第六章最大似然估计.doc

第六章  数理统计的基本概念
一、基本教学要求与主要内容
(一)教学要求
    1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。
    2．了解 分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。
    3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。
    4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。
    本章重点：统计量的概念及其分布。

(二)主要内容
    1．总体、个体
    我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。当 X服从正态分布时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型：
    (1)未知，但已知；
    (2)未知，但已知；
    (3)和均未知。
    2．简单随机样本
    数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为，n维随机向量()称为样本。n称为样本容量。 (）称为样本观测值。
  如果样本()满足
  （1）相互独立；
   (2) 服从相同的分布，即总体分布；
  则称()为简单随机样本。简称样本。
  设总体X的概率函数(密度函数)为，则样本（ )的联合概率函数(联合密度函数为)

3. 统计量  完全由样本确定的量，是样本的函数。
即：设是来自总体X的一个样本，是一个n元函数，如果中不含任何总体的未知参数，则称为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值，则称为统计量观测值或统计量值。
4. 常用统计量
（1）样本均值：
（2）样本方差：
（3）样本标准差：
它们的观察值分别为：

这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。
（4）样本中位数：                             当n为奇数
med=
         当n为偶数
其中：是数据由小到大的重排。
（5）样本的极差：
（6）样本的四分位间距：
其中分别为数据的上、下四分位数。
样本相关系数：
5. 三个重要分布
（1）分布
设为独立标准正态变量，称随机变量的分布为自由度为n的分布，记为。
称满足：的点为分布的分位点。
（2）t分布
设随机变量X与Y独立，，则称

的分布为自由度n的t分布，记为。
称满足：的点为t分布的分位点。
（3）F分布
设随机变量U与V相互独立，，则称

的分布为自由度的F分布，记为。
称满足：的点为F分布的分位点，且有

6. 正态总体的抽样分布
统计量的分布称为抽样分布，设是来自正态总体的一个简单随机样本，与分别为样本的均值和样本方差，则有
（1）；
（2）与相互独立；
（3）。

学习要点
统计学的核心问题是由样本推断总体，因此理解统计量的概念非常重要。它是样本的函数，统计量的选择和运用在统计推断中占据核心地位。样本均值、样本方差以及其他样本矩都是一些常用的统计量，必须熟悉它们的计算方法及其有关性质。统计量的分布称为抽样分布，其中分布、t分布、F分布即是本章的重点，必须熟悉它们的定义、性质及其上分位点的查表方法；正态总体抽样分布是统计学中最重要的一个理论结果，必须弄清它的条件及结论，并能运用判断一些常用统计量的分布。

习题解答
    1. 设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。
    解 

    2. 设是来自上的均匀分布的样本，未知
（1）写出样本的联合密度函数；
（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？

（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。
    解
（1）             
                        0            其他
（2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。
（3）样本均值
样本方差

样本标准差。
    3. 查表求，，，。
解  ，，，。
    4. 设，求常数，使。
    解  由t分布关于纵轴对称，所以即为。
由附表5.6可查得，所以。
    5. 设是来自正态总体的样本，试证：
（1）；
（2）。
证明：
（1）独立同分布于，由分布的定义，，即。
（2）易见，，即，由分布的定义，，即。
  6. 设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。
（1）试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；
（2）试给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。
     解
（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从分布，即；自由度为2。
（2）由于，则。
又，与相互独立，则

即            
即，自由度为3。
    7. 设是取自总体的一个样本，在下列三种情况下，分别求：（1）；（2）；（3），其中。
    解  
（1）

（2）

（3），其中

    8. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：
（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；
（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。
    解
（1）引入新变量：
   1，第个样本居民年收入超过1万
       0，第个样本居民年收入没超过1万
其中
易见：
又因，故可以近似看成有放回抽样，相互独立。

样本中年收入超过1万的比例即为，由于较大，可以使用渐近分布求解，即，所求概率即为

（2）同（1）解法
引入新变量：
   1，第个样本居民受过高等教育
       0，第个样本居民未受过高等教育
其中

答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918；
（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。

课外练习
    1 设总体，（1）抽取容量为36的样本，求；（2）抽取容量为64的样本，求；（3）取样本容量n多大时，才能使。
    2设总体，皆未知，已知样本容量，样本均值，修正样本方差，求。
    3 设是来自正态总体，容量为的样本，求下列统计量的抽样分布：
（1）；
（2）；
（3）。
    4 若，则服从什么分布？
    5设是来自泊松分布的一个样本，与分别为样本均值与样本方差，试求。
    6 某区有25000户家庭，10%的家庭没有汽车，今有1600户家庭的随机样本，试求：9%~11%之间的样本家庭没有汽车的概率。

   答案和提示
    9.1  0.9916，0.8904，96。
    9.2  0.5。
    9.3  (1)；（2）；（3）。
    9.4  。
    9.5  ，，。
    9.6  0.8164。

                  第七章  参数估计
一、教学基本要求与主要内容
(一)教学基本要求
  1．理解点估计的概念。
  2．掌握矩估计法(一阶、二阶)和极大似然估计法。
  3．了解估计量的评选标准(无偏性、有效性、一致性)。
  4．理解区间估计的概念。
  5．会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。
  6．会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
  本章重点：未知参数的矩估计，极大似然估计及正态总体未知参数的区间估计。
(二)主要内容
    1. 点估计方法
设是来自总体X的样本，是总体的未知参数，若用一个统计量来估计，则称为参数的估计量，在抽样后，称为参数的估计值。这种估计称为点估计。
矩估计和最大似然估计是两种常用的点估计法。
（1）矩估计法
用样本的各阶原点矩去估计对应的各阶总体的原点矩，这就是矩估计的基本方法。
记样本的阶原点矩为：；记总体的阶原点矩为：，则。
若总体的未知参数，其中为个多元的已知函数，则的矩估计量为。
其中用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差最为常用。
（2）最大似然估计法
设总体X的密度函数（其中为未知参数），已知为总体X的样本的观察值，则求的最大似然估计值的步骤如下：
①    写出似然函数

②    称满足关系式

的解为的最大似然估计值，而为的最大似然估计量。
如果是的可微函数，则将似然函数取对数

建立并求似然方程组

一般来说，最大似然估计值可以由解对数似然方程得到。当似然函数不可微时，可以直接寻求使得达到最大的解来求得最大似然估计值。
如果总体X为离散型，其分布律为
，
则似然函数为

计算方法同连续型一致。
2. 点估计的优良性评判准则
（1）无偏性
设是的一个估计量，若
，对每一成立
则称是的一个无偏估计。
（2）有效性
设是的两个无偏估计，如对每一，有且至少对某个使之成立严格不等式，则称比有效。
称在所有的无偏估计中，方差最小的那一个为一致最小方差无偏估计。
（3）相合性
对，则称估计量具有相合性。
3. 区间估计
（1）定义
设是来自总体的样本，未知，对于，若统计量，使得
，
则称为的双侧置信区间，为置信水平，一旦样本有观察值，则称相应的为置信区间的观察值。
若有统计量，使得

则称为的单侧置信区间，为的单侧置信上限。
若有统计量，使得

则称为的单侧置信区间，为的单侧置信上限。
（2）求置信区间的一般步骤
（i）先求出的一个点估计（通常为最大似然估计）；
（ii）构造和的一个枢轴函数
，
其中除包含未知参数以外，不再有其他的未知参数，且的分布完全已知或完全可以确定的。
（iii）确定，使得：

当的分布为连续型时，只须考虑等号的情形；
（iv）将等价变形为，其中和仅是样本函数，则就是的置信区间。
2. 单正态总体下的置信区间
设是取自正态总体的一个样本，置信水平为，样本均值，样本方差，修正样本方差。
（1）均值的置信区间
     若已知，取，故的双侧置信区间为：

     若未知，取，故的双侧置信区间为：

（2）方差的置信区间
     若已知，取，故的双侧置信区间为：

     若未知，取，故的双侧置信区间为：

3. 二正态总体下均值差的置信区间
设是取自正态总体的一个样本，是取自正态总体的一个样本，且与相互独立，置信水平为，记
（1）若已知时，取，故的双侧置信区间为

（2）若未知，取，故的双侧置信区间为

学习要点
本章的要点是理解参数点估计的概念，掌握参数点估计的三个评判标准，会能实际应用。特别是要掌握矩估计法和最大似然估计法这二种点估计的常用方法，并能熟练地运用这二种点估计的常用方法去求参数的估计量.本章的另一要点是理解参数区间估计的概念和置信水平、置信区间的概念及其意义，熟悉对单正态总体的均值与方差和两正态总体的均值差进行区间估计的方法及步骤，并能熟练地运用以上方法求各种置信区间。

习题解答
1. 设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：
（1），其中未知，；
（2），其中未知，。
解 （1），故的矩估计量有。
另，X的分布律为，
故似然函数为

对数似然函数为：

令       
解得的最大似然估计量。
可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。
（2），令，故的矩估计量。
另，X的密度函数为

故似然函数为

对数似然函数为

解得的最大似然估计量。
可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。
2. 设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值
X
0
1
2
3
4
频数
17
20
10
2
1
求的矩估计值与最大似然估计值。
解  ，故的矩估计量。
由样本观测值可算得

另，X的分布律为

故似然函数为

对数似然函数为

解得的最大似然估计量，
故的最大似然估计值。
3. 设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。
解  ，令，故的矩估计量。
4. 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

其中未知，求的矩估计。
解  ，令，故的矩估计量为。
5. 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

其中未知，求的矩估计和最大似然估计。
解  ，令，故的矩估计量为，另，似然函数

对数似然函数为

解得的最大似然估计量为。
6. 设是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为的几何分布，即，其中未知，，求的最大似然估计。
解  似然函数  
对数似然函数

解得的最大似然估计量为。
7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。
解  根据习题1的结果，的矩估计和最大似然估计量都为，故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为，即为。
由样本观测值可算得。
8. 设总体X的密度函数为，其中未知，设是取自这个总体的一个样本，试求的最大似然估计。
解  似然函数  ，
对数似然函数为

得的最大似然估计量为。
9. 在第3题中的矩估计是否是的无偏估计？
解 
故的矩估计量是的无偏估计。
10. 试证第8题中的最大似然估计是的无偏估计。
证明：

故的最大似然估计是的无偏估计。
11. 设为总体的样本，证明

都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。
证明 

所以都是总体均值的无偏估计。
又

可见，所以二个估计量中更有效。
12. 设是取自总体的一个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。
证明  易见
又  ，
由公式（9），，
故         。
由切比雪夫不等式，当，对任给，

即是的相合估计。
13. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。
解 由于已知，所以选用的置信区间。
当，查表得，当，查表得。
代入数据得的双侧0.9置信区间观测值为，即为。
的双侧0.99置信区间观测值为，即为。
14. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和方差的双侧0.9置信区间。
解  由于和都未知，故的双侧置信区间为
，
的双侧置信区间为
，
代入数据得
，
的0.95双侧置信区间观测值为，即为。
的0.9双侧置信区间观测值为，即为。
15. 随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的，设子弹速度服从正态分布，求这种子弹速度的标准差和方差的双侧0.95置信区间。
解  由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，
的0.95双侧置信区间观测值为，即为。故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。
16. 已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布，且标准差。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求未知参数的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。
解  由于已知，故的单侧置信下限为，的单侧置信上限为，代入数据得，故的0.95单侧置信下限观测值为，的0.95单侧置信上限观测值为。
17. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布，现抽查了25天，得元，元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间。
解  由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。
18. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量，已知其总体标准差；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量，已知其总体标准差，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差的双侧0.99置信区间。
解  由于已知，故的的双侧置信区间为

代入数据得，故的0.99双侧置信区间观测值为，即为。
19. 为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y，随机的抽取甲、乙两种显像管各10只，得数据和（单位：），且由此算得，，假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差的双侧0.95置信区间。
解  由于未知，故的双侧置信区间为

其中，
代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为
,
即为。
20. 在3091个男生，3581个女生组成的总体中，随机不放回地抽取100人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的SE。
解  由于样本大小相对于总体容量来说很小，因此可使用有放回抽样的公式。
样本成数，估计，标准差SE的估计为。
21. 抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数，样本中有543人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；（2）求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。
解  ，
故，
所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为。

课外练习
    1 设是取自正态总体的样本，求的矩估计量。
    2 设与分别是来自与的两个独立样本，试求的极大似然估计。
    3 设X服从均匀分布，是取自该总体的样本，试证：，都是的无偏估计。
    4设是来自总体X的样本，X的密度函数为

其中未知，
（1）    求的最大似然估计，是的无偏估计吗？
（2）    证明：的矩估计量是的无偏估计。
    5 设是参数的二个相互独立的无偏估计量，且，找到常数使也是的无偏估计量，并且使它在所有这种形式的无偏估计量中方差最小。
    6 设总体X服从区间上的均匀分布，未知，证明的矩估计是的相合估计。
7 某化纤强力长期以来标准差稳定在，现抽取了一个容量的样本，求得样本均值，试求该化纤强力均值的置信水平为0.95的置信区间。
8 某银行要测定在业务柜台上处理每笔业务所花费的时间，假设处理每笔业务所需时间服从正态分布，现随机地抽取16笔业务，测得所需时间为（min）。由此算出min，min，求处理每笔业务平均所需时间的双侧0.95置信区间。
9 设某自动车床加工的零件尺寸与规定尺寸的偏差X服从，现从加工的一批零件中随机抽出10个，其偏差分别为：
        2   1  -2  3  2  4  -2  5  3  4 
试求的置信水平为0.9的双侧置信区间.
10 设从2个正态总体中分别抽取容量10和12的样本，算得，求的置信水平为0.95的置信区间。

答案和提示
.1  。
2  。
3  提示：的密度函数为          
的密度函数为         
4  不是。
5 。
    6  提示：。
7  。
8  。
9  。
    10  。

                          第八章  假设检验

一. 教学基本要求
   1．理解显著性检验的基本思想，了解假设检验可能产生的两类错误。知道两类错误概率，并在较简单的情况能计算两类错误概率，掌握假设检验的基本步骤。
  2．了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
  3．了解总体分布假设的拟合优度检验法。
  本章重点：正态总体的参数的假设检验。

二. 内容提要
1．假设检验的基本概念
假设检验是基于样本判定一个关于总体分布的理论假设是否成立的统计方法。方法的基本思想是当观察到的数据差异达到一定程度时，就会反映与总体理论假设的真实差异，从而拒绝理论假设。
原假设与备选假设是总体分布所处的两种状态的刻画，一般都是根据实际问题的需要以及相关的专业理论知识提出来的。通常，备选假设的设定反映了收集数据的目的。
检验统计量是统计检验的重要工具，其功能在用之于构造观察数据与期望数之间的差异程度。要求在原假设下分布是完全已知的或可以计算的。检验的名称是由使用什么统计量来命名的。
否定论证是假设检验的重要推理方法，其要旨在：先假定原假设成立，如果导致观察数据的表现与此假定矛盾，则否定原假设。通常使用的一个准则是小概率事件的实际推断原理。
2．两类错误概率。第一类错误概率即原假设成立，而错误地加以拒绝的概率；第二类错误概率即原假设不成立，而错误地接受它的概率。
3．显著水平检验。在收集数据之前假定一个准则，即文献上称之为拒绝域，一旦样本观察值落入拒绝域就拒绝原假设。若在原假设成立条件下，样本落入拒绝域的概率不超过事先设定的，则称该拒绝域所代表的检验为显著水平的检验，而称为显著水平。由定义可知，所谓显著水平检验就是控制第一类错误概率的检验。
4．单正态总体参数检验
我们以单正态总体均值检验为例，即假定总体。
(1) 列出问题，即明确原假设和备选假设。先设已知，检验

其中已知。
(2) 基于的估计，提出检验统计量

  满足如下要求：
(a) 在下，的分布完全已知，此处 ；
(b) 由可诱导出与背离的准则，此处当偏大时与背离。
(3) 对给定水平，构造水平检验的拒绝域

其中为标准正态分布的-分位点。
(4) 基于数据，算出的观察值，如则拒绝，否则只能接受.
因此检验使用统计量，称之为-检验。
当未知时，改检验统计量为

其中为修正样本标准差。相应的拒绝域为

为自由度的分布的-分位点。其他的检验步骤相同。
    5  两个正态总体参数的检验
   设是取自正态总体的样本，是取自正态总体的样本，且，相互独立。记
，                                。
（1）。
当已知时，拒绝域为
          ；
当未知，但时，拒绝域为

（2）。
当已知时，拒绝域为

其中  。
当未知时，拒绝域为

其中 。
6  值和值检验法
值是在原假设成立条件下检验统计量出现给定观察值或者比之更极端值的概率，直观上用以描述抽样结果与理论假设的吻合程度，因而也称值为拟合优度。例如在正态总体参数检验的情况，检验统计量为，观察值为，则值为 .
    值检验法的原则是当值小到一定程度时拒绝，通常约定：当称结果为显著；当，则称结果为高度显著。

学习要点
本章内容涉及概念及方法两大部分，要求理解和掌握假设检验的一些基本概念，如两类错误概率，否定论证原理，显著水平。弄清显著水平检验的确切含义，掌握单正态总体检验的基本方法。

习题解答
   1. 在一个假设检验问题中，当检验最终结果是接受时，可能犯什么错误？
在一个假设检验问题中，当检验最终结果是拒绝时，可能犯什么错误？
解  (1) 犯拒真的错误，即第一类错误；(2) 犯采伪的错误，或者说第二类错误。
2. 某厂生产的化纤纤度服从正态分布，测得25根纤维的纤度，其样本均值，试用值法检验总体均值是否为1.40.
解  原假设 ，统计量 ，观察值 ，所以值为

因此不能拒绝，即可以认为
3. 某印刷厂旧机器每周开工成本服从正态分布，现安装一台新机器，观测到九周的周开工成本的样本平均元，假定标准差不变，试用值法检验周开工平均成本是否为100的假设。
解  ， 统计量 ， 观察值 ，故值为：

故拒绝是高度显著，即
4. 设是取自的一个样本观察值，要检验假设：

试给出显著水平的检验的拒绝域.
解 
5. 某纤维的强力服从正态分布，原设计的平均强力为6g，现改进工艺后，某天测得100个强力数据，其样本平均为6.35g，总体标准差假定不变，试问改进工艺后，强力是否有显著提高（）？
解  设原假设， 备选假设 ， 统计量 ，临界值 ， 拒绝域为
今计算值为

因而拒绝，即认为改进工艺后强力有显著提高。
6. 监测站对某条河流的溶解氧(DO)浓度（单位：mg/l）记录了30个数据，并由此算得，，已知这条河流每日的DO浓度服从，试在显著水平下，检验假设 ，.
解  统计量 ， 拒绝域为

今  . 计算值为：

因而不能拒绝.
7. 从某厂生产的电子元件中随机地抽取了25个作寿命测试，得数据（单位：h）：，并由此算得，，已知这种电子元件的使用寿命服从，且出厂标准为h以上，试在显著水平下，检验该厂生产的电子元件是否符合出厂标准，即检验假设，.
解  首先
所以修正样本标准差的观察值 ，统计量的观察值为

临界值  因 ，不落入拒绝域，不能拒绝
8. 随机地从一批外径为1cm的钢珠中抽取10只，测试其屈服强度(单位:kg)，得数据，并由此算得 ，，在显著水平下分别检验：
(1)   ；.
(2)   .
解  (1) 拒绝域 ，其中. 的观察值为

所以拒绝.
(2) 拒绝域   ，
其中 ，
今的观察值为 ，因而不能拒绝.
9. 一卷烟厂向化验室送去两种烟草，化验尼古丁的含量是否相同，从中各随机抽取质量相同的五例进行化验，测得尼古丁的含量为：
：24，27，26，21，24
    ：27，28，23，31，26
假设尼古丁含量服从正态分布，且种的方差为5，种的方差为8，取显著水平，问两种烟草的尼古丁含量是否有差异？
解  设的含量为，的含量为，且，，检验假设， . 拒绝域为：

其中， .
今计算 ，，故

因而不能拒绝，即认为两种烟草的尼古丁含量没有差异。
10. 某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件，现从两种铸件中各抽一个样本进行硬度测试，其结果如下：
镍合金铸件（）：72.0，69.5，74.0，70.5，71.8
铜合金铸件（）：69.8，70.0，72.0，68.5，73.0，70.0
根据以往经验知硬度，，且，试在水平上比较镍合金铸件硬度有无显著提高。
解  假设 ，，检验统计量

拒绝域为

今，，，

因此不能拒绝，即不能认为镍合金铸件的硬度有提高。
11. 用两种不同方法冶炼的某种金属材料，分别取样测定某种杂质的含量，所得数据如下（单位为万分率）：
原方法（）：26.9，25.7，22.3，26.8，27.2，24.5，22.8，23.0，24.2，26.4，30.5，29.5，25.1
新方法（）：22.6，22.5，20.6，23.5，24.3，21.9，20.6，23.2，23.4
假设这两种方法冶炼时杂质含量均服从正态分布，且方差相同，问这两种方法冶炼时杂质的平均含量有无显著差异？取显著水平为0.05.
解  设，，检验假设为，，检验统计量为

拒绝域为 ，其中
今 ，，，，，，
所以

因此拒绝，即认为二种方法有显著差异。
12. 随机地挑选20位失眠者分别服用甲、乙二种安眠药，记录他们的睡眠延长时间（单位：h），算得 ，，，，问：能否认为甲药的疗效显著地高于乙药？假定甲、乙二种安眠药的延长睡眠时间均服从正态分布，且方差相等，取显著水平
解  设，，检验假设，，拒绝域为

其中 ，
今计算  ，故

因此应拒绝，即认为甲药的疗效显著高于乙药。
13 灰色的兔与棕色的兔交配能产生灰色、黑色、肉桂色和棕色等四种颜色的后代，其数量比例由遗传学理论是9:3:3:1，为了验证这个理论，作了一些观测，得到如下数据：

实 测 数
理 论 数
灰色
149
144（）
黑色
54
48（）
肉桂色
42
48（）
棕色
11
16（）
总计
256
256
问：关于兔子的遗传理论是否可信（）.
解  检验假设 ，，，.
统计量的值为：

临界值 ， 因此不能拒绝，即遗传学理论是可信的。
14 某电话交换台在一小时（60min）内每分钟接到电话用户的呼唤次数有如下记录：
呼唤次数
0
1
2
3
4
5
6
7
实际频数
8
16
17
10
6
2
1
0
问：统计资料可否说明：每分钟电话呼唤次数服从泊松分布？
解  检验假设 ，未知，其极大似然估计为，先求期望数
，   
， 
，  
，  
再计算值：

临界值  ，因此不能拒绝，即认为每分钟呼唤次数服从泊松分布。

课外练习
1 设总体，已知，对于检验，，写出拒绝域；对于给定数据，若在水平下不能拒绝，问在水平下能否拒绝？
2 设为来自总体的样本，和均未知，记，，试写出对于假设的检验统计量（用表示）。
3 设有6台计算机，为受到病毒侵袭的台数，是未知参数。为检验假设，从6台中随机选取2台作检查，为2台中有病毒的台数，如检验的拒绝域为，求时的第一类错误概率以及时的第二类错误概率。
4 设样本（容量为1）来自具概率密度的总体，今有关于总体的假设：

检验的拒绝域为 ，试求该检验的两类错误概率及.
5 设某次考试考生的成绩服从分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算出（分），（分），问在显著水平下可否认为考生的平均成绩？
6 某化工厂为了提高化工产品的得率，提出甲乙两种方案，为比较它们的好坏，分别用两种方案各进行了10次试验，得到如下数据：
甲方案得率(%)
68.1
62.4
64.3
64.7
68.4
66.0
65.5
66.7
67.3
66.2
乙方案得率(%)
69.1
71.0
69.1
70.0
69.1
69.1
67.3
70.2
72.1
67.3
假设得率服从正态分布，问：方案乙是否比甲有显著提高（显著水平）？

答案和提示
12.1 (1)
(2) 不能拒绝
12.2
12.3 ， 
12.4 ， 
（提示：；
        ）.
12.5 可以认为平均成绩为70分。
12.6 可以认为乙方案比甲方案提高得率。