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习题11-1 对弧长的曲线积分
1.计算下列对弧长的曲线积分：
（1），其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
（2），其中为折线，这里、、、依次为点、、、；
（3），其中为摆线的一拱，.
2.有一段铁丝成半圆形，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。
解 曲线的参数方程为
依题意，所求质量
习题11-2 对坐标的曲线积分
1.计算下列对坐标的曲线积分：
（1），其中是抛物线上从点到点的一段弧；
（2），其中为圆周（按逆时针方向绕行）；
（3），其中是从点到点的一段直线；
（4），其中为有向闭折线，这里、、依次为点、、；
2.计算，其中是：
（1）抛物线上从点到点的一段弧；
（2）从点到点的直线段；
（3）先沿直线从点到点，然后再沿直线到的折线；
（4）曲线，上从点到点的一段弧。
3.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：
（1）在面内沿直线从点到点；
（2）沿抛物线从点到点；
（3）沿上半圆周从点到点.
4.设为曲线，，上相应于从变到的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。
习题11-3 格林公式及其应用
1. 利用曲线积分，求星形线，所围成的图形的面积。
2.计算曲线积分，其中为圆周，的方向为逆时针方向。
3. 证明曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值。.
4.利用格林公式，计算下列曲线积分：
（1），其中为三顶点分别为、和的三角形正向边界；
（2），其中是在圆周上由点到点 的一段弧。
5.验证下列在整个平面内是某一函数的全微分，并求这样的一个：
（1）；
（2）
6.计算，其中为由点到点的曲线弧
解
原积分与路径无关， 故原式
习题11-4 对面积的曲面积分
1. 计算曲面积分，其中为抛物面在面上方的部分。
2.计算下列对面积的曲面积分：
（1），其中为平面在第一卦限中的部分；
（2），其中为球面上的部分；
3.求抛物面壳的质量，此壳的面密度为.
4.计算，其中为锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面。
解 ， ，在上，
，在面的投影为
在上，，在面的投影为
习题11-5 对坐标的曲面积分
1.计算下列对坐标的曲面积分：
（1），其中为球面的下半部分的下侧.
（2），其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧；
2.把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，其中
（1）是平面在第一卦限的部分的上侧；
（2）是抛物面在面上方的部分的上侧；
习题11-6 高斯公式
1.利用高斯公式计算曲面积分：
（1），其中为平面，，，，，所围成的立体的表面的外侧.
（2），其中是界于和之间的圆柱体的整个表面的外侧；
（3），其中为平面，，，，，所围成的立方体的全表面的外侧；
2.计算曲面积分，其中是曲面的外侧.
解 添加平面，取上侧，使构成封闭，应用高斯公式地
习题11-7 斯托克斯公式
1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分：
（1），其中为圆周，，若从轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向；
（2），其中为圆周，，若从轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；
（3），其中为圆周，，若从轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；
复习题十一
1.计算下列曲线积分：
（1），其中为圆周；
（2），其中为摆线，上对应从到的一段弧；
（3），其中为上半圆周， 沿逆时针方向；
2.计算下列曲面积分：
（1），其中是界于平面及之间的圆柱面；
（2），其中为锥面
的外侧.
（3），其中为半球面上侧.
3.证明：在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。
4. 计算曲线积分，其中是边长为4，原点为中心的正方形边界，方向为逆时针方向。
解法一
在内作一圆：，方向逆时针
由格林公式有
=
：
法二: 由参数法将得积分代入四部分之和
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