常微分方程习题(4).doc

常微分期终测试卷
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一、填空题
1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。
２、当（　　　　　　　　）时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。
３、函数称为在矩形域Ｒ上关于满足利普希兹条件，如果（　　　　　　）。
４、对毕卡逼近序列，。
５、解线性方程的常用方法有（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）。
６、若为齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（　　　　　　　　　　　　　　　）。
７、方程组（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）。
８、若和都是的基解矩阵，则和具有关系：（　　　　　　）。
９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（　　　　）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（　　　　）。
１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（　　　　　　）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（　　　　　）。当（　　　　　）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（　　　　　　　　　　　）。
１１、若是的基解矩阵，则满足的解（　　　　　　　　　）。

二、计算题
求下列方程的通解。
１、。
２、。
３、求方程通过的第三次近似解。
求解下列常系数线性方程。
４、。
５、。
试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：
６、。
三、证明题。
１、 设为方程（Ａ为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值。

答案：
一、 填空题
１、形如 的方程　　　　　
２、　
３、存在常数Ｌ>0，对于所有都有使得不等式成立
４、
５、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法
６、，其中是任意常数
７、个线性无关的解称之为的一个基本解组
８、＝为非奇异常数矩阵
９、等于零 稳定中心
１０、两根同号且均为负实数　　稳定结点　　两根异号或两根同号且均为正实数　　不稳定鞍点或不稳定结点
１１、
二、 计算题
１、 解：方程可化为
　　　　令，得
　　　　由一阶线性方程的求解公式，得
　　　　所以原方程为：＝
２、 解：设，则有，从而　，故方程的解为，另外也是方程的解
３、 解：

４、 解：对应的特征方程为：，解得
　　　　所以方程的通解为：

５、 解：齐线性方程的特征方程为，解得，故齐线性方程的基本解组为：，因为是特征根，所以原方程有形如，代入原方程得，，所以，所以原方程的通解为
６、 解： 解得　所以奇点为（　经变换，
　　　　方程组化为　因为又　所以，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。
三、 证明题
１、证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵，所以　　　
也是方程的基解矩阵，且也是方程　的基解矩阵，且都满足初始条件，
所以