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复变函数的孤立奇点及其应用
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2011年4月7日

复变函数的孤立奇点及其应用

摘要
孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用。而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题，本文主要探讨了孤立奇点在留数计算中的应用。函数在不同的孤立奇点的不同类型处，其计算的方法也不同，所以首先我们要对其做出判断。再根据孤立奇点类型的不同对应不同的留数求法，分别从可去奇点，本质奇点处留数的求法，极点处留数的求法，无穷远点的留数的求法，其中在本文中因为考虑极点处的留数求法又根据：单极点、二阶极点、 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。另外，还采用了变量替换的方法，增加了一个计算留数的公式。

关键字：孤立奇点；可去奇点；极点；本质奇点；留数；
Isolated singularities and its application
Abstract
Isolated singular point in the application of complex function of teaching and learning plays an important role. The residue of the calculation is complex function often encounter problems, the paper focused on a singular point in isolation remain in the calculation of the number of applications. Different functions in the isolation of the different types of singular point, the calculation methods are also different, so first of all we have to make their judgement. According to isolate different types of singular point to different stay for a few, were to go from the singular point is, in essence, to stay a few critical points for the law, the number of Poles seeking to stay the law, infinite number of points to stay for the law, which in this paper In view of the Poles to stay for a few in accordance with law: a unipolar point, second-order pole, the pole-order solution different, with examples given pole order of the judgement means. In addition, the variables used to replace the method, an increase of a formula for calculating the number of stay.
Key words: isolated singular point; singular point to go; pole; nature of singularity and reservations

目 录

摘 要…………………………………………………………………………………Ⅱ

Abstract…………………………………………………………………………Ⅱ

孤立奇点的定义---------------------------------------------------------------------------3

孤立奇点的判别方法-----------------------------------------------------------------------4

孤立奇点的应用-----------------------------------------------------------------------------6

参考文献--------------------------------------------------------------------------------------10

第一章 孤立奇点的定义
假设X是一个代数簇，P∈X是X上的一个奇点，如果存在一个包含P的开邻域（又称开集)U，使得U中不在包含其他的奇点， 那么就称P是孤立奇点。

f（z）在 0＜｜z－a｜ ≤R上解析，即a是f（z）的孤立奇点

留数定理及其应用
，则称积分值（1／2πi）∫｜z－a｜＝Rf（z）dz为f（z）关于a点的留数 ，记作Res[f（z），a] 。如果f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分∫｜z－a｜＝Rf（z）dz表示旋源的强度——环流量，所以留数是环流量除以2πi的值。由于解析函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）＝∑ak（z－a）k ，将它沿｜z－a｜＝R逐项积分，立即可见Res[f(z)，a]＝a-1 ，这表明留数是解析函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。

函数不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析, 则z0称为f(z)的孤立奇点.

如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点

如果在洛朗级数中含有无穷多个z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.

不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)¹0, m为某一正整数, 则z0称为f(z)的m级零点.

留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 设是解析函数的孤立奇点，我们把在处的洛朗展开式中负一次幂项的系数称为在处的留数.记作，即=.显然，留数就是积分的值，其中C为解析函数的的去心邻域内绕的闭曲线.

第二章 孤立奇点的判别方法
设函数在区域D内除有限个孤立奇点
外处处解析，C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么.
一般来说，求函数在其孤立奇点处的留数只须求出它在以为中心的圆环域内的洛朗级数中项系数就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利.例如，如果是的可去奇点，那么.如果是本性奇点，那就往往只能用把在展开成洛朗级数的方法来求.若是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数.
（1） 函数在极点的留数
法则1：如果为的简单极点，则
（5.4）
法则2：设，其中在处解析，如果，为的一阶零点，则为的一阶极点，且
. （5.5）
法则3：如果为的m阶极点，则
. （5.6）
（2） 无穷远点的留数
定义5.5 设为的一个孤立奇点，即在圆环域内解
析，则称
（）
为在点的留数，记为，这里是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.
如果在的洛朗展开式为，则有.
这里，我们要注意，即使是的可去奇点，在的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方.
定理5.8 如果在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为，则在各点的留数总和为零.
关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.
法则4：.

第三章 孤立奇点的应用

例1 指出下列函数在零点z=0的级：
（1） （2）.
解（1）用求导数验证：记，不难计算

即
故为函数的四阶零点.
由泰勒展式：由展开式

可知
其中内解析，.
故为函数的四阶零点.
（2）由展开式

可知

其中
在内解析，.故是函数的15阶零点.

例2 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的.即若不恒为零的函数在内解析，，则必有a的一个领域，使得在其中无异于a的零点（解析函数零点的孤立性）.
分析 由于解析函数不恒为零且，所以利用在点a的泰勒展开式可知，总存在自然数，使，（否则独所有m，，由泰勒定理矛盾）.于是可设a为的m阶零点，然后由零点的特征来讨论.
证 （不妨设）a为的m阶零点，其中内解析，.
因在a 处解析，则有，可取，存在着，当时，，由三角不等式

便知当时

即有，故在a的邻域内使.
例3 确定函数的孤立奇点的类型.
解 因为
，
所以 是分母的六阶零点，从而是函数的六阶极点.
例4 判别函数的有限奇点的类型.
解 因为在没有定义，更不解析，所以是的奇点，在内，展开为洛朗级数：

   ，
有无穷多负幂项，故是的本性奇点.
例5 考察函数在点的特性.
解 因为是分母的零点，所以这些点是的极点..从而知是这些极点的极限点，不是孤立奇点.
例6 求出函数的全部奇点，并确定其类型.
解 分母有四个一阶零点，它们不是分子的零点，因
此是函数的一阶极点.
又，所以是的可去奇点.

例7 求出函数的全部奇点，并确定其类型.
解 容易求得是的一阶极点，这是因为.当，而

，
所以，是函数的可去奇点，是的一阶极点.
又是极点当时的极限点，不是孤立奇点.
例8求所有孤立奇点处的留数：
解：函数有孤立奇点0和，而且易知在内有洛朗展开式

这既可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式.所以
.
参考文献：

[1]高等教育出版社《高等代数》

[2]对外经济贸易大学出版社《考研数学基础训练经典题集》

[3]实变函数与泛函分析基础（第3版） 程其襄

[4]复变函数论(第三版)全程导学及习题全解 王玉玉