d1=-13.86 kNcm 作和作和作和作和y y轴垂直的平面轴垂直的平面轴垂直的平面轴垂直的平面MM2 2。PxzyoABD3cm4cm5cm 确定力确定力P在平面在平面M2内的分力内的分力Pxz=P=2kN。在平面在平面M2内确定内确定力力Pxz到矩心到矩心O的距的距离即力臂离即力臂d2=3.464cm计算力计算力Pxz对点对点A的矩亦即力的矩亦即力P对对y轴的矩轴的矩My(P)=Mo(Pxz)=-Pxz d2=-6.928 kNcm M2Pd2亦可用合力矩定理计算亦可用合力矩定理计算:My(P)=Mo(Pz)=-Pz d=-6.928 kNcm 找出交点找出交点O。oPxzyoABD3cm4cm5cm 作和作和作和作和z z轴垂直的平面轴垂直的平面轴垂直的平面轴垂直的平面MM3 3。o找出交点找出交点O。确定力确定力P在平面在平面M3内的分力内的分力Pxy=1kN。在平面在平面M3内确定内确定力力P到矩心到矩心O的距的距离即力臂离即力臂d3=8cm计算力计算力Pxy对点对点O的矩亦即力的矩亦即力P对对z轴的矩轴的矩Mz(P)=Mo(Pxy)=-Pxy d2=-8 kNcm PxyM3d3