第二章：随机变量及其分布.doc

思考题：
1． 有种不同类型的票券,每次只能得到一张,这些票券是相互独立的,以概率有第类型,.设表示得到每种类型至少一张所需的数.计算.
提示：用例1e类似的方法求解.
2． 运用概率的连续性质计算.
3． 试用的分布函数表示.
4． 若有分布函数,问的分布函数是什么？
5． 若有分布函数,问随机变量的分布函数是什么？其中与是常数,.
6． 对任一非负随机变量,证明

提示： 交换和的次序即得.
7． 对任一非负随机变量,证明

提示：交换和的次序即得.
8． 设满足

当时,计算.
9． 随机变量,数学期望为,方差为.计算

的数学期望与方差.
10． 设是以为参数的二项随机变量,证明

11． 考虑个独立的连续试验,成功的概率为,如果有次成功,试证明次成功次失败共有种可能排列.
12． 某线性系统共有个元件,每个元件以概率独立运行,试问个相邻元件都不运行的概率是多少？
提示：以有缺陷的元件数为条件,用第一章例4c的结论来解.
13． 设是以为参数的二项随机变量,怎样的值能使,,取到最大？这是一个当以为参数的随机变量的观测值为时,利用统计方法去估计的例子.如果假定是已知的,我们选取使达到极大值的作为的估计值.这种方法称为极大似然估计.
14． 一个家庭有个子女的概率为,其中,试问
（a） 没有孩子的家庭占多大比例？
（b） 如果每个孩子为男孩或女孩是等可能的（且相互独立）,那么有个男孩（不管有几个女孩）的家庭占多大比例？
15． 一硬币抛出正面的概率为,先将它独立地抛次.试证出现偶数个正面的概率为,其中,可先证明等式

其中是不大于的最大整数,然后利用此等式来证明结论.试将这个习题与第三章理论习题17作一比较.
16． 设是参数为的泊松随机变量,试证当增大时,先是单调递增、然后单调递减,并当等于不超过的最大整数时取到最大值.
提示：考虑.
17． 设是参数为的泊松随机变量.
（a） 证明

利用理论习题15和泊松与二项随机变量的关系来证明.
（b） 运用的展开式直接验证上述结论.
18． 设是参数为的泊松随机变量,试问对任意固定的,取何值使达到最大值.
19． 设是参数为的泊松随机变量,试证

利用此结论计算.
20． 考虑枚硬币,每次独立地出现正面的概率为.若很大, 很小,令.假定抛枚硬币,至少出现次正面试验结束,若没有,则继续试验.也就是说, 枚硬币至少一枚出现正面第一次试验停止.设表示正面出现的次数.下列求的哪一个是正确的.
（a） 抛枚硬币出现正面的总数近似为参数为的泊松随机变量，

（b） 抛枚硬币出现正面的总数近似为参数为的泊松随机变量，只有此总数是正的我们才停止试验,

（c） 至少一枚硬币出现正面, 若其余枚硬币再没有一枚出现正面则.因为 枚硬币出现正面的次数近似为参数为的泊松随机变量.

21． 令表示第人与第人生日相同的概率的事件. 假定随机选出的个人,每个人都可能在一年中的中任何一天过生日,试求
（a）；（b）；（c）
22． 箱中有个球,其中个编号为,个编号为,个编号为.现无放回地每次连续取出个球.设表示一次取出的个球编号相同.（每次没有取出编号相同的球,则等于无穷大）.对,试证

为证明此结论,令表示前次取出编号相同的球的次数,.
（a） 讨论很大时, 可看作是（近似）次独立试验成功的次数.
（b） 若很大时,试求.
（c） 给出 ,试验证极限概率.
23． 假定某时期事件发生的次数是参数为的泊松随机变量.如果每一个发生了的事件被计数的概率为,而且事件是否被计数是相互独立的,试证被计数的事件个数是参数为的泊松随机变量.并且给出这一结果的直观解释.
作为上述结果的一个应用,假定某个给定区域内铀矿的个数是参数为的泊松随机变量,在某固定时期,独立地找到每一个矿的概率为,试求在这段时间内下列事件发生的概率（a）正好找到一个矿,（b）至少找到一个矿（c）至多找到一个矿.
24． 试证

提示：运用分部积分法.
25． 设为几何随机变量,试用分析方法证明

并利用几何随机变量的含义对上式为什么成立给出一个口头说明.
26． 设是参数为的负二项随机变量,是参数为的二项随机变量,试证

提示：可用分析方法证明,上述结论等价于

也可利用随机变量的概率解释来证.也就是说,后一种情形是考虑一列独立试验成功的概率为的事件,运用这些事件的结果表示与.
27． 对一个超几何随机变量,试求

28． 编号为至的球放在一个箱中,假定从中无放回地随机取出个,,以表示被取出的球的最大编号.
（a） 求的概率质量函数.
（b） 导出的表达式,并利用费马组合恒等式（第一章理论习题11）验证.
29． 坛中有编号为的木块.先从中取出块,在被取出的木块中,以表示其编号比所有未取出的木块编号都大的木块个数 ,试求的概率质量函数.
30． 坛中有块木块,假定某人从坛中不断地取出一个木块, 每次取出一个后放回,再取下一个.这样连续进行直到他取出先前已被取出过的一个木块为止.以表示他取木块的次数,试求的概率质量函数.
31． 利用（8.5）式证明（8.6）.
32．

试证当很大时,

33． 箱中最初有一个红球一个蓝球,随机取出一球,然后再放入一个颜色相同的球.设表示第一次取出蓝球的次数.例如,如果第一次取出红球,第二次取出蓝球,则.
（a） 计算.
（b） 试证蓝球以概率最终将会被取出.（即证明.）
（c） 计算.
自测题
1． 假定随机变量表示某垒球运动员接下来三次击球击中的次数,若,
,且,试求.
2． 假定取值.对某个常数,,,试求.
3． 抛一枚硬币直到出现正面或背面两次停止,出现正面的概率为,试求抛硬币的期望值.
4． 某社团由个家庭组成,其中第个家庭有个孩子,.若随机选出一个家庭, 表示选中那个家庭的孩子数.若从个孩子中随机选出一个孩子, 表示选中那个孩子所在的家庭的孩子数.试证.
5． 假定,若,试求.
6． 盒中有甲、乙两枚硬币.其中甲硬币出现正面的概率为,乙硬币出现正面的概率为.随机选出一枚硬币,不知道选出的是哪一枚硬币.若出现正面你就可以赢元,反之输元.假定某知情人会卖给你（价值）一些信息,这信息是你选出的是哪一枚硬币,若你买了此信息则你的期望收益是多少？若你买了此信息,赌注为元,最后你可能得到或元（也就是说,后者表示输了）,并问取多大值,值得买此信息？
7． 某慈善家在红纸上写了正数,并交给公证人,反过来放到桌上.公证人抛一枚均匀的硬币,若出现正面,他在蓝纸上写下,若出现背面,则写下,反过来放在桌上.事先不知道值或硬币出现的结果.你有权力选择红纸或蓝纸,选好以后,观察纸上的数目,你可能获得奖金,可能是这张纸上的数目,也可能是另一张纸上的数目.例如,如果你选出蓝纸,纸上的数目是元,则你可能得到元,或者会得到红纸上的数目（或元）.假定你得到的奖金很大.
（a） 试想若你先选择红纸,则不管观察到什么数,总是得到蓝纸上的数.
（b） 若是一个非负数,考虑下述策略.选择蓝纸,若这个值至少是,则它会得到这个数.若小于,则会得到红纸的数目.设表示慈善家写下的值,采用这个策略,得到的奖金值.试求.试用表示慈善家写下的值,采用这个策略,总是得到蓝纸上的数值.
8． 表示参数为的随机变量,试证

提示：成功的次数小于等于等价于失败次数的什么表示.
9． 设是期望为,方差为的二项随机变量,试求.
10． 编号为到的球放在一个箱中,无放回地随机依次取出个球,试求, .其中表示被取出球的最大编号.
提示：先求.
11． 甲、乙两个队进行一系列比赛,先胜场的队获胜,假定每场甲队获胜的概率为,且各场比赛结果是相互独立的.试求下列概率
（a） 已知甲队第场获胜,求最后获胜的条件概率；
（b） 已知甲队获胜,求第场获胜的条件概率.
12． 当地一个足球队可能会进行场比赛.如果这个周末比赛赢了,则会参加联赛高级赛的最后场比赛.相反如果输了,则会参加低级赛的最后场比赛.在高级赛中,每场赢的概率为,在低级赛每场赢的概率为.这周末这场比赛赢的概率为,在最后场比赛赢得场的概率是多少？
13． 一般地,某地区在一年内会有次狂风,试问在这一年内有次或更少的狂风的概率是多少？
14． 下鸡蛋数是参数为的泊松随机变量,其中鸡蛋下在树叶上,树叶上有一种某类型的昆虫,只有这个变量是正数才能观察到,如果这个变量等于,说明昆虫不在树叶上.若表示观察到的鸡蛋数,则

其中是参数为的泊松随机变量,试求.
15． 某转盘赌博一直继续到他赢了次赌博为止,此时他赢元.
（a） 他玩次的概率是多少？
（b） 若他赢了,其期望收益是多少？
提示：每次他以概率赢元,以概率输元
16． 三人去喝咖啡,他们通过抛硬币来决定谁来买单, 如果某个人得到了与其余两人不同的结果,则他就是“奇数人”来买单.如果没出现“奇数人”,就继续抛一轮,直到出现“奇数人”为止.试求下列概率
（a） 恰好轮；
（b） 多于轮？
17． 若是参数为的几何随机变量，试证：

提示：可先求的表达式，为求这个表达式，可写成，交换和的次序并用分部积分即得.
18．假定若

（a）试证是贝努里随机变量.
（b）试求.
19．每局比赛赢的概率为,如果你计划玩局,但是若你第局赢了则得继续玩直到你有局输为止.
（a）试求你玩的期望局数。
（b）试求你输的期望局数。
20．箱中最初有个白球个黑球,每次无放回地取出球,试求在个黑球之前取出个白球的概率,.

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