经济管理数学概率统计及其应用.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,(2),古典概率,定义,5.3,(,概率的古典定义,),在古典概型中，如果基本事件的总数为,n,，而事件,A,又由其中,m,A,个基本事件组成，则定义事件,A,的概率为,这叫概率的古典定义，由它所定义的概率，称为古典概率,.,可见，对古典概型的问题，只要求出基本事件总数,n,和事件,A,所包含的基本事件数,m,A,，由公式,(5.,),就可直接计算事件,A,的概率了,.,(3),事件的关系和运算,1),包含 如果事件,A,发生，必然导致事件,B,发生，则称事件,B,包含事件,A,(,或称,A,是,B,的子事件,),，记为,A,B,.,2),相等 如果,A,B,，且,B,A,，则称事件,A,与事件,B,相等或等价，记为,A,=,B,.,3),并 两事件,A,与,B,中至少有一个发生所构成的事件称为,A,与,B,的并,(,或和,),，记为,A,B,.,4),交 两事件,A,与,B,同时发生所构成的事件，称为,A,与,B,的交,(,或积,),，记为,A,B,或,AB,.,例如，,A,2,A,3,=,A,1,5),互斥 事件,A,与事件,B,不能同时发生，即,AB,=,，则称事件,A,与,B,互斥,.,如产品合格,A,1,与产品不合格,为互斥事件,.,),互逆 如两事件,A,与,B,不同时发生，但又必须有一个发生，即,AB=,，且,A,B,=,，则称事件,A,与,B,互逆,(,或对立,),或称,B,是,(,或,A,是,),的对立事件，记为,B=A,(,或,A,=,B,).,7),差事件,A,发生，但事件,B,不发生所构成的事件称为事件,A,与,B,的差，记为,A,-,B,，显然,图,5.1,(4),概率的性质,性质,1,(,非负性,),对任何事件,A,，均有,性质,2,(,规范性,),必然事件的概率为,1,，即,性质,3,(,互斥可加性,),若事件,A,，,B,互斥，即,AB,=,，则,推论,1,若,A,1,，,A,2,，,，,A,n,两两互斥，即,推论,2,对立事件概率之和为,1,，即,性质,P,()=,.,即不可能事件的概率为零,.,性质,5,若,A,B,，则,性质,6,(,广义加法定理,),若,A,，,B,为任何二事件，则有,5.1.3,条件概率及其应用,在实际问题中，不仅要考虑事件,A,的概率,P,(,A,),，有时还需要研究在“事件,B,已发生”的条件下，事件,A,发生的条件概率,.,记为,P(A|B,).,(1),条件概率,定义,5.4,在事件,B,发生的条件下，事件,A,发生的概率叫做事件,A,在事件,B,发生的前提下的条件概率，记作,若,A,，,B,为两任意事件，且,P,(,B,),，则,(2),乘法定理,设,P,(,B,),，则,或设,P,(,A,),，则,类似地,例,9,设在,96,件产品中有,3,件次品，今无放回地依次抽取两件，问两件都是合格品的概率是多少？,解,设,A,i,表示“第,i,次取得合格品”，则两件都是合格品就是,A,1,，,A,2,同时发生，要求的是,P,(,A,1,A,2,),，由乘法公式,(3),事件的独立性,定义,5.5,若事件,A,与,B,满足条件：,则称事件,A,，,B,，,C,相互独立,.,定理,5.1,若事件,A,，,B,相互独立，则,这三对事件都相互独立,.,*,(4),全概率公式与贝叶斯公式,1),全概率公式 设事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,满足：,则对任何事件,B,有,2),贝叶斯,(,Bayes,),公式,设,n,个事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,满足：,则对任一概率不为零的事件,B,有：,5.1.4,二项概率公式,(1),贝努里,(Bernouli),概型,在相同的条件下，将同一试验重复做,n,次，如果每次试验的结果都与其他各次试验的结果无关，则称这种试验为重复独立试验,.,又如果每次试验只有两种可能结果,A,与 ，且事件,A,发生的概率,P,(,A,),在每次试验中保持不变，这种,n,次重复独立试验的随机现象称为,n,重贝努里概型,.,这是一种非常重要而又常见的概型，它有广泛的应用，许多实际问题都可归纳为这种概型,.,一个有放回的抽样模型，就是一个标准的贝努里概型,.,(2),二项概率公式,若一次试验中事件,A,发生的概率为,p,，则在,n,重贝努里试验中，事件,A,恰好发生,k,次的概率为,其中,q,=,-,p,.,5.2,随机变量及其分布,5.2.1,随机变量及其分布函数,(1),随机变量,定义,5.6,对于随机试验的每个可能结果,，都有唯一的一个实数值,X,(,),与它对应，则称,X,(,),为一个随机变量，简记为,X,.,(2),随机变量的分布函数,定义,5.7,设,X,是一个随机变量，,x,是任意一实数，令,则称函数,F,(,x,),为随机变量,X,的分布函数,.,(3),分布函数的性质,性质,1,(,有界性,),F,(,x,)1.,性质,2,(,单调不减性,),若,x,1,x,2,，则,F,(,x,1,),F,(,x,2,).,性质,3,(,左连续性,),F,(,x,-,0)=,F,(,x,).,5.2.2,离散型随机变量及其分布,(1),概率函数和分布函数,定义,5.8,设随机变量,X,的可取值为：,x,1,，,x,2,，,，,x,i,，,，其相应的概率分别为,p,1,，,p,2,，,，,p,i,，,，则等式,称为随机变量,X,的概率函数，表格,称为,X,的概率函数或分布列，并称,X,为离散型随机变量,.,离散型随机变量的概率函数具有以下两个基本性质,:,(2),常用的典型分布,1),两点,(0-1),分布,若随机变量,X,只能取,0,和,1,两个值，它们的概率分布是,P,X,=1,p,，,P,X,=0,q,(,p,q,=1),，则称,X,服从两点,(0-1),分布，或称,X,具有,0-1,分布,.,只要事件总数只有两个基本事件的，都能用两点分布来描述它,.,两点分布的分布列为,分布函数为,2),二项分布,若随机变量,X,的概率函数为,且,1,p,1,，,1,-,p,=,q,，则称,X,服从以,n,，,p,为参数的二项分布，记为,X,B,(,n,，,p,).,3),泊松,(Poisson),分布,若随机变量,X,可取一切非负整数，且概率函数为,则称,X,服从参数为,的泊松分布,记作,X,P,(,),5.2.3,连续型随机变量及其分布,(1),密度函数和分布函数,1),定义,5.9,如果存在非负函数,f,(,x),，使对任意实数,x,，随机变量,X,的分布函数,则称,X,为连续型随机变量，,f,(,x,),为,X,的概率密度函数，简称概率函数或密度函数，常称为密度函数,.,y,f,(,x,),的几何图形称为,X,的分布曲线,.,2),密度函数的性质,由定义可知，密度函数,f,(,x,),具有如下性质：,性质,f,(,x,),.,即,X,的分布曲线在,Ox,轴上方,.,性质,2,即介于分布曲线与,Ox,轴之间面积总和为,.,事实上，,性质,3,即,X,落在区间,a,，,b,),内的概率等于随机变量,X,的密度函数,f,(,x,),在区间,a,，,b,),上的定积分值，或等于区间,a,，,b,),上分布曲线下的曲边梯形的面积,.,事实上，,性质,4,在,f,(,x,),的连续点处，有,这里分析一下,f,(,x,),的意义,:,(2),常用的典型分布,1),均匀分布,若随机变量,X,的密度函数为,则称,X,在,a,b,上服从参数为,a,，,b,的均匀分布，记为,X,U,a,b,.,均匀分布的分布函数为,均匀分布的密度函数与分布函数的图形如图,5.6,所示,.,图,5.6,2),指数分布,若随机变量,X,的密度函数为,其中,k,0,，则称,X,服从参数为,k,的指数分布，它的分布函数为,指数分布的实际背景是各种消耗性产品的“寿命”,.,正因如此，指数分布常用来描述各种“寿命问题”,.,3),正态分布,若随机变量,X,的密度函数为,其中,a,为常数，且,，则称,X,服从参数为,a,，,2,的正态分布，记作,X,N,(,a,，,2,).,它的分布函数为,y,=,f,(,x,),的图形如图,5.7,所示,.,由微积分学知道：,x,=,a,时,，,f,(,x,),达到最大,分布曲线,y,=,f,(,x,),对称于直线,x,=,a,；,分布曲线,y,=,f,(,x,),两个拐点的横坐标为,x,=,a,；,分布曲线,y,f,(,x,),以,x,轴为水平渐近线；,若固定,，改变,a,之值，则分布曲线,y,f,(,x,),沿,x,轴平行移动，曲线的几何形状不改变；若固定,a,，而改变,之值，由,f,(,x,),的最大值可知，当,越大，,y,f,(,x,),的图形越平坦，当,越小，,y,f,(,x,),的图形越陡峭，如图,5.8,所示,.,图,5.7,图,5.8,特别地，若,X,N,(,a,，,2,),，当,a,=,，,=,时，称,X,服从标准正态分布，记作,X,N,(,，,).,标准正态分布的密度函数和分布函数分别用,(,x,),和,(,x,),来表示，即,标准正态变量,X,的密度函数,(,x,),和分布函数,(,x,),的图形如图,5.,(a),，,(b),所示,.,正态分布具有以下性质：,性质,1,若,X,N,(,，,),，则,(,见图,5.9(a),性质,2,若,X,N,(,a,，,2,),，,Y,N,(,，,),，且其分布函数分别为,F,(,x,),和,(,x,),，则,图,5.9,*,性质,若,X,N,(,a,，,2,),则,5.3,随机变量的数字特征,5.3.1,数学期望,(1),离散型随机变量的数学期望,定义,5.10,设离散型随机变量,X,的概率函数为,则称和式,为随机变量,X,的数学期望,(,或均值,),，记作,EX,，即,当,X,可取无穷多个值时，若级数 绝对收敛，则,EX,存在，且,EX,=.,如,Y,g,(,X,),是随机变量,X,的函数，则,Y,的数学期望记为,其中,p,i,为,X,的概率函数,.,例,27,设,X,的分布列为,求,EX,，,EX,2,，,E,(,X,2,-,).,这里指出，随机变量,X,的数学期望,EX,可为一切实数，且它表达了,X,取值的“集中趋势”,.,(3),数学期望的性质,设,a,，,b,，,c,为常数，,X,，,Y,为随机变量，且,EX,，,EY,均存在，则数学期望具有以下性质：,性质,Ec,=,c,，即常数的数学期望就是它本身,.,性质,EcX,=,cEX,.,性质,E,(,X,Y,),EX,EY,.,推论,E,(,X,1,+,X,2,+,+,Xn,)=,EX,1,+,EX,2,+,+,EX,n,.,性质,E,(,aX,+,b,)=,aEX,+,b,.,性质,设,X,，,Y,独立，则,E(,XY,)=,EX,EY,.,推论,设,X,1,，,X,2,，,X,n,相互独立，则,5.3.2,方差,(1),方差概念,定义,5.12,设随机变量,X,的数学期望为,EX,，如果,存在，则称,E,(,X,-,EX,),2,为随机变量,X,的方差，记为,DX,，即,又称,为,X,的标准差或均方差，记为,(,X,).,(2),方差的性质,设,a,，,b,，,c,为常数，且,DX,，,DY,存在，方差具有以下性质,:,性质,Dc,=,.,即常数的方差为零,.,性质,D,cX,=,c,2,DX,.,性质,若,X,，,Y,相互独立，则,D,(,X,Y,)=,DX,+,DY,*,5.3.3,统计中常用的矩,(1),原点矩,定义,5.13,设,X,是随机变量，若对于正整数,k,，,|,X,|,k,的数学期望,E|X|,k,+(,k,=,，,),，则称,EX,k,为,X,的,k,阶原点矩，记为,v,k,，即,显然，数学期望就是一阶原点矩，即,EX,=,v,1,.,(2),中心矩,定义,5.14,设,X,是随机变量，若对于,X,的离差的正整数,k,次幂,|,X,-,EX,|,k,的数学期望,E,|,X,-,EX,|,k,+(,k,=1,，,2,，,),，则称,E,(,X,EX,),k,为,X,的,k,阶中心矩,.,记为,显然，方差就是二阶中心矩，即,DX,=,且一阶中心矩恒为零，即,E,(,X,-,EX,)=,.,(3),相关矩,(,或协方差,),由于随机变量,X,与,Y,各自的期望与方差仅仅反映它们作为一维随机变量自身的特征,.,对于二维随机变量,(,X,，,Y,),，自然希望定义出能够反映各分量,X,与,Y,之间的联系的某种数字特征，这就引出了相关矩的概念,.,定义,5.15,设,X,、,Y,为定义在同一样本空间,上的两个随机变量，对二维随机向量,(,X,，,Y,),，若,E,(,X,-,EX,)(,Y,-,EY,),存在，则称它为随机变量,X,与,Y,的相关矩,(,或协方差,),，记为,Cov(,X,，,Y,),，即,相关矩是二维随机变量的一个重要数字特征，它刻画了,X,与,Y,的取值之间的相互联系，用来描述随机变量之间的相关性,.,顺便指出：若,X,与,Y,相互独立,则,Cov(,X,，,Y,)=,.,反之，不成立,.,又若,X,、,Y,为随机变量，则,(4),相关系数,定义,5.16,设随机变量,X,与,Y,的相关矩,Cov(,X,，,Y,),和各自的方差均存在，且,DX,，,DY,，则称,为,X,与,Y,的相关系数，记为,(,X,，,Y,),，即,(5),切比谢夫不等式,设随机变量,X,有数学期望,EX,和方差,DX,，则对任意的,，有,5.4,统计分析中的样本分布,5.4.1,几个基本概念,(1),总体与个体,在数理统计中，把研究对象的全体所构成的集合称为总体，把构成总体的每个单元称为个体,(,或样品,).,(2),样本与容量,定义,5.17,若按一定规则，从总体,X,中，随机抽取,n,个个体,X,1,，,X,2,，,，,X,n,，这,n,个个体,X,1,，,X,2,，,，,Xn,就称为总体,X,的一个容量为,n,的样本，简称样本,.,定义,5.18,在数理统计中，把满足相互独立且与总体,X,同分布的样本,X,1,，,X,2,，,，,X,n,，称为简单随机样本,.,(3),统计量,定义,5.19,设,X,1,，,X,2,，,，,X,n,是总体的样本，则样本的函数,称为统计量,.,5.4.2,样本的数字特征,定义,5.20,设,X,1,，,X,2,，,，,X,n,是总体,X,的样本，称统计量 为样本均值，记为,称统计量 为样本方差，记为,并称 为样本标准差,.,在实际应用中，用得最多的还是一阶样本原点矩和二阶样本中心矩，亦即样本均值 和样本方差,S,2,.,显然,5.4.3,抽样分布,(1),u,-,分布,定理,5.2(,样本均值的分布,),设样本,X,1,，,X,2,，,，,X,n,来自正态总体,X,N,(,a,，,2,),，则统计量,推论 若,X,N,(,a,，,2,),，,X,1,，,X,2,，,，,X,n,为总体,X,的样本，且,为其样本均值,.,则统计量,服从标准正态分布，即,通常称它为,U,统计量，后面将用,U,统计量对总体进行推断,.,U,统计量的分布称为,u,-,分布,.,(2),-,分布,定义,5.21,设样本,X,1,，,X,2,，,，,X,n,来自标准正态总体,X,N,(0,，,1),，则统计量,称为自由度为,n,的,变量，其分布称自由度为,n,的,-,分布，记为,(,n,).,变量的分布曲线与,n,有关，如图,5.10,所示，当,n,越大时，它就越接近正态分布，当,n,30,时，,-,分布就可用正态分布去近似,.,-,统计量有以下性质：,设,X,1,X,2,X,n,为来自正态总体,X,N,(,a,),的样本,则,(3),t,-,分布,定义,5.22,设样本,X,1,，,X,2,，,，,X,n,来自正态总体,X,N,(,a,，,2,),，,，,S,2,分别为该样本的均值与方差，则统计量,称为自由度为,(,n,-,),的,T,变量，其分布称为自由度为,(,n,-,),的,t,-,分布，记为,T,t,(,n,-,).,5.5,参数估计与实例,5.5.1,点估计,定义,5.23,设 为未知参数,的估计量，若,则称 为,的无偏估计量,.,5.5.2,区间估计,(1),区间估计的意义,定义,5.24,设总体,X,的分布中含有未知参数,，由,X,的样本,X,1,，,X,2,，,，,X,n,所确定的两个统计量,T,1,和,T,2,，如果对于给定的正数,(,),有,则称区间,(,T,1,T,2,),是,的对应于置信概率为,1,-,的置信区间，,T,1,和,T,2,分别叫做置信区间的置信下限和置信上限，,100(1,-,)%,称为置信度,(,或信度，或置信概率,).,(2),EX,的区间估计,1),已知,DX,，求,EX,的置信区间,设总体,X,N,(,a,，,2,),，其中,2,已知，,X,1,X,2,X,n,为来自总体,X,的样本，则统计量,由正态分布表,(,附录,表,),，对给定的 ，存在一个值,(,临界值,),，使,这就是说，,EX,落在区间 内 的概率为,-,，区间,称为,EX,的置信区间，称为估计不准概率，,-,称为置信概率，称为在,条件下的临界值,.,2),未知,DX,，求,EX,的置信区间,实际应用中，经常遇到的是方差未知的情况，这时自然想到用,S,2,来代替未知方差,DX,，设,X,1,X,2,X,n,为来自正态总体的样本，则统计量,对给定的,，查,t,-,分布表,(,附录,表,),得临界值 ，使,于是得,EX,的置信区间为,(3),方差,DX,的区间估计,1),未知期望,EX,，求,DX,的置信区间,设,X,1,，,X,2,，,，,X,n,为来自总体,X,N,(,a,，,2,),的样本，,a,，,2,均未知，为了确定方差,2,的置信区间，可用样本方差,S,2,去作总体方差,2,的估计，采用统计量,.,对给定的 ，查,-,分布表,(,附录,表,4),得临界值 ，使得,于是，得方差,DX,=,2,的置信区间为,或,2),已知期望,EX,=,a,，求,DX,的置信区间,此时,DX,=,2,的,(,-,),的置信区间为,*,5.6,假设检验与实例,5.6.1,假设检验的基本思想方法,假设检验的基本思想是根据“小概率原理”而采用某种带有概率性质的反证法,.,5.6.2,正态总体均值,a,的假设检验,(1),已知方差 ，检验假设,H,0,：,a,a,0,设,X,1,，,X,2,，,，,X,n,为来自正态总体,X,N,(,a,，,),的样本，若,H,0,：,a,=,a,0,(,H,0,表示假设符号，,a,0,是已知常数,),为真，则样本均值,于是统计量,对于给定的显著性水平,，由附录,表可得临界值 ，并使得,显然 是一小概率事件,.,当样本,X,1,，,X,2,，,，,X,n,取观测值,x,1,，,x,2,，,，,x,n,时，统计量,U,的值为,U,0,，且,:,若 时，这说明小概率事件在一次具体试验中出现了，因此应该拒绝假设,H,0,：,a,=,a,0,；,若,时，则应该接受假设,H,0,：,a,=,a,0,.,上述检验法称为,u,检验法,.,当拒绝假设,H,0,时，常称总体期望,a,与,a,0,有显著差异；而接受假设,H,0,时，常称,总体期望,a,与,a,0,无显著差异,.,现将,u,检验法步骤归结如下：,1),提出检验假设,H,0,：,a,=,a,0,；,2),选取统计量,3),给定显著水平,，由 确定临界值 ；,4),计算统计量,U,的实现值,U,0,；,5),做出判断，当 时，则拒绝假设,H,0,；当 时，则接受假设,H,0,.,(2),未知方差,2,时，检验假设,H,0,：,a,=,a,0,设样本,X,1,，,X,2,，,，,X,n,来自正态总体,X,N,(,a,，,2,),，要检验假设,H,0,：,a,=,a,0,(,其中,a,，,2,均为未知参数,).,这里由于方差,2,未知，上面,u,检验法不能适用，为了得到一个不含未知参数,2,的统计量，自然想到用方差的无偏估计量,S,2,来代替,2,，于是选统计量,若,H,0,：,a,=,a,0,为真时，,当给定,，由附录,表，可得临界值 ，并使,计算,T,的实现值为,T,0,，,若 ，就拒绝,H,0,；,若 ，就接受,H,0,.,这种检验叫,t,检验法,.,5.6.3,正态总体方差,2,的假设检验,设样本,X,1,，,X,2,，,，,X,n,来自正态总体,X,N,(,a,，,2,),，这里,2,为未知参数，现在要检验假设,(1),已知期望,a,时，检验假设,当,H,0,为真时，统计量,若给定显著性水平 ，则可由附录,表,4,，查得临界值 与 使得,这种检验方法叫,2,检验法,.,(2),未知期望,a,时，检验假设,当,H,0,为真时，统计量,若给定显著性水平 ，则可由附录,表，查得临界值,使得,如图,5.15,所示,.,当由样本算得统计量,2,的值 ，,若 ，则拒绝,H,0,；,若 ，则接受,H,0,.,5.7,线性回归与实例,5.7.1,回归分析的意义,(1),两种不同类型的变量关系,图,5.15,类型,：确定关系,这类关系的特点是：对给定的变量,x,，另一变量,y,有确定的对应值,.,如平面区域圆的面积：,S,（圆面积）,=,r,2,(,半径,),，电学中的欧姆定律：,U,(,电压,)=,I,(,电流强度,),R,(,电阻,),等，这些都是我们所熟知的函数关系,.,类型,：相关关系,这类关系的特点是：变量具有某种不确定性的关系,.,如人的身高与体重的关系，一般来说，人高一些，体重大一些，但同样高度的人，体重往往不尽相同,.,即不能由“身高”去确定“体重”,.,又如，农作物的收获量与气候、降雨、肥量等因素有关，但是同样的气候、雨量、肥量条件，其收获量未必完全相同,.,又再如，某商品的需求量与价格有关，一般而言，价高需求量小，价低需求量大，但同一价格的商品，需求量往往也有所不同,.,这些变量之间的关系无法用一个确切的数学表达式把它们表示出来，但确实它们之间又存在着密切关系,.,这种变量关系从本质上来说，是随机变量之间的关系，在统计分析中，把它们称为相关关系或统计关系,.,(2),回归分析的主要任务,回归分析的任务就是根据变量,x,与,y,的样本点,(,x,i,y,i,),，寻求并检验变量之间相关关系的回归函数，从而运用这个函数（经验公式）达到预测或控制的目的,.,5.7.2,一元线性回归方程的建立,(1),一元回归直线,若已知变量,x,与,y,之间存在某种相关关系，为了研究它们的具体关系，其中最简单的方法是通过样本观测值,(,x,i,，,y,i,)(,i,=,，,，,n,),做出散点图，看散点图中的散点是否大致分布在一条直线上，如散点几乎分布在一条直线上，就用一直线方程,y,=,a,+,bx,来近似地描述变量,y,与,x,的相关关系，这就是线性回归直线,.,(2),回归直线方程的建立,设,x,与,y,是两个具有相关关系的变量，采用独立试验的方法，对一个容量为,n,的样本观测值：,(,x,1,，,y,1,),，,(,x,2,，,y,2,),，,，,(,x,n,，,y,n,),，如何求出其回归直线方程，即如何确定,=,a+bx,中的,a,与,b,？,所求的回归直线方程，自然希望它尽可能地靠近每一个样本点,(,x,i,，,y,i,),，显然这样的直线有一个显著的特点：“对于所有,x,i,，观测值,y,i,与回归值,的偏离达到最小,.”,当,x,=,x,i,时，,y,的观测值为,y,i,，而其回归值为,=,a,+,bx,i,，所以在,x,i,处观测值,y,i,与回归值 的离差为,如图,5.19,所示,.,为避免其离差的相互抵消，采用离差平方和,来刻画,(,x,i,，,y,i,),与直线,y,=,a,+,bx,的偏离程度，一般所说的回归直线就是使,Q,为最小的直线,.,使,Q,(,a,，,b,),达到最小值的,a,与,b,的估计值,与 ，就是所需要的回归直线的截距与斜率，因此，求回归直线问题便转化为求,Q,取最小值的,a,与,b,的问题,.,根据微积分学求极值的原理，当,Q,(,a,，,b,),可微时，有,这是关于,a,，,b,的二元线性方程组，解之得,显然，,(5.51),式中的,(,，,),就是使,Q,(,a,，,b,),达到最小值的,(,a,，,b,),值，于是所求的线性回归方程就是,为便于记忆求回归系数 的公式，引入以下记号,此时,5.7.3,相关程度的检验,(1),相关系数,定义,5.25,称统计量,为样本相关系数,.,(2),相关系数的显著性检验,人们根据统计量,r,的概率性质，编制出了,r,的临界值表，即附录,表,6,，表中的数据就刻画了,|,r,|,与的接近程度，具体检验步骤如下：,1),提出假设,H,0,：,b,=0.,2),给出显著性水平,，查自由度为,(,n,-,),的相关系数表,(,即附录,表,6),得临界值,r,(,n,-,2).,3),计算相关系数,r,的实现值,r,0,.,4),比较,的大小,若,则,x,与,y,线性相关显著，即 有意义；若,则,x,与,y,线性相关不显著，或,x,与,y,不存在线性关系，即 无意义,.,其直观意义，见图,5.20.,5.7.4,线性回归分析的应用,(1),回归预测,图,5.20,如果回归直线配制较好，就可以用它来作变量的预测，对任一给定的,x,0,相应的,y,0,一般是以回归直线上的对应值 为中心的服从正态分布的随机变量,.,设这个随机变量,y,的方差为,2,，则,此式表明，当,x,=,x,0,时，对应的,y,值以,0.95,的概率落入区间,这个区间称为,y,的,0.95,预测区间，称为,y,的点预测值,.,y,的方差往往是未知的，但可以证明，它的方差近似为,其中,用,S,y,代替,，则对给定的,x,0,，概率为,0.95,的,y,0,的预测区间为,一般为方便起见，近似地取,1.96,为,2,，则上述区间近似为,由于,x,取值是变的，因此,y,的预测区间上、下限是平行于回归直线的两条直线,:,如图,5.21,所示,(2),回归控制,如果希望,y,落在区间,(,y,1,，,y,2,),内，则,x,取值区间可由图,5.21,中直线,L,1,L,2,对应的关系所确定，设,解出,x,1,，,x,2,，则,当 时，控制区间为,(,x,1,，,x,2,);,当 时，控制区间为,(,x,2,，,x,1,).,但必须注意：只有当,(,y,2,-,y,1,),4,S,y,时，所求控制区间才有意义,.,图,5.21,5.7.5,线性回归直线的简便求法,(1),平均值法,用平均值法来求线性回归直线方程,=,a,+,bx,中的系数,a,和,b,.,其具体做法是：,第一步,将,n,组数据,(,x,i,，,y,i,),分别代入回归方程,=,a,+,bx,；,第二步,把这,n,个方程均分为两组（分的组数等于欲求未知数的个数）；,第三步,把每组内的方程分别相加，得到一个二元一次联立方程组；,第四步,解以上二元一次联立方程组，得系数,a,和,b,，即得所求线性回归直线方程,=,a,+,bx,.,(2),紧绳法,这种方法是将组数据所成的散点描在坐标纸上,.,如若画出的点群（即散点图）形成一直线形带，就在这点群中间画一条直线，使得该直线两边的点子差不多相等并尽可能靠拢,.,这条直线可以被近似地当作回归直线,.,利用它在坐标纸上就可直接进行预报,.,