2022-2023学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，只

x
有一项是符合题目要求的.)
1．（3 分）点(3, -2) 关于原点的对称点是(

)

A． (-3, 2) B． ( 3， 2)

C． ( 2， -3)
D． ( 2， 3)
2．（3 分）下列方程中，是一元二次方程的是(

A． (x + 3)2 - 25 = 0 B． xy - 1 = 0

)

C． x2 + y3 - 2 = 0

D． x + 2x2 = 1

3．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是( )

x
A．正五边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．半圆4．（3 分）下列函数关系式中， y 是 x 的反比例函数的是( )

第 10页（共 20页）

A. y = 1
x2
B. xy = 64
C. y = 5x + 6
D. = 1
y

5．（3 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成 3 个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ， Ⅱ，Ⅲ，三个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．指针指向扇形Ⅰ的概率是( )

A. 1
3
B. 1
4
C. 1
6
D. 1
2

6．（3 分）如果在反比例函数 y = 2t - 1 图象的每一支上， y 随 x 的增大而增大，那么t 的取
x

值范围是( )
A. t > 1
2

B. t… 1
2

C. t < 1
2

D. t„ 1
2

7．（3 分）如图，PA 、PB 是eO 的切线， A 、B 为切点， AC 是圆的直径，若ÐCAB = 25° ，则ÐP 的度数为( )

A． 50° B． 65° C． 25° D． 75°

8．（3 分）方程 x2 - 4x + 9 = 0 的根的情况是( )

A．没有实数根 B．有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根9．（3 分）圆锥的底面直径是 8，母线长是 9，则该圆锥的全面积为( )
A． 36p B． 52p C．100p D．136p 10．（3 分）下列关于抛物线 y = 3x - 2x2 + 1 的说法中，正确的是( )
A. 开口向上 B．必过点(1, 0)

C．对称轴为 x = 3
4

D．与 x 轴没有交点

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）已知一个等边三角形三条角平分线的交点为O ，把这个三角形绕点O 顺时针旋转 后，所得图形与原来的图形重合．（填写小于180° 的度数）
12．（3 分）已知函数 y = x2 - 2x ，当 x = a 时，记函数值 y 为 f （a），则 f (-10) f (-1)（填写“ > ”“ < ”或“ = ” ) ．
13．（3 分）如图，eO 的直径是 AB 为10cm ，弦 AC 为6cm ，ÐACB 的平分线交eO 于点 D ，
则 BC + AD = cm ．
14．（3 分）方程 x2 - 3x + 2 = 10 两个根的和为 a ，两个根的积为b ，则 a - b = ．
15．（3 分）为了估计箱子中白球的个数，在该箱再放入 10 个红球（红球与白球除颜色不同以外，其他均相同），搅匀后，从箱子中摸出 15 个球．如果在这 15 个球中有 2 个是红球，那么估计箱子中白球的个数为 个．

16．（3 分）点 A 是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点 A 作 AB ^ x 轴，垂足为点
B ， DOAB 的面积是 1，则下列结论中，正确的是 （填序号）．
①此反比例函数图象经过点(1,1) ；
②此反比例函数的解析式为 y = 2 ；
x
③若点(a,b) 在此反比例函数图象上，则点(-a, -b) 也在此反比例函数图象上；

④点 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) 在此反比例函数的图象上且 x1 < x2 < 0 ，则 y1 < y2 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4 分）尺规作图：

如图，已知DABC ．作边 BC 关于点 A 对称的图形．（保留作图痕迹，但不要求写作法）

18．（4 分）求二次函数 y = x2 - 3x +10 的最小值，并写出当自变量 x 取何值时， y 取得最小值．

19．（6 分）解下列方程：

（1） (x - 3)2 = 1； （2） x2 + 2x - 3 = 0 ．

19．（6 分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I （单位： A) 与电阻 R （单位：

W) 是反比例函数关系．当 R = 9W 时， I = 4 A ，求这个反比例函数的解析式．

21．（8 分）如图， AB ， CD 是eO 的两条弦， AB = CD ， OE ^ CD ， OF ^ AB ，垂足分别为 E ， F ．比较CE 和 AF 的大小，并证明你的结论．

22．（10 分）线上教学的师生，可采用的方式包括：①连麦问答；②视频对话；③不定时签到；④投票；⑤选择题推送等．为了解学生最喜爱的方式，随机抽取若干名学生进行调查， 将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图 1 和图 2 :
（1） 本次随机抽查的学生人数为 人，补全图 2；

（2） 参加线上教学的学生共有 6000 名，可估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数为人，图 1 中扇形①的圆心角度数为 度；
（3） 若在“①，②，③，④”四种方式中随机选取两种作为重点交互方式，请用列表或画 树状图的方法，求恰好选中“②，③”这两种方式的概率．

23．（10 分）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛 90 场，共有多少个队参加比赛？

24．（12 分）已知抛物线 y = x2 + 2x + m ．

（1） 若 m = -3 ，求该抛物线与 x 轴交点的坐标；
（2） 判断该抛物线与 x 轴交点的个数，并说明理由；

（3） 若-2 < x < 1时，该抛物线与 x 轴有且只有一个交点，求 m 的取值范围．

25．（12 分）如图，已知正方形 ABCD 边长为 2，点O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一个动点，且 EO = 1．
（1） 连接 BE ， CE ，求ÐBEC 的度数；
（2） 连接 DE ，若ÐDEO = 90° ，求 BE 的长度；
（3） 将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转90° 后，得到线段 DF ，连接CF ，线段CF 长是否存在最小值，若无，说明理由；若有，求出这个最小值．

2022-2023 学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．（3 分）点(3, -2) 关于原点的对称点是( )

A． (-3, 2)
B． ( 3， 2) C． ( 2， -3)

D． ( 2， 3)

【解答】解：点(3, -2) 关于原点的对称点的坐标为(-3, 2) ， 故选： A ．
2．（3 分）下列方程中，是一元二次方程的是( )

A． (x + 3)2 - 25 = 0

B. xy - 1 = 0

C． x2 + y3 - 2 = 0
D． x + 2x2 = 1
x

【解答】解： A 、(x + 3)2 - 25 = 0 ，是一元二次方程，故符合题意；

B 、 xy - 1 = 0 ，含有两个未知数，故不符合题意；

C 、 x2 + y3 - 2 = 0 ，含有两个未知数，故不符合题意；
D 、 x + 2x2 = 1 ，不是整式方程，故不符合题意；
x
故选： A ．
3．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是( )

A．正五边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．半圆

【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180° 后能和原来的图形重合， A 、
C 、 D 都是轴对称图形不符合要求； 是中心对称图形的只有 B ．
故选： B ．
4．（3 分）下列函数关系式中， y 是 x 的反比例函数的是( )

A. y = 1
x2

B. xy = 64

C. y = 5x + 6
D. = 1
x
y

【解答】解： A 、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；

B 、该函数是反比例函数，故本选项符合题意；

C 、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
D 、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意． 故选： B ．

5．（3 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成 3 个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ， Ⅱ，Ⅲ，三个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．指针指向扇形Ⅰ的概率是( )

A. 1
3
B. 1
4
C. 1
6
D. 1
2

【解答】解：Q转盘分成 3 个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，
1
\指针指向扇形Ⅰ的概率是 ．
3
故选： A ．
6．（3 分）如果在反比例函数 y = 2t - 1 图象的每一支上， y 随 x 的增大而增大，那么t 的取
x

值范围是( )
A. t > 1
2

B. t… 1
2

C. t < 1
2

D. t„ 1
2

【解答】解：Q在反比例函数 y = 2t - 1 图象的每一支上， y 随 x 的增大而增大，
x
\ 2t - 1 < 0 ，
\t < 1 ．
2
故选： C ．
7．（3 分）如图，PA 、PB 是eO 的切线， A 、B 为切点， AC 是圆的直径，若ÐCAB = 25° ，则ÐP 的度数为( )
A． 50° B． 65° C． 25° D． 75°
【解答】解：Q PA 、 PB 是eO 的切线， A 、 B 为切点，
\ PA = PB ， CA ^ PA ，

\ÐPAB = ÐPBA ， ÐCAP = 90° ，
\ÐPAB = 90° - ÐCAB = 90° - 25° = 65° ，
\ÐPBA = 65° ，
\ÐP = 180° - 65° - 65° = 50° ． 故选： A ．
8．（3 分）方程 x2 - 4x + 9 = 0 的根的情况是( )

A．没有实数根 B．有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【解答】解：Q a = 1 ， b = -4 ， c = 9 ，
\△ = b2 - 4ac = 16 - 36 = -20 ，
Q△ < 0 ，
\方程没有实数根． 故选： A ．
9．（3 分）圆锥的底面直径是 8，母线长是 9，则该圆锥的全面积为( )

A． 36p B． 52p C．100p D．136p
【解答】解：圆锥的全面积= 圆锥的侧面积+ 底面圆的面积
2
= 1 ´ 8p´ 9 + p´ ( 8 )
2 2
= 36p+ 16p
= 52p， 故选： B ．
10．（3 分）下列关于抛物线 y = 3x - 2x2 + 1 的说法中，正确的是( )

A．开口向上 B．必过点(1, 0)

第 21页（共 20页）

C．对称轴为 x = 3
4

D．与 x 轴没有交点

【解答】解：Q抛物线 y = 3x - 2x2 + 1 = -2x2 + 3x + 1，
\该抛物线开口向下，故选项 A 错误，不符合题意； 当 x = 1 时， y = 2 ，故选项 B 错误，不符合题意；
对称轴为直线 x = - 3 = 3 ，故选项C 正确，符合题意；

2 ´ (-2) 4

当 y = 0 时， x1
= 3 +
4
17 ， x
= 3 -
4
17 ，故选项 D 错误，不符合题意；

2
故选： C ．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）已知一个等边三角形三条角平分线的交点为O ，把这个三角形绕点O 顺时针旋转 120° 后，所得图形与原来的图形重合．（填写小于180° 的度数）
【解答】解：根据题意知， O 为等边三角形的对称中心，即把这个三角形绕点O 顺时针旋转120° ，所得图形与原来的图形重合，
故答案为：120° ．

12．（3 分）已知函数 y = x2 - 2x ，当 x = a 时，记函数值 y 为 f （a），则 f (-10) > f (-1)

（填写“ > ”“ < ”或“ = ” ) ．

【解答】解：由题意知： f (-10) = (-10)2 - 2 ´ (-10) = 120 ， f (-1) = (-1)2 - 2 ´ (-1) = 3 ，

Q120 > 3 ，
\ f (-10) > f (-1) ． 故答案为： > ．
13．（3 分）如图，eO 的直径是 AB 为10cm ，弦 AC 为6cm ，ÐACB 的平分线交eO 于点 D ，
则 BC + AD = (8 + 5 2) cm ．

【解答】解：Q AB 是直径，
\ÐACB = ÐADB = 90° ，
Q AB = 10cm ， AC = 6cm ，

AB2 - AC 2
102 - 62
\ BC = = = 8(cm) ，

Q CD 平分ÐACD ，
\ ¶AD = B¶D ，

\ AD = BD =
2 AB = 5 2(cm) ，
2

\ BC + AD = (8 + 5 2)(cm) ．

故答案为： (8 + 5 2) ．

14．（3 分）方程 x2 - 3x + 2 = 10 两个根的和为 a ，两个根的积为b ，则 a - b = 11 ．
【解答】解：Q x2 - 3x + 2 = 10 ，
\ x2 - 3x - 8 = 0 ，
Q方程 x2 - 3x + 2 = 10 两个根的和为 a ，两个根的积为b ，
\ a = 3 ， b = -8 ，
\ a - b
= 3 - (-8)
= 3 + 8
= 11 ，
故答案为：11．

15．（3 分）为了估计箱子中白球的个数，在该箱再放入 10 个红球（红球与白球除颜色不同以外，其他均相同），搅匀后，从箱子中摸出 15 个球．如果在这 15 个球中有 2 个是红球，那么估计箱子中白球的个数为 65 个．
【解答】解：设箱子中白球的个数为 x ，根据题意得：
x = 15 - 2 ，

x + 10 15
解得 x = 65 ，
经检验 x = 65 是原方程的解，
答：估计箱子中红球的数量为 65 个； 故答案为：65．
16．（3 分）点 A 是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点 A 作 AB ^ x 轴，垂足为点
B ， DOAB 的面积是 1，则下列结论中，正确的是 ②③ （填序号）．
①此反比例函数图象经过点(1,1) ；
②此反比例函数的解析式为 y = 2 ；
x
③若点(a,b) 在此反比例函数图象上，则点(-a, -b) 也在此反比例函数图象上；

④点 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) 在此反比例函数的图象上且 x1 < x2 < 0 ，则 y1 < y2 ．

【解答】解：根据题意可得，

| k |= 2SDOAB = 2 ´1 = 2 ，
Q反比例函数在第一象限内，
\ k > 0 ，
\ k = 2 ，
\反比例函数的解析式为 y = 2 ，
x
故结论②正确；

1´1 = 1 ¹ 2 ，故结论①错误；
若点(a,b) 在此反比例函数图象上，则 ab = 2 ，
-a × (-b) = ab = 2 ， 故结论③正确；
结合函数图象特点，

x1 < x2 < 0 时，

y1 > y2 ，

故结论④错误；

综上所述，正确结论为②③． 故答案为：②③．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4 分）尺规作图：

如图，已知DABC ．作边 BC 关于点 A 对称的图形．（保留作图痕迹，但不要求写作法）

【解答】解：如图， DE 为所作．

18．（4 分）求二次函数 y = x2 - 3x +10 的最小值，并写出当自变量 x 取何值时， y 取得最小

值．
【解答】解：Q y = x2 - 3x + 10 = (x - 3)2 + 31 ，
2 4
\该抛物线的顶点坐标为( 3 ， 31) ，且开口方向向上，
2 4
\当 x = 3 时， y 取得最小值，最小值为 31 ．
2 4
19．（6 分）解下列方程：

（1） (x - 3)2 = 1；

（2） x2 + 2x - 3 = 0 ．

【解答】解：（1） (x - 3)2 = 1，

x - 3 = ±1，

所以 x1 = 2 ， x2 = 4 ；

（2） x2 + 2x - 3 = 0 ，
(x + 3)(x -1) = 0 ，
x + 3 = 0 或 x - 1 = 0 ， 所以 x1 = -3 ， x2 = 1 ．
20．（6 分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I （单位： A) 与电阻 R （单位：

W) 是反比例函数关系．当 R = 9W 时， I = 4 A ，求这个反比例函数的解析式．
【解答】解：设 I = k ，
R

Q当 R = 9W 时， I = 4 A ，
\ 4 = k ，
9
解得 k = 36 ，
即这个反比例函数的解析式是 I = 36 ．
R
21．（8 分）如图， AB ， CD 是eO 的两条弦， AB = CD ， OE ^ CD ， OF ^ AB ，垂足分别为 E ， F ．比较CE 和 AF 的大小，并证明你的结论．
【解答】解： CE = AF ，理由如下：
Q OE ^ CD ，
\CE = 1 CD ，
2
Q OF ^ AB ，
\ AF = 1 AB ，
2
Q AB = CD ，
\CE = AF ．
22．（10 分）线上教学的师生，可采用的方式包括：①连麦问答；②视频对话；③不定时签到；④投票；⑤选择题推送等．为了解学生最喜爱的方式，随机抽取若干名学生进行调查， 将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图 1 和图 2 :
（1） 本次随机抽查的学生人数为 400 人，补全图 2；

（2） 参加线上教学的学生共有 6000 名，可估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数为人，图 1 中扇形①的圆心角度数为 度；
（3） 若在“①，②，③，④”四种方式中随机选取两种作为重点交互方式，请用列表或画 树状图的方法，求恰好选中“②，③”这两种方式的概率．

【解答】解：（1）本次随机抽查的学生人数为60 ¸ 15% = 400 （人) ； “②”种方式的人数为 400 - 120 - 60 - 80 - 100 = 40 （人) ，
条形统计图为：

故答案为：400；
（2） 6000 ´ 120 = 1800 （人) ，
400
所以估计最喜爱“①连麦问答”的学生人数为 1800 人，
图 1 中扇形①的圆心角度数为360°´ 120 = 108° ；
400
故答案为：1800，108；

（3）画树状图为：

共有 12 种等可能的结果，其中恰好选中“②，③”这两种方式的结果数为 2，

所以恰好选中“②，③”这两种方式的概率=
2 = 1 ．

12 6

23．（10 分）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛 90 场，共有多少个队参加比赛？
【解答】解：设有 x 队参加比赛． 依题意，得 x(x - 1) = 90 ，
(x -10)(x + 9) = 0 ，

解得 x1 = 10 ， x2 = -9 （不合题意，舍去）．答：共有 10 支队参加比赛．
24．（12 分）已知抛物线 y = x2 + 2x + m ．

（1） 若 m = -3 ，求该抛物线与 x 轴交点的坐标；
（2） 判断该抛物线与 x 轴交点的个数，并说明理由；
（3） 若-2 < x < 1时，该抛物线与 x 轴有且只有一个交点，求 m 的取值范围．

【解答】解：（1）当 m = -3 时，抛物线为 y = x2 + 2x - 3 ，令 y = 0 ，则 x2 + 2x - 3 = 0 ，
解得 x1 = -3 ， x2 = 1 ，

\抛物线与 x 轴的交点为(-3, 0) 和(1, 0) ；

（2）令 y = 0 ，则 x2 + 2x + m = 0 ，

△ = 22 - 4m = 4 - 4m ，
当△ > 0 时，即4 - 4m > 0 ， 解得 m < 1；
当△ = 0 时，即4 - 4m = 0 ， 解得 m = 1；
当△ < 0 时，即4 - 4m < 0 ， 解得 m > 1；
\当 m < 1时，抛物线与 x 轴有两个交点； 当 m = 1时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； 当 m > 1时，抛物线与 x 轴没有交点；
（3）Q y = x2 + 2x + m = (x + 1)2 + m -1，

\抛物线对称轴为直线 x = -1 ，
①当抛物线的顶点在 x 轴上时，由（2）知，当抛物线与 x 轴有且只有 1 个交点时， m = 1；
②当-2 < x < 1时，该抛物线与 x 轴有且只有一个交点，如图：

△ = 4 - 4m > 0 ， 解得 m < 1，
当 x = -2 时， y„0 ，
\4 - 4 + m„0 ， 解得 m„0 ；
当 x = 1 时， y > 0 ，
\1 + 2 + m > 0 ， 解得 m > -3 ，
\-3 < m„0 ，
综上所述， m 的取值范围为-3 < m„0 或 m = 1．
25．（12 分）如图，已知正方形 ABCD 边长为 2，点O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一个动点，且 EO = 1．
（1） 连接 BE ， CE ，求ÐBEC 的度数；
（2） 连接 DE ，若ÐDEO = 90° ，求 BE 的长度；
（3） 将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转90° 后，得到线段 DF ，连接CF ，线段CF 长是否存在

最小值，若无，说明理由；若有，求出这个最小值．

【解答】解：（1）由题意知，点 E 在以 BC 为直径的半圆上，

\ÐBEC = 90° ；
（2）当ÐDEO = 90° 时， DE 切eO 于点 E ，连接 BE ， EC ， OD ，

QÐBCD = 90° ，
\ ED = DC = 2 ，
又Q EO = OC ，
\OD ^ EC 且OD 平分 EC ，
\ BE / /OD ，
即ÐDOC + ÐECO = 90° ， ÐDOC + ÐODC = 90° ，
\ÐECO = ÐODC ，
\tan ÐECO = tan ÐODC ， 即 BE = OC = 1 ，

CE CD 2
\CE = 2BE ，
2 5
5
Q BC 2 = BE 2 + EC 2 ， 即 BE2 + 4BE2 = 22 ，
解得 BE = （舍去负值）；

（3）QÐADC = ÐADE + ÐCDE = 90° ， ÐEDF = ÐCDE + ÐCDF = 90° ，
\ÐADE = ÐCDF ， 在DADE 和DCDF 中，
ì AD = CD
í
ïÐADE = ÐCDF ，
î
ïDE = DF

\DADE @ DCDF (SAS ) ，
\CF = AE ，
\CF 最小时， AE 最小， 连接 AO 交eO 于点 E¢ ，

AB2 + OB2
5
在RtDABO 中， OA = = ，

5
\ AE¢ = OA - OE¢ = - 1 ，

5
\CF 存在最小值为 - 1 ．