高数第一章08W.doc

任家录：高等数数考试复习及必做试题

第一篇 高等数学
预备 概 述
一、 研究对象： 函 数
二、 研究方法： 极 限
三、 内容框架：

第一章 函数 极限 连续
§1.1 函数
一 、考纲要求：
1． 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系式
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．
二 、考点概述与解读：
（一）函数的概念
1、定义：称映射 为一个函数（其中）。
注1：此定义涵盖了微积分中的所有函数的概念：当时，为一元函数
当时，为多元函数；当时，为数列
注2：函数为一个特殊的映射，应深刻领会映射定义中的三层含义（原象的任意性，象的存在性，象的唯一性）
2、函数的二要素： 定义域； 对应法则
注1：二要素的用途：函数与符号无关；用于判断两个函数是否为同一函数。
注2：定义域是集合，不要写成不等式（最好将其写成区间或区间的并）。
3、函数的表示法： 解析法； 列表法； 图像法
注：函数与曲线并非一一对应
（二）常见的函数形式
1、显函数：
注：分段函数是显函数（并且是一个函数，而不是多个函数）
2、隐函数：
注1：相关结论（隐函数存在定理）：设在点的某领域具有连续偏导数，且，，则方程在的某领域内恒能确定唯一的一个具有连续导数（或偏导数）的函数，使之满足
注2：相关方法（隐函数求导法）：在方程两边求导数（或偏导数）。
3、复合函数：，，
注：并非在意两个函数能复合出一个复合函数，能复合充要条件是， 具体判断时，可以强行代入得到，再看其定义域是否为空集，若空，则不能复合；若非空，则可以复合。
4、反函数：的逆映射 （即）
注：并非任意一个函数都有反函数，当且仅当一一对应时才有反函数。
相关结论（反函数存在定理）：若连续，单增（减），则其反函数存在，且连续、单增（减）。
结论：与反函数在坐标系中的图像关于对称。
注：指数函数与对数函数互为反函数；反三角函数不是三角函数的反函数，
5、极限函数： （其结果只与有关而与无关）。
注：在研究极限函数时，应分清谁是极限变量谁是函数的自变量。
6、导函数：
相关结论： 可导的奇函数的导数是偶函数，可导的偶函数的导数是奇函数。
有限区间上可导的无界函数的导函数一定是无界函数。
注：（在做题过程中，一定要注意避免导函数定义域的扩大）。
7、积分函数：；
相关结论：若在上可积，则在上连续
若在连续，则在区间中可导，且（使用条件：中不含有，连续）
推论：若在上连续，在可导，则
8、和函数：
注：和函数的定义域未必是存在域，一般应等于其收敛域。
9、参数方程：，（为参数）
相关方法（参数方程求导法）：
用途：多用与计算曲线、曲面积分。
10、极坐标方程： （ 或 ）
结论（直角坐标系与极坐标的关系）：；
相关结论（计算二重积分）：
注：满足下列两个条件之一时，一般应考虑用极坐标计算二重积分：
积分区域是圆域（或圆域的一部分）；被积函数只与（或）有关。
（三）一元函数的几何性质
1、单调性：若，当时，有（或），
则称在上单调递增（或单调递减）。
若，当时，有（或）
则称在上单调不减（或单调不增）
判定方法：作差与比较（或作商与比较）；使用下述相关结论
相关结论： 可导函数单调不减（不增）的充要条件是（）
可导函数单调递增（递减）的充要条件是：
（）且使的为孤立点。
2、有界性： 若存在常数M，使，（），则称有上界
若存在常数m，使，（），则称有下界
若既有上界又有下界，则称有界
结论：有界的充要条件为：常数M，使
相关结论： 闭区间上的连续函数一定有界（有界性定理）
函数有极限 局部有界
有界是可积的必要条件
3、奇偶性： 若 ，则称为奇函数；
若 ，则称为偶函数。
注：奇函数（偶函数）的定义域必须关于原点对称
结论： 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称
奇函数与偶函数乘积为奇函数；
奇函数与奇函数，偶函数与偶函数的乘积为偶函数
在上有定义的任一函数，一定可表示为一个奇函数与偶函数之和。
注： 为奇函数； 为偶函数
相关结论： 若为可积的奇函数，则＝
若为可积的偶函数，则＝2
若为一般的可积函数，则
4、周期性：若，使，则称是以为周期的周期函数。
结论： 若为的周期，那么也是的周期（）
注：周期函数未必有最小正周期
相关结论： 可导的周期函数的导函数仍然是周期函数，且周期不变，
若以为周期的连续函数，则
5、渐近性：
水平渐近线：若 ，则，此为的一条水平渐近线。
若 ，则称为的一条水平渐近线
注：同一函数的水平渐近线最多有2条
垂直渐近线：若，则称是的一条垂直渐近线
若，则称为的一条垂直渐近线
注：垂直渐近线可能有无穷多条，求垂直渐近线实质上是考查的无穷间断点。
斜渐近线： 若，（）且，
则是的一条斜渐近线；
若，（）且，
则是的一条斜渐近线；
注：斜渐近线最多有两条；并且如果在（或）方向有水平渐近线，那么在该方向就不会有斜渐近线。（即：同一函数的水平渐近线和斜渐近线最多有2条）
6、凹凸性：若曲线上任意一点的切线都在该曲线的下（上）方，则称是凹（凸）曲线
相关结论：若，（），则在为凹（下凹/上凸）的；
若，（），则在为凸（上凹/下凸）的。
（四）初等函数及其性质：
1、基本初等函数及其性质：
（1）常函数：，
性质： 不增不减； 有界；； 偶函数；是周期函数； 只有一条水平渐近线； 没有凹凸性
（2）幂函数：（）
注： 定义域与有关， 性质一般也与有关
（3）指数函数：（且）（）（）
（4）对数函数：（且）（）（）
（5）三角函数： 正弦函数：； 余弦函数：；
正切函数：， 余切函数：；
正割函数： 余割函数：
（6）反三角函数： 反正弦函数，；
反余弦函数：，
反正切函数：，
反余切函数：，
注1：反三角函数不是三角函数的反函数（例：不是的反函数）
注2：必须严格属于上述六类函数之一，才是属于基本初等函数
（ 例：， 都不是基本初等函数）
2、初等函数及其性质： 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的，并能用一个式子表达的函数为初等函数。
注： 分段函数可能是初等函数，也可能不是
基本初等运算经过无穷次四则运算和复合运算得到的函数可能是初等函数也
可能不是（例：是初等函数，不是初等函数）
相关结论：初等函数在定义域内是连续函数（即间断点一定不在定义域内）
（五）常见的经济函数
1、需求函数： （为需求量，为价格 ）
2、供给函数： （为供给量，为价格 ）
3、收益函数： （为收益， 为产量，为价格）
4、成本函数：（为固定成本，为可变成本）
5、利润函数：＝
6、平均收益：； 7、平均成本：； 8、平均利润：
（六）常见的物理函数
1、牛顿第二定律：； 2、功：
3、液体侧压力：； 4、引力：
三 、实用题型及例题归类：
题型一 关于函数符号的使用
1 . [90-1] 设函数, 则 = ____1____．
2 . [01-1] 设 , 则等于 (B)
（A）0； （B）1； （C） （D）
3 . [92-3] 设 ，则 (D)
(A) (B)
(C) (D)
4 . [97-2] 设 , 则 (D)
(A) (B)
(C) (D)

5 . [88-1、2、3] 已知 ， 及 ， 求 并写出它的 定义域。 【 答：； 】
6 . [92-5] 设；其定义域为
7 . [95-3] 设，且， 求
【 答： 】
8 . [00-2] 设, 计算.【 答： 】
9 . [02-3、4] 设 ，求
【 答： 】
10 . [03-2] 已知是微分方程的解，则的表达式为 （A）
（A） （B） （C） （D）
11 . [武钢院1980] 设，则。
12 . [合肥工大1981] 设 ，求。 【 答： 】
13 . [奥赛1984] 设 求 ，并证明为奇函数。
【 答： 】
14 . [上交大1985] 设在 有定义且 ，.
则 。
15 . 的反函数为
16 . [04-2] 设函数在（）上有定义, 在区间上, ，若对任意的都满足, 其中为常数. 写出在上的表达式;
【 答 ： 】
17 . [96-3] 设函数 写出的反函数的表达式；
【 答 ： 】
题型二 关于函数的几何特性
1. [87-3] 是 （D）
（A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）偶函数
2. [90-4、5] 设函数 ，则是 （B）
（A）偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数
3. [04-3、4] 函数在下列哪个区间内有界 (A)
(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).
4. [05-3、4] 以下四个命题中，正确的是 (C)
(A) 若在(0，1)内连续，则在(0，1)内有界
(B) 若在(0，1)内连续，则在(0，1)内有界
(C) 若在(0，1)内有界，则在(0，1)内有界
(D) 若在(0，1)内有界，则在(0，1)内有界
5. [99-1、2、3、4] 设f (x)是连续函数，F(x)是f (x)的原函数，则 (A)
(A) 当f (x) 是奇函数时，F(x) 必是偶函数
(B) 当f (x) 是偶函数时，F(x) 必是奇函数
(C) 当f (x) 是是周期函数时，F(x) 必是周期函数
(D) 当f (x) 是单调增函数时，F(x) 必是单调增函数。
6. [05-1、2] 设是连续函数的一个原函数，表示“的充分必要条
件是”，则必有 (A)
(A)是偶函数是奇函数 (B)是奇函数是偶函数.
(C)是周期函数是周期函数 (D)是单调函数是单调函数
7. [02-2、3] 设函数f (x) 连续，则下列函数中必为偶函数的是 （D）
（A） （B） （C） （D）
8. [06-2]设奇函数，除外处处连续,是其第一类间断点,则是 [ B ]
(A) 连续的奇函数. （B）连续的偶函数.
(C) 在间断的奇函数. (D) 在间断的偶函数
9. [01-1、2] 设函数f (x) 在定义域内可导，y = f (x) 的图形如图所示，
则导函数y = f’(x) 的图形为 （D）

10. [03-1、2]设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有 （C）

(A) 一个极小值点和两个极大值点
(B) 两个极小值点和一个极大值点
(C) 两个极小值点和两个极大值点
(D) 三个极小值点和一个极大值点
11. [00-1、2] 设ƒ(x)¸g(x)是恒大于零的可导函数,且
,则当a < x < b 时,有 (A)
(A) (B)
(C) (D)
12. [ 01-2 ] 已知函数在区间（1-δ，1+δ）内具有二阶导数， 严格单调减少，
且，则 （A）
(A) 在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有f (x) < x；
(B) 在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有f (x) > x；
(C) 在（1-δ，1）内，f (x) < x， 在（1，1+δ）内，f (x) > x； (D) 在（1-δ，1）内，f (x) > x ，在（1，1+δ）内，f (x) < x .
13. [04-1、2] 设函数f(x)连续，且则存在，使得 (C)
(A) f (x) 在（0，内单调增加. （B）f (x) 在内单调减少.
(C) 对任意的有f (x) > f (0) . (D) 对任意的有f (x) > f (0)
14. 设是以3为周期的奇函数，且，则f (10) = -2
15. [清华1982] 设奇函数满足。
（1） 试用表示和； （2）问为何值时，以2为周期
【 答 ：（1），；（2） 】
16.（08-1）设函数，则的零点个数为（ ）

17.函数在点处的梯度等于（ ）

题型三 利用初等函数判断连续性
1. [87-4] 下列函数在其定义域内连续的是 (A)
（A） （B）
（C） （D）
2. [98-3、4] 设函数,讨论函数f (x) 的间断点,其结论为 ( B)
(A) 不存在间断点. (B) 存在间断点x = 1
(C) 存在间断点x = 0 (D) 存在间断点x = -1
3. [04-2] 设, 则的间断点为 0
4. 下列函数为初等函数的是 （D）
（A） （B） （C） （D）
§1.2 极 限
一 、考纲要求：
1．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.
2．掌握极限的性质及四则运算法则．
3．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
4．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．
二 、考点概述与解读：
（一）极限的概念
1、简述：在自变量的某一些变化过程中，函数(包括数列)变化的最终趋势叫函数的极限
注1：不能离开自变量的变化过程谈函数的极限
注2：极限是函数的极限，没有函数就没有谈极限
2、定义：
定义1： 对于数列，设为一个常数，若，，使当时，有，则称 在时，以为极限，记作
定义2： 对于函数，设为一个常数，若，，使时，有，则称
定义3： 对于函数，设为一个常数，若，使当时，有，则称
定义4： 对于函数，设为一个常数，若，使时，有，则称
定义5： 对于函数，为一个常数，，，使当 时，有 ，则称
定义6：对于函数，为一个常数，，，当时，有，则称
定义7：对于函数，为一个常数，，，当时，有，则称
结论： 成立的充要条件是：且
注：的意思是，与很近（要多近有多近），但不等于
3、极限的几何意义：（以为例）在附近的值全部落在宽为的带内

4、与极限相关的内容：
渐近线、连续、导数、微分、定积分、偏导数、全微分、多元微分、方向导数、
二重积分、曲线/曲面积分，无穷级数、广义积分
（二）极限的性质
1、唯一性定理：若存在，则其极限值唯一（自变量的变化过程不可变）
2、局部有界性定理：若存在，则在局部有界
3、局部保号性定理：若在局部成立，且 存在，则
推论：若，则在局部成立（不会等于）
（三）极限的运算
1、四则运算：若，，则
，，其中
记忆：在有意义的前提下，和差积商的极限等于极限的和差积商。
推论： 若与均存在，则存在
若与均存在，且则存在
注：若存在，不存在，则一定不存在
若与均不存在，则可能存在也可能不存在
若与均存在，且则未必存在
2、复合运算法则：若 在 点连续（），则

（四）极限的存在准则
1、单调有界准则（原理）：单调有界数列必有极限
注：单调有界准则只适用于数列，不适合于一般的函数（即单调有界函数未必有极限）
2、夹逼准则（原理）：若在局部成立，且，，则存在且等于
注：夹逼准则对数列极限也也成立
（五）两个重要极限
、； 、
注： 与 均为未定型，前者是型极限，后者是型极限，一定要记准自变量的变化过程
（六）未定式极限
1、基本形式：型；型
2、其它形式：型，型，型，型，型
3、洛必达法则：
定理1：若，，且
与在局部可导，（附近）；（为常数或无穷），
则
定理2：若，，且
与在局部可导，（附近）；（为常数或无穷），
则
注1：只有对型或型未定型极限可以考虑直接用洛必达法则（对分子分母只有一个是的情形，也可以考虑使用洛必达法则，但只限于选择填空题）
注2：当分子分母在局部不可导时不能用洛必达法则（特别地对于数列极限不能直接用）
注3：当振荡时不可用洛必达法则
注4：对其它未定型极限先化成型或型，再考虑用洛必达法则。具体作法是：
对于型 型 （或型）
对于型 型 （或型）
例：
对于型、型、型 型型（或型）

注5：在使用洛必达法则的过程中应尽可能地与代数变形、变量代（替）换、重要极限、四则运算法则、等价无穷小代换、夹逼准则相结合，以求简化计算。
（七）无穷小量与无穷大量
1、概念：若，则称在为无穷小（量）
若，则称在时为无穷大（量）
注1：无穷大（小）量是指因变量不是自变量
注2：不能离开自变量的变化过程谈无穷小与无穷大
注3：无穷大量一定是无界变量（无界函数），反之不然
2、性质：在自变量同一变化过程中，有：
无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量（夹逼准则）
注：无穷大量与有界变量的乘积未必是无穷大量
有限个无穷小量的和差积仍然是无穷小量（但商未必）
注1、有限个无穷大量的和、差、商未必是无穷大量（但积例外）
注2：无穷个无穷小量的和差积商未必是无穷小量
无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量
3、无穷小量阶的比较：设，
若，则称比高阶，记作：）
若，则称比低阶
若，（），则称与同阶
若，则称与等价无穷小，记作
4、几个与无穷小量相关的结论：
，其中为无穷小量
连续为无穷小量（）其中：
等价无穷小代换：若，，则
注1：等价无穷小代换的实质是分子分母同除以等价的函数
注2：求和差的极限时不能对其中的某一项（或某几项）进行等价无穷小代换；
求乘积的极限时可以对其中的某一个（或某几个）因子进行等价无穷小代换。
注3：当时，常见的等价无穷小量有： ；；；；；；；
若在可导，且，则是与同阶的无穷小量；
若在可导，则－是比高阶的无穷小量
（八）用极限考查曲线的渐近线：（见§1.1中渐近性的有关内容）
三 、实用题型及例题归类：
题型一 关于极限的概念及性质
1. [99-2] “对任意给定的总存在正整数N，当时，恒有”是
数列收敛于a的 （C）
(A) 充分条件但非必要条件。 (B) 必要但非充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件
2. [00-3、4]. 设对任意的x ，总有, 且 , 则
（D）
（A） 存在且等于零. (B) 存在但不等于零. (C) 一定不存在. (D) 不一定存在.
3. [03-1、2] 设{}，{} ，{} 均为非负数，且 ，，=，
则必有 (D)
（A）对任意n成立 （B）对任意n成立
（C）极限不存在 （D）极限不存在
4. [92-1、2] 当x时，函数 e 的极限 （D）
(A) 等于2 (B) 等于0. (C) 为. (D) 不存在但不为.
5. [91-4] 下列各式中正确的是 （A）
（A） （B）
（C） （D）
6. （B）
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D）不存在
7. [91-5] 设数列的通项为：，则当,是 （D）
（A）无穷大量 （B）无穷小量 (C) 有界变量 （D）无界变量
8. [87-3] 函数f (x) = xsinx (D)
（A）当时为无穷大 （B）当时有极限
（C）在内有界 （D）在内无界
9. [93-3] 当x时，变量 是 ( D)
(A) 无穷小 (B) 无穷大
(C) 有界的，但不是无穷小量 (D) 无界的,但不是无穷大
10. [88-3] 若与在皆可导，且，则必有 （C）
(A) (B)
(C) (D)
11. [ 00-2] 设函数在内连续，且，
则常数a，b满足 （D）
（A） （B） （C） （D）
12. [ 08-1] 设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）
收敛，则收敛。 单调，则收敛。
收敛，则收敛。 单调，则收敛。

题型二 关于函数极限的计算
方法一 利用四则运算法则求
1. [87-5] .【 = 】 2. [97-2] . 【 = 】
3. [93-3] 求. 【 = 】 4. [01-2]
方法二 利用连续函数的定义求
1. 【 = 】
方法三 利用左右极限求
1. [00-1] 求 【 = 】
2. [92-4] 设函数 问函数f (x) 在x = 1处是否连续? 若
不连续，修改函数在x =1处的定义，使之连续． 【 不连续； 】
方法四 利用两个重要极限求
1. [93-4]
2. [05-3、4]
3. [90-1] 设为非零常数，则
4. [2010-1] 极限 【C 】

方法五 利用夹逼准则求
1. [湘潭大学1982] . 【 = 】
方法六 利用等价无穷小代换求
1. [ 97-1] 2. [06-1] = 2 .
3. [ 95-1、2] (1 + 3x ) =. 4.[03-4]
方法七 利用洛必达法则求（重点）
1. [88-4] 求极限　 【 = 】 2. [91-3]= -1
3. [88-5] 【 = 】 4. [93-3]
5. [91-3] 【 =】 6. [97-4] 【=】
7. [04-3、4]. 【 = 】 8. [94-5] 【 = 】
9. [91-5] . 【 = 】 10. [03-1] =
11. [01-2] 【 =】 12.[89 - 4；91-1、2] 【 =】 13. [87-5] . 【 = 】 14. . 【 = 】
15.. 【 = 】
方法八 利用导数定义求
1. 设f (x) 在x = 0处可导，且f (0) = 0, 求 . 【 】
方法九 利用微分中值定理求
1 . ． 【 = 】
方法十 利用积分中值定理求
1. ． 【 = 】
题型三 关于数列极限的计算
方法一 利用四则运算求
1．[90-4] 2 . 2. [06-3、4] = 1 .
方法二 利用两个重要极限求
1．[87-3] . 【=；】 2．[02-3] 设a, 则
方法三 利用夹逼准则求
1. [95-3] ( + ) =
方法四 利用洛必达法则求 (须先将数列连续化为函数)
1. [94-3] 计算 . 【 = 】
方法五 利用三角公式求
1. [兰大1982] . 【 = 】
方法六 利用数列的求和公式与求和技巧求
1. [93-5]
2. [99-4] 设函数，则.
3. ． 【 = 】
方法七 利用单调有界原理求
1.[97-1] 设 , 证明存在并求出其值。 【=】
2.[02-2] 设0<,证明数列的极限存在，并求出来. 【 = 】
3. [96-1] 设,(n=1,2,…),试证极限存在,并求此极限.【 = 】
4. [06-2] 设数列 满足 .
(1) 证明 存在，并求该极限； （2）计算 . 【】
5.[99-2] 设是区间上单调减少且非负的连续函数，，, 证明: 数列的极限存在。
方法八 利用定积分的定义求
1. [华东水利学院1980] 求 . 【 = 】
2. [02-2] =
3. [04-2] 等于 （B）
（A）. （B）. （C）. （D）
4. [98-1 ] 求 . 【 = 】
方法九 利用收敛级数的必要条件求
1. [昆明工学院1982] 求证 ．
方法十 利用施笃兹法则求
1. [国防科大1981] 若 ，求证 ．
2. 设 ，求 ． 【 = 】
3. 设a > 1 ，求 ． 【 = 】
题型四 比较无穷小的阶
1. [89-1] 设, 则当x→0时， (B)
(A) f (x) 与x是等价无穷小量 (B) f (x) 与x是同阶但非等价无穷小量
(C) f (x) 是比x较高阶的无穷小量 (D) f (x) 是比x较低阶的无穷小量
2. [92-3] 时， （B）
（A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小
（C）等价无穷小 （D）同阶但不等价的无穷小
3．[97-4] 设f (x)，在点x = 0的某邻域内连续，且当x→0时，f (x)是的高阶无穷小，则当x→0时，是 的 (B)
（A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小
（C）同阶但不等价的无穷小 （D）等价无穷小
4．[92-4] 当x时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量? (D)
(A) . (B)
(C) (D)
5．[04-1、2] 把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 （B）
(A) . (B) . (C) . (D) .
6．[01-2] 设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数n等于 （B）
（A）1； （B）2； （C）3； （D）4。
题型五 求极限式中的未知参数
1. [90-3] 已知 ，求常数. 【 = 】
2. [01-3、4] 设在可导，且
，求c的值. 【 = 】
3. [94-3] 设 ，则 (A)
(A) a =1, b = - (B) a = 0, b = -2 (C) a = 0, b = - (D) a = 1, b = -2
4. [01-3、4] 若，则a =，b =
5. [87-1] 求正的常数与，使等式 成立.
【 ； 】
6. [98-2] 确定常数的值，使
【 】
7. [02-1] 设函数 在x = 0的某邻域内具有一阶连续导数，且,若在时是比h高阶的无穷小，试确定与的值. 【 】
8. [06-2、4] 试确定常数的值，使得 ,其中 是当时比高阶的无穷小. 【 】
题型六 考察曲线的渐近线
1. [89-1] 当x > 0时，曲线 (A)
（A）有且仅有水平渐近线 （B）有且仅有铅直渐近线
（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线 （D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线。
2. [94-3、4、5] 曲线 的渐近线有 (B)
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
3. [00-3] 求函数的图形的渐近线． 【 】
4. [03-4] 曲线 (D)
（A）仅有水平渐近线 （B）仅有铅直渐近线
（C）既有铅直又有水平渐近线 （D）既有铅直又有斜渐近线
5. [06-2] 曲线的水平渐近线方程为 .
6. [05-1] 曲线的斜渐近线方程为
题型七 综合类问题
1. [88-1、2、3] 若f (t) = t, 则。
2. [98-3、4] 设函数,讨论函数f (x) 的间断点,其结论为 (B)
(A) 不存在间断点. (B) 存在间断点x = 1
(C) 存在间断点x = 0 (D) 存在间断点x = -1
3. [04-2] 设, 则的间断点为 0
4. [05-1、2] 设函数，则f(x)在内 ( C)
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
5. [06-3、4] 设 . 求：
（1）； （2）
6. [02-1、2] 设函数 （B）
(A) 当时，必有 ．
(B) 当存在时，必有 ．
(C) 当时，必有．
(D) 当存在时，必有．
7. [02-3、4] 设函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，则 (B)
（A） 当时，存在使f．
（B） 对任何．
（C） 当f (a) = f (b) 时，存在使．
（D） 存在．
8. [02-1] 已知两曲线y = f(x)与在点（0，0）处的切线相同，试写出
切线方程并求极限 . 【 = 】
9. [03-2] 设，则极限等于 （B）
（A） （B）
（C） （D）
10. [88-1、2、3] 若函数y = f(x)有，则当时，该函数在x=处的微 分dy是 （B）
（A）与等价的无穷小. （B）与同阶的无穷小.
(C) 比低阶的无穷小. (D) 比高阶的无穷小.
11. [98-2] 设函数f(x)在x = a的某个领域内连续，且f(a)为极大值，则存在
,必有 (C)
(A) . (B)0.
(C) . (D) .
12. [96-1、2] 设有二阶连续导数,且= 0, =1,则 （B）
(A) 是的极大值. (B)是的极小值.
（C）(0, )是曲线y =的拐点.
（D）不是的极值, (0, )也不是曲线y =的拐点.
13. [01-3、4] 设f(x)的导数在x = a处连续，又 ，则 （B）
（A）x = a是f(x)的极小值点； （B）x = a是f(x)的极大值点；
（C）(a,f(a))是曲线y