第十二讲 空间中的角与距、平行与垂直离.doc

第十二讲 空间中的角与距离、平行与垂直（一）
考点整合：
一、 三视图：正视图、侧视图、俯视图
二、 空间中线线平行、线线垂直的判定与性质；线面平行、线面垂直的判定与性质；面面平行、面面垂直的判定与性质。
三、 空间中的距离：点点、点线、点面、线线、线面、面面及球面距离共七种形式。线面距离、面面距离一般要化成点面距离来求。点面距离的三种求法：1、直接法：作面的垂线段；2、等体积法
异面直线间距离的求法：1、定义法：找出两异面直线的公垂线段，求其长度。2、化为线面距离
四、空间中的角的向量求法

例1. (2010年全国高考宁夏卷14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）

例2．（2010年高考陕西卷理科7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

1
主视图
左视图

俯视图

例3．（2010年高考广东卷理科6）如图1，△ ABC为正三角形，// // ,  ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是

作业1．（2010年高考福建卷理科12）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .

例4．（2010年高考山东卷理科3）在空间，下列命题正确的是（ ）
（A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行
例5．（ 2010年高考全国卷I理科7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为（ ）
A B C D
例6．（ 2010年高考全国卷I理科12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
(A) (B) (C) (D)
例7．（2010年高考福建卷理科6）如图,若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体,其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（ ）
A. ∥ B.四边形是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台

例8. (2010年全国高考宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
(A) (B) (C) (D)

例9．（2010年高考江西卷理科10）过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，所成的角都相等，这样的直线可以作
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

例10．（2010年高考浙江卷6）设m,l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是

作业：
1．(2010年高考全国2卷理数11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个

2. (2010年高考数学湖北卷理科13）圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm．

3. (2010年高考重庆市理科10)到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
（A） 直线 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D） 双曲线

4．（2010年高考四川卷理科15）如图，二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .

5．(2010年高考全国2卷理数16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．

第十三讲 空间中的角与距离、平行与垂直（二）
例1．（2010年高考四川卷理科18）w_w w. k#s5_u.c o*m
已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.

例2．（2010年高考江苏卷试题16）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
（1）求证：PC⊥BC； （2）求点A到平面PBC的距离。

例3. (2010年全国高考宁夏卷18）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点 （1）证明：PEBC
（1） 若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

例4．(2010年高考北京市理科16)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

例5．（2010年高考辽宁卷理科19）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN； （Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

作业
A
D
P
E
B
C
题(19)图
1．(2010年高考全国2卷理数19）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，． （Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．

2. (2010年高考重庆市理科19) 如题(19)图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点． (Ⅰ) 求直线AD与平面PBC的距离； (Ⅱ) 若AD＝，求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．

第十二讲 空间中的角与距离、平行与垂直（一）
考点整合：
四、 三视图：正视图、侧视图、俯视图
五、 空间中线线平行、线线垂直的判定与性质；线面平行、线面垂直的判定与性质；面面平行、面面垂直的判定与性质。
六、 空间中的距离：点点、点线、点面、线线、线面、面面及球面距离共七种形式。线面距离、面面距离一般要化成点面距离来求。点面距离的三种求法：1、直接法：作面的垂线段；2、等体积法
异面直线间距离的求法：1、定义法：找出两异面直线的公垂线段，求其长度。2、化为线面距离
四、空间中的角的向量求法
类型一：三视图的应用（2010年课改区的高考卷几乎都出了三视图的内容）
5. (2010年全国高考宁夏卷14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）
【解析】三棱锥、三棱柱、圆锥等．

9．（2010年高考陕西卷理科7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 【 】

1
主视图
左视图

俯视图

（第7小题图）
【答案】C
【解析】由所给三视图知，对应的几何体为一倒放的直三棱柱（如下图所示），其高为，底面满足：.
故该几何体的体积为.故选.
B
A
C

6．（2010年高考广东卷理科6）如图1，△ ABC为正三角形，// // ,  ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是

【答案】D
1．（2010年高考福建卷理科12）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .

【答案】
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
，侧面积为，所以其表面积为。
2. (2010年高考天津卷理科12)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。

【答案】
【解析】由三视图知：该几何体是一个底面边长为1、高为2的正四棱柱与一个底面边长为2、高为1的正四棱锥组成的组合体.因为正四棱柱的体积为2, 正四棱锥的体积为,故该几何体的体积为.
【命题意图】本题考查立体几何中的三视图以及棱柱与棱锥体积的求解,考查空间想象能力、识图能力。
5．（2010年高考安徽卷理科8）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
A、280 B、292 C、360 D、372
8.C
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.
一、选择题:
1．（2010年高考山东卷理科3）在空间，下列命题正确的是
（A）平行直线的平行投影重合
（B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行
（D）垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。
【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。
2．（ 2010年高考全国卷I理科7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为
A B C D
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
2.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,
则,.
所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.
3．（ 2010年高考全国卷I理科12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
(A) (B) (C) (D)
3.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.
4．（2010年高考福建卷理科6）如图,若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体,其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（ ）
A. ∥ B.四边形是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台

【答案】D
【解析】因为∥，∥，所以∥，又平面，
所以∥平面，又平面，平面平面=，
所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面，
∥，所以平面，又平面， 故，所以选项B也正确，故选D。
【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。
8. (2010年全国高考宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知
，所以球的半径满足：
，故．
12．（2010年高考江西卷理科10）过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，所成的角都相等，这样的直线可以作
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D

13．（2010年高考浙江卷6）设m,l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是

【答案】B
15．(2010年高考全国2卷理数11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个

16. (2010年高考重庆市理科10)到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
（A） 直线 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D） 双曲线
【答案】D
解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B

3. (2010年高考数学湖北卷理科13）圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm．
【答案】4
【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.
4．（2010年高考四川卷理科15）如图，二面角的大小是60°，线段.，
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D
连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，
C
D
故∠ADC为二面角的平面角，为60°
又由已知，∠ABD＝30°
连结CB，则∠ABC为与平面所成的角w_w_w.k*s 5*u.c o*m
设AD＝2，则AC＝，CD＝1
AB＝＝4
∴sin∠ABC＝
答案：
9．(2010年高考全国2卷理数16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．
【答案】3
【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.
【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵，所以，∴，由球的截面性质，有，∵，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，

9．（2010年高考四川卷理科18）（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m

已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.

10．（2010年高考江苏卷试题16）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
(1) 求证：PC⊥BC；
(2) 求点A到平面PBC的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因为PC平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。
（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而AB=2，BC=1，得的面积。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以。
由PC⊥BC，BC=1，得的面积。
由，，得，
故点A到平面PBC的距离等于。
11. (2010年全国高考宁夏卷18）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点
（2） 证明：PEBC
（3） 若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

（18）解：
以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则
（Ⅰ）设
则
可得
因为
所以

（Ⅱ）由已知条件可得

设 为平面的法向量
则 即
因此可以取，
由，
可得
所以直线与平面所成角的正弦值为

12．（2010年高考陕西卷理科18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA  ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √  2，E，F分别是AD，PC的重点
（Ⅰ）证明：PC  ⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
解法一 （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。
∵AP=AB=2,BC=AD=2√  2,四边形ABCD是矩形。
∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √  2,0)，D(0，2 √  2，0)，P(0,0,2)
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，√  2，0),F(1，√  2，1)。
∴=（2，2 √  2，-2）=（-1，√  2，1）=（1,0,1），
∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩  EF=F,[来源:Zxxk.Com]
∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP 的法向量
设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，
则
∴ θ=45℃， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45
解法二 （I）连接PE，EC在
PA=AB=CD, AE=DE,
∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，
又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,
又，F是PC 的中点，
∴BF⊥PC.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
又

13．(2010年高考北京市理科16)（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

（16）（共14分）www.@ks@
证明：（I） 设AC与BD交与点G。
因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF//平面EG，
因为平面BDE，AF平面BDE，
所以AF//平面BDE.
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面
相互垂直，且CEAC，
所以CE平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.
则C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）.
所以，，.
所以,
所以,.
所以BDE.
(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量.
设平面ABE的法向量,则，.
即
所以且
令则.
所以.
从而。
因为二面角为锐角，
所以二面角的大小为.

15．（2010年高考辽宁卷理科19）（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

17．(2010年高考全国2卷理数19）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．
（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．
【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.
【参考答案】

18. (2010年高考重庆市理科19) (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)
如题(19)图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．
(Ⅰ) 求直线AD与平面PBC的距离；
A
D
P
E
B
C
题(19)图
(Ⅱ) 若AD＝，求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.
19．
（2010年上海市春季高考21)