必修二直线与方程复习讲义.doc

第八章 平面解析几何
第一节 直线与方程
【考纲知识梳理】
一、直线的倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点：
ⅰ.与x轴相交;
ⅱ.x轴正向;
ⅲ.直线向上方向.
②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.
③倾斜角的范围.
（2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。
②经过两点的直线的斜率公式是
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线斜率存在，设为，则
注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称
方程的形式
已知条件
局限性
点斜式

为直线上一定点，k为斜率
不包括垂直于x轴的直线
斜截式

k为斜率，b是直线在y轴上的截距
不包括垂直于x轴的直线
两点式
且
是直线上两定点
不包括垂直于x轴和y轴的直线
截距式

a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距
不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线
一般式

A，B，C为系数
无限制，可表示任何位置的直线
注：过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若x1= x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点式表示）
2、线段的中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y），则此公式为线段的中点坐标公式。
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点间的距离公式
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
（2）点到直线的距离
点到直线的距离；
（3）两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。
四、两条直线的位置关系

【要点名师透析】
一、直线的倾斜角与斜率
（一）直线的倾斜角
※相关链接※

2．已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
※例题解析※
〖例〗已知直线的斜率k=-cos(∈R).求直线的倾斜角的取值范围。

（二）直线的斜率及应用
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1、斜率公式：与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；
2、求斜率的一般方法：
（1）已知直线上两点，根据斜率公式 求斜率；
（2）已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率；
3、利用斜率证明三点共线的方法：
已知若，则有A、B、C三点共线。
注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
※例题解析※
〖例〗设是互不相等的三个实数，如果在同一直线上，求证：

（三）两条直线的平行与垂直
〖例〗已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。
（1）∠MOP=∠OPN（O是坐标原点）；
（2）∠MPN是直角。
二、直线的方程
（一）直线方程的求法
※例题解析※
〖例〗求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。

（二）用一般式方程判定直线的位置关系
※相关链接※
两条直线位置关系的判定
已知直线，，则
（1）

（2）
（3）

（4）
※例题解析※
〖例〗已知直线和直线，（1）试判断与是否平行；（2）⊥时，求的值。

（三）直线方程的应用
※相关链接※
利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。
另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。
注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。
（2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。
※例题解析※
〖例〗如图，过点P（2，1）作直线，分别为交x、y轴正半轴于A、B两点。
（1）当⊿AOB的面积最小时，求直线的方程；
（2）当｜PA｜·｜PB｜取最小值时，求直线的方程。
三、直线的交点坐标与距离公式
（一）有关距离问题
※相关链接※
1、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握。
2、点到几种特殊直线的距离
（1）点到x轴的距离。
（2）点到y轴的距离.
（3）点到与x轴平行的直线y=a的距离。
（4）点到与y轴平行的直线x=b的距离.
注：点到直线的距离公式当A=0或B=0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离。
※例题解析※
〖例〗已知点P（2，-1）。
（1）求过P点且与原点距离为2的直线的方程；
（2）求过P点且与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

（二）有关对称问题
常见的对称问题：
（1）中心对称
①若点及关于对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。
（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点关于直线：Ax+By+C=0对称，则线段的中点在对称轴上，而且连接的直线垂直于对称轴上，由方程组

可得到点关于对称的点的坐标（其中）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
※例题解析※
〖例〗求直线关于直线对称的直线的方程。

（三）解析法（坐标法）应用
〖例〗（12）如图，已知P是等腰三角形ABC的底边BC上一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析法证明|PM|+|PN|为定值。

【感悟高考真题】
1．（2011·北京高考文科·T8）已知点，.若点C在函数的图象上，则使得的面积为2的点C的个数为（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
2．（2011·安徽高考理科·Ｔ15）在平面直角坐标系中，如果与y都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点
③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
3．（2011·安徽高考理科·Ｔ17）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△，△，△，△都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线∥；
（Ⅱ）求棱锥—的体积.

4．（2011·安徽高考文科·Ｔ17）设直线
（I）证明与相交；
（II）证明与的交点在椭圆
直线与方程复习大全
一、 直线与方程：
1. 直线的倾斜角 x轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是[0°,180°).
2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k表示. 即. 当＝0°时，k＝0；当∈(0°, 90°)时，k＞0；当∈(90°, 180°)时，k＜0；当＝90°时，k不存在.
②经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线的斜率公式：
（1）.若直线过点（１，２），（４，２＋），则此直线的倾斜角是――――――（　　　　）
Ａ　３０°　　Ｂ　４５°　　Ｃ　　６０°　　Ｄ　　９０°
（2）．直线的倾斜角和斜率分别是（ ）
A B C ，不存在 D ，不存在
（3）. 如图1，直线，，的斜率分别为k1、k2、k3，
则必有（ ） A. k1<k3<k2 B. k3<k1<k2
C. k1<k2<k3 D. k3<k2<k1
3、 直线的方程
a. 点斜式：直线斜率为k，且过点(x1, y1).
注意：当直线的倾斜角为0°时直线的斜率k＝0，直线的方程是y＝y1；
当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是x＝x1；
b. 斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b（b∈R）
c. 两点式：（）直线经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)
d. 截矩式： 直线l过点和点, 即l在x轴、y轴上的截距分别为（a≠0且b≠0）
注意：直线l在坐标轴上的截距相等时，斜率为－1或经过原点；
直线l在坐标轴上的截距互为相反数时，斜率为1或经过原点；
e. 一般式：Ax＋By＋C＝0（A , B不全为0）
注意： ①平行于x轴的直线：y＝b（b为常数）, 直线的斜率为0；
②平行于y轴的直线：x＝a（a为常数）, 直线的斜率不存在；
③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数
1．把直线l的一般式方程2x-y+6=0化成斜截式方程是 .
2．直线l:在x轴上的截距是 .
3．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .
4．线过原点且倾角的正弦值是，则直线方程为 .
5．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（ ）
A. B. C. D.－2，－3
6.mx＋ny＝1（mn≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为 .
7．已知，则直线通过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
8 设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）
A B C D
9已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（ ）
（A）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0
10．已知直线过点，
（1）若的倾斜角是直线倾斜角的，求直线的方程；
（2）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（3）若与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线的方程。
11 过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为
12 经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程
13．一条光线从点P（6,4）射出，与x轴相交于点Q（2,0），经x轴反射，求入射光线和反射光线的方程。
14.已知A（2，－3），B（-3，－2），直线l过P（1,1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是－――――――――――――――――――――――――――――――（　　　　）
（A）k≥3/4或k≤-4 (B)-4≤k≤3/4 (C) –3/4≤k≤4 (D)以上都不对
4、 两条直线的平行与垂直
设直线l1：，直线l2：.
则 ① ； ②
注意：利用斜率判断直线的平行或垂直时，要注意斜率的存在与否.
1. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= ――――――――（　　　　）
A、 -3 B、-6 C、 D、
2. 直线的位置关系是
（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定
3．直线l: 2x－y＋C=0与直线m: 4x－2y＋C=0的位置关系是 .
4．直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0 没有公共点，求实数m的值.
5．直线和直线垂直，求的值.
6．若，又三点A(，0)，B（0，），C（1，3）共线，求的值.
7. 已知点A（1,2），B（3,4），C（5,6），D（7,8），则直线AB与CD直线的位置关系是（　　　　）
（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 　　　（D）重合
8. 已知点A（7,－4），B（－5,6），求线段AB的垂直平分线的方程。
9．原点Ｏ在直线l上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线l的方程为 .
10．已知直线与直线3x+4－7=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线的方程为________________
11. 点Ｍ（４，m）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（　　　）
Ａ　m＝－３，n＝１０　Ｂ　m＝３，n＝１０ Ｃ　m＝－３，n＝５　Ｄ　m＝３，n＝５
12．点（-1，2）关于直线y = x -1的对称点的坐标是
（A）（3，2） （B）（-3，-2） （C）（-3，2） （D）（3，-2）
13．与直线l：3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为
（A）3x＋4y－5＝0（B）3x＋4y＋5＝0（C）－3x＋4y－5＝0（D）－3x＋4y＋5＝0
14．与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）
A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0
5 两条直线的交点
1. 若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 ，与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交
则交点坐标为方程组的一组解. 方程组无解 ；方程组有无数解l1与l2重合
6. 过定点的直线系
①斜率为k且过定点(x0 , y0)的直线系方程为y－y0＝k (x－x0)；
②过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 ，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为
(A1x＋B1y＋C1)＋( A2x＋B2y＋C2)＝0（为参数），其中直线l2不在直线系中.
1. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 ――――――――――（　　　　）
A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）
2．直线当变动时，所有直线都通过定点（ ）
（A）（0，0） （B）（0，1） （C）（3，1） （D）（2，1）
3．若，则直线必经过一个定点是（ ）.
A． B． C． D．
7．平面上两点间的距离
设A(x1 , y1) , B(x2 , y2)是平面直角坐标系中的两点，则
若线段AB的中点为M(x0 ,y0) , 则
1.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,
则Ｌ的方程是（　）Ａ　x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0
2.已知点和则过点且与A,B的距离相等的直线方程为 .
3．已知直线和点A（-1，2）、B（0，3），试在上找一点P，使得的值最小，并求出这个最小值。
4. 已知点，，点在直线上，求取得最小值时点的坐标。
5. 求函数的最小值。
8 点到直线的距离
1. 点到直线距离公式：点P(x0 , y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
2. 两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 ，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离
1.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）A 2 B C 1 D
2．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .
3 与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________
4．已知直线l方程为y=kx+k+1，则当点P（2，－1）与直线l的距离最远时，直线l的斜率为 .
5．若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;
②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是的直线的方程.
7．已知直线被两平行直线所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线的方程.
【考点模拟演练】
一、选择题
1．倾斜角为45°，在轴上的截距为的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．倾斜角为45°，在轴上的截距为的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．过原点和在复平面内对应点的直线的倾斜角为（   ）
   A．                         B．                     C．                     D．
4．已知过点和的直线与直线平行，则的值为（　 　）
A. B. C. D.
5．在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(3，1)到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为 (   )
   A．3          B．2           C．4         D．1
6．设分别是中所对边的边长,则直线与的位置关系是(   )
A．平行         B．垂直        C．重合        D．相交但不垂直
7．点P(2,3)到直线：ax+(a－1)y+3=0的距离d为最大时，d与a的值依次为          （    ）
A．3,-3          B．5,1             C．5,2            D．7,1
8．已知，则直线通过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
9．若方程表示一条直线，则实数满足（ ）
A. B.
C. D. ，，
10．若点到直线的距离为4，且点在不等式表示的平面区域内，则实数的值为（ ）
     A.7             B.－7 C.3             D.－3
11．已知点到直线的距离相等，则实数的值等于（   ）
A．                B．              C．        D．
12．过点的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，且，则直线l的方程为（ ）
A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0
二、填空题
13．已知A、B、C三点的坐标分别是(0,-2)、(0,0)、(3,1),若点M满足,点N满足，点P满足，则P点的轨迹方程是 .
14．若直线与垂直，则的值是 ．
15．函数图像上的点到直线距离的最小值是 _
16．直线为参数）上与点的距离等于的点的坐标是   
三、解答题
17．已知直线，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设为直线上一点，

18．（本小题满分14分）
已知函数的定义域为，且. 设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．
（1）求的值；（2分）
（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（5分）
（3）设为原点，求四边形面积最小值（7分）

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