概率论第三章答案.doc

习题三
1. 箱子里装有12只开关，其中只有2 只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X，Y为

试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布律.
解：先考虑放回抽样的情况：

则此种情况下，X与Y的联合分布律为
X
Y
0 1

0

1

再考虑不放回抽样的情况

X
Y
0 1

0

1

2. 将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律.
解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为1，3；则由硬币出现正面和反面的概率各为，可知

X
Y
0 1 2 3
0

3

0

0 0

1

3. 把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布.
解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为0，1，2，3；则
，
，
，

，

则二维随机变量（X,Y）的概率分布及边缘分布为
X
Y
0 1 2 3
0

1

2

3

0

0 0

0 0 0

1

4. 设(X,Y)的概率密度为

求：
（1） P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x<1,y<3﹜;
（2） P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x+y<3﹜.
解：（1） ∵D={(x,y)|x<1,y<3}
∴
（2） ∵D={(x,y)|x+y<3}
∴
5. 设(X,Y)的概率密度为

求：
（1） 系数c；
（2） (X,Y)落在圆内的概率.
解：（1） 由，得
，可求得
（2） 设，则

6. 已知随机变量X和Y的联合概率密度为

求X和Y的联合分布函数.
解：∵随机变量X和Y的联合概率密度为

∴当x<0,或y<0时，F(x,y)=0;
当时，

当时，

当时，

当时，

综上可得，X和Y的联合分布函数为

7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

（1） 求常数k；
（2） 求 P﹛0<x<2,1<y≤3﹜;
（3） 求X,Y的边缘概率密度；
（4） 判断X与Y是否相互独立.
解：（1） 由概率密度的性质有
即 ，有
(2)
(3) X的边缘概率密度为

∴当0≤x<6时，
当x<0或x≥6时，显然有

Y的边缘概率密度为
∴当0<y<6时，
当y≤0或x≥6时，显然有

(4)
X与Y不相互独立.
8．已知随机变量X1和X2的概率分布为

X1
-1 0 1
P

X2
0 1

而且P{X1X2=0}=1.
(1) 求X1和X2的联合分布；
(2) 问X1和X2是否独立？为什么？
解：由,可知必然成立.

由得

同理可得：，
而综上可得，和的联合分布为
X1
X2
-1 0 1
0

1

0

0

1

（2）
可知和不独立.
9. 设随机变量X与Y相互独立，且都服从 上的均匀分布，求方程 有实根的概率.
解：方程有实根的充要条件是，
由于随机变量X与Y相互独立，所以随机变量（X，Y）的联合概率密度为
下面分两种情况讨论：
（1）当时，如图

记阴影部分为D

(2) 当时，如图

记阴影部分为D, 记空白部分为D1

综上可得：方程 有实根的概率为

另解：方程有实根的充要条件是

令
则当x<0时则当0≤x≤b2时

由于X与Y都服从上的均匀分布，即其密度函数各为
当0≤x≤b2时，

当x>b2时显然有
∴Z1的概率密度函数为
而当
当-4b<x<4b时，
当x≤-4b时，

∴Z2的概率密度函数为
又由于随机变量X与Y相互独立，∴Z1 和Z2也相互独立.
又设Z= Z1 +Z2

而
∵b>0,而当z≤-4b，时，此时

即

综上可得：方程 有实根的概率为

10. 设（X,Y）的概率密度为

求边缘概率密度和
解：X的边缘概率密度为
，当x≤0时，
当x>0时，
Y的边缘概率密度为
当x≤0时，，当y>0时，

而

11. 设X,Y相互独立，其概率密度为

求Z=X+Y的概率密度.
解：由已知得
当z<0时，
当0≤z≤1时，
当z>1时，
∴Z=X+Y的概率密度为

12. 设随机变量（X,Y）的概率密度为

求Z=X—Y的概率密度.
解：∵Z=X—Y的分布函数为

∴Z=X—Y的概率密度为

，

∴Z=X—Y的概率密度为

13. 设随机变量（X,Y）的概率密度为

求的概率密度.
解：设的分布函数为
当时，
当时，

∴的概率密度

14. 设二维随机变量（X,Y）在矩形上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s).
解：由已知可得随机变量（X,Y）的概率密度为

设边长为X和Y的矩形面积S的分布函数为F(s)，则

∴

∴矩形面积S的概率密度

15．设X和Y为两个随机变量，且

求
解：

同理可求

16. 设（X,Y）的联合概率密度为

求：
（1）
（2）边缘概率密度；
(3)
解：（1）由已知，得

同理可知
而
又

（2）X的边缘概率密度为

由于f(x,y)关于x,y地位的对称性，得

17. 设X,Y是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知X的分布律为又设试写出变量的分布律及边缘分布律并求
解：由已知得：

则变量的分布律及边缘分布律为：

1 2 3
1

2

3

0 0

0

1

而
18. 设X关于Y的条件概率密度为

而Y的概率密度为

求
解：由已知得：

19. 设（X,Y）的概率密度为

求：
（1）的概率密度；
（2）的概率密度.
解：(1) 设的分布函数为,概率密度为，则当时，

当时，

当z>1时,

的概率密度为

(2) 设的分布函数为的分布函数为,概率密度为，
则当时，
则当时，
则当时，

的概率密度为
20. 假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间T的概率分布.
解：用表示第i个电气元件无故障工作的时间，则相互独立且同分布，其分布函数为
设G(t)是T的分布函数.
当t ≤0时，G(t)=0;当t>0时，有

电器正常工作的时间T的概率分布服从参数为的指数分布.

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