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第三章第3,4节条件分布,独立性
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第三章 随机变量及其分布 §3 条件分布 ? 条件分布律 ? 条件分布函数 ? 条件概率密度 预备知识：条件概率、 预备知识：条件概率、联合分布率和边缘概率目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 一 、离散型随机变量的条件分布律 §3条件分布 是二维离散型随机变量， 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,... (X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为： 的边缘分布律分别为： P { X = x i } = pi? = ∑p j =1 ∞ i j , i = 1, 2 , ? P {Y = y j } = p ? j = ∑p i =1 ∞ i j , j = 1, 2 , ? 前一页 后一页 退 出 目 录 第三章 随机变量及其分布 由条件概率公式 自然地引出如下定义： 自然地引出如下定义： P( AB) P( A | B) = P(B) §3条件分布 定义： 是二维离散型随机变量， 定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定 的 j , 若P{Y= yj }>0, 则称 P{ X = xi | Y = y j } = P{ X = x i , Y = y j } P{Y = y j } = pij p? j , i = 1,2,? 为在Y= 为在 yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 同样对于固定的 i, 若P{X= xi}>0, 则称 P{Y = y j | X = x i } = P{ X = x i , Y = y j } P{ X = x i } = p ij pi? §3条件分布 , j = 1,2,? 条件下随机变量Y 为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。 条件分布律具有分布律的以下特性： 条件分布律具有分布律的以下特性： 具有分布律的以下特性 10 P{ X= xi |Y= yj }≥0； ≥ ； ∞ 2 0 ∑ P{ X = x i =1 i |Y = yj} = ∑ i =1 ∞ p ij p? j = p? j p? j = 1. 后一页 退 出 即条件分布率是分布率。 即条件分布率是分布率。 目 录 前一页 例1 Y X x1 y1 p11 p21 ? pi1 y2 p12 p22 ? pi 2 … … … … … yj p1 j p2 j ? pij pi? p1? p2? ? pi? x2 ? xi p? j p?1 p?2 p? j p 22 P ( X = x2 Y = y2 ) = p?2 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 一射手进行射击， 例2 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击 ， 到击中目标两次为止。 到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标 所进行的射击次数， 所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次 的联合分布律以及条件分布律。 数，试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。 解： Y 的取值是 2， 3， 4， ? ； X 的取值是 1， 2， ?， 并且 X < Y． ? p?q n ? m ?1 X,Y的联合分布律为 P{ X = m， Y = n } ( 其中 q = 1 ? p ) = q n? 2 ? p 2 ?p 后一页 退 出 =q m ?1 n = 2,3,?; m = 1,2, ? , n ? 1. 目 录 前一页 第三章 随机变量及其分布 X的边缘分布律为 例2（续） （ §3条件分布 P{X = m} = ∑ P{ X = m， Y = n }= ∑ p 2 ? q n? 2 n ∞ q m ?1 = p2 ? = pq m ?1 , 1? q n = m +1 m = 1,2, ? Y 的边缘分布律为 ? P {Y = n} = ∑ P { X = m , Y = n} =∑p q 2 ? m =1 n?1 m n? 2 = ( n ? 1) p q 2 n? 2 , n = 2,3, ? 前一页 后一页 退 出 P{ X = m， Y = n } = q n? 2 p 2 , n = 2,3,?; m = 1,2,? n ? 1 目 录 第三章 随机变量及其分布 在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为 当 n=2,3,… 时， §3条件分布 P { X = m , Y = n} P { X = m | Y = n} = P {Y = n} q p 1 , m = 1,2, ? , n ? 1; = = 2 n? 2 n?1 ( n ? 1) p q P{ X = m ， Y = n } = q n ? 2 p 2 , n = 2,3, ?; m = 1,2, ? n ? 1 目 录 前一页 后一页 退 出 n? 2 2 P{Y = n} = (n ? 1) p2qn?2 , n = 2,3, 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 条件下随机变量Y 的条件分布律为 在 X= m 条件下随机变量 的条件分布律为 当m=1,2,3,… 时， P {Y = n | X = m } = P { X = m , Y = n} P{ X = m } p 2 q n? 2 = = pq n ? m ?1 , m ?1 pq n = m + 1, m + 2, ? {X = m} = pq m ?1 , m = 1,2,? P P{ X = m ， Y = n } = q n? 2 p 2 , n = 2,3, ?; m = 1,2, ? n ? 1 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 例3 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 λ (λ > 0) 的泊松分布， 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0 < p < 1), 且中途下车与否相互独立。 且中途下车与否相互独立。以 Y 表示在中途下车的人 数，求： 个乘客的条件下， （1）在发车时有 个乘客的条件下，中途有 个人下 ）在发车时有n个乘客的条件下 中途有m个人下 车的概率； 车的概率； 的概率分布。 （2）二维随机变量（X,Y ) 的概率分布。 ）二维随机变量（ 解： m (1) P{Y = m | X = n} = C n p m (1 ? p ) n? m , m = 0,1, ? , n, n = 0,1,2, ? . 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 ( 2 ) 联合分布率为 §3条件分布 P{ X = n, Y = m } = P{Y = m | X = n}P{ X = n} = C p (1 ? p ) m n m n? m ? λn n! e , m = 0,1,? n, n = 0,1,2,? ?λ 二、条件分布函数 是二维连续型随机变量， 设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于 P{Y = y} = 0, . 所以 P{X ≤ x | Y = y} 无意义 因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概 念。目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 定义： 定义：给定 y，设对于任意固定的正数ε ， ，设对于任意固定的正数ε §3条件分布 P{ y-ε < Y ≤ y +ε }>0, 若对于任意实数 x，极限 ε ε ， ε →0 lim P{ X ≤ x | y ? ε < Y ≤ y + ε } + P{X ≤ x, y ? ε < Y ≤ y + ε } = lim ε →0+ P{ y ? ε < Y ≤ y + ε } 存在，则称为在条件 y下X的条件分布函数， 存在，则称为在条件Y= 下 的条件分布函数， 写成 P{ X≤ x |Y= y }，或记为 FX|Y(x|y). ≤ ，目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 P{ X ≤ x , y ? ε < Y ≤ y + ε } F X |Y ( x | y ) = lim ε →0 + P{ y ? ε < Y ≤ y + ε } ?F ( x , y ) lim [ F ( x , y + ε ) ? F ( x , y ? ε )] / 2ε ?y ε →0+ = = d lim [ FY ( y + ε ) ? FY ( y ? ε )] / 2ε FY ( y ) ε →0+ dy y x ? ? ? x ? ? ∫∞?∫∞ f (u, v )dudv ? ?∞ f ( u, y )du ?y ? ? ? ?= . = fY ( y) fY ( y) F ( x, y + ε ) ? F ( x, y ? ε ) = lim ε →0+ F ( y + ε ) ? F ( y ? ε ) Y Y ∫ 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 F X |Y ( x | y ) = ∫ x ?∞ f ( u, y ) du, fY ( y) §3条件分布 称为在条件Y= 下 的条件分布函数 的条件分布函数. 称为在条件 y下X的条件分布函数 f ( x, y) f X |Y ( x | y ) = fY ( y) 称为随机变量 X 在 Y = y 的条件下的 条件密度函数 . f ( x， y ) fY X ( y x ) = f X (x) 称为随机变量 Y 在 X = x 的条件下的目 录 . 条件密度函数前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 条件密度函数的性质 §3条件分布 性质 1 对任意的 x，有 +∞ f X Y (x y ) ≥ 0 性质 2 ?∞ ∫ f (x y )dx = 1 XY 简言之， 是密度函数． 简言之， f X Y ( x y )是密度函数．对于条件密度函数 fY X ( y x )也有类似的性质． 也有类似的性质．目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 例 4 设随机变量 ( X , Y )的概率密度为 §3条件分布 ?1, | y |< x , 0 < x < 1, f ( x, y) = ? ?0, 其它. 试求： （ 试求：1）f X ( x ), f Y ( y ) ; ( 2) f X |Y ( x | y ), f Y | X ( y | x ) ; 1 ( 3) P{ X > | Y > 0}. 2 ∞ x ?∞ y 解： (1) f ( x ) = X y=x 0 ∫ f ( x , y )dy 1 ? dy = 2 x , 0 < x < 1, ?∫ = ? ?x ? 0, 其它. ? x 后一页 退 出 y = ?x 目 录 前一页 第三章 随机变量及其分布 例 4（续） （ ∞ fY ( y) = ?∞ ∫ f ( x , y )dx y y=x 0 §3条件分布 ?1 ? ∫ dx = 1 ? y , 0 ≤ y < 1, ?y ? =?1 ? dx = 1 + y , ? 1 ≤ y < 0, ? ?∫y ? ? 0, 其它. 1 x ? 1 f ( x, y) ? , | y |< x < 1 ( 2) 当 | y |< 1, f X |Y ( x | y ) = = ? 1? | y | fY ( y) ?0, 其它。 其它。 ? 1, | y |< x, 0 < x < 1, ? f ( x, y) = ?0, 其它 . ? 目 录 前一页 后一页 退 出 y = ?x ?1? | y |, =? ? 0, | y |< 1 其它. 第三章 随机变量及其分布 例 4（续） （ ?1, | y |< x, 0 < x < 1, ?2x, 0 < x < 1 f ( x, y) = ? f X ( x) = ? . . ?0, 其它 ?0, 其它 f ( x, y) ? 1 , ? x < y < x, ? 当0 < x < 1, f Y | X ( y | x ) = = ?2x f X ( x) ? 0, 其它。 其它。 ? 1 P { X > , Y > 0} 1 2 ( 3) P{ X > | Y > 0} = = 2 P{Y > 0} y 1 1 (1 + ) × ÷ 2 3 2 2 = = 1 4 × 1× 1 2 y=x 1 2 后一页 0 1 退 出 x 目 录 前一页 第三章 随机变量及其分布 例 5 §3条件分布 服从二元正态分布： 设二维随机变量 ( X ， Y ) 服从二元正态分布： ( X， Y ) ~ N (?1， ? 2， σ 12， σ 22， r ) 则 ( X， Y )的联合密度函数为 f ( x， y ) = 1 2πσ 1σ 2 1 ? r 2 ? ? ( x ? ? 1 )2 2r ( x ? ? 1 )( y ? ? 2 ) ( y ? ? 2 )2 ? ? 1 ? ? ? exp?? ? + ?? 2 ? 2 2 σ 1σ 2 σ2 ? 2 1? r ? σ1 ?? ? ?? ? ( ) 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 又随机变量 Y 的边缘密度函数为 fY §3条件分布 (y ) = 1 2π σ 2 ( y ? ? 2 )2 ? e 2σ 2 2 (? 1 ∞ < y < +∞ ) f ( x， y ) f X Y (x y ) = fY ( y) 因此， 因此，对任意的 y， f Y ( y ) > 0 ， = 2π σ 12 1 ? r 2 2 ? ? ? ?? ? σ1 1 ? exp?? x ? ? ?1 + r ( y ? ? 2 )? ? ? 2 2 ? ? ? ? σ2 ? ?? ? ? 2σ 1 1 ? r ? ? ? ( ) (? ∞ < x < +∞ ) ( ) 结论： 条件分布是一元正态分 ,即 布 结论：二元正态分布的 ? σ1 2 2 ? N? ?1 + r ( y ? ?2 )，σ1 (1 ? r )? ? ? σ2 ? ? 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 例 6 设随机变量 X 服从区间 (0， 1 )上的均匀分 机变量 上的均匀分布． 服从区间 ( x ， 1 )上的均匀分布．试求随 Y 的密度函数 布，当 0 < x < 1时，随机变量 Y 在 X = x 的条件下 解： 随机变量 X 的密度函数为 ?1, 0 < x < 1, f X (x)= ? 其它. ?0, 又由题设知， 又由题设知，当 0 < x < 1时，随机变量 Y 在条件 X = x 下的条件密函数为 ? 1 ? , x < y < 1, fY X ( y x ) = ? 1 ? x ? 0, 其它. ? 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 例 6（续） §3条件分布 所以， 所以，由公式 f ( x， y ) = f X ( x ) f Y f ( x， y ) f ( y x) = f (x) Y X X 得 X (y x) ? 1 ? , 0 < x < y < 1, = ?1 ? x ? 0, 其它. ? 所以，随机变量 Y 的密度函数为 所以，当 0 < y < 1时， y fY ( y ) = +∞ ?∞ ∫ f ( x， y )dx = ? ln(1 ? y ). y ? ? ln(1 ? y ), 0 < y < 1, 所以， 所以， fY ( y ) = ? 0, 其它. ? 1 dx =∫ 1? x 0 1 0 1 x 后一页 退 出 目 录 前一页 第三章 随机变量及其分布 §4 随机变量的独立性 ?随机变量的独立性 随机变量的独立性 ?离散型随机变量的独立性 离散型随机变量的独立性 ?连续型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 ?正态随机变量的独立性 正态随机变量的独立性 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 一、随机变量的独立性 是二维随机变量， 设 ( X ， Y )是二维随机变量，其联 合分布函数为 F ( x ， y ) ，又随机变量 X 的分布函数为 F X ( x )， 随机变量 Y 的分布函数为 FY ( y ) ． 如果对于任意的 x ， y ，有 F ( x， y ) = F X ( x ) ? FY ( y ) 则称 X ， Y 是相互独立的随机变量 ．目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 说 明 由于 F ( x， y ) = P{X ≤ x， Y ≤ y} Y 以及 F X ( x ) = P {X ≤ x} FY ( y ) = P { ≤ y} ， 可知， 相互独立， 可知，随机变量 X 与 Y 相互独立，实际上是指 ： 对于任意的 x， y ，随机事件 {X ≤ x} 与 {Y ≤ y} 相互独立． 相互独立． 结论： 结论：在独立的条件下有 F ( x， y ) = F X ( x )FY ( y ) F ( 二维随机变量 X，Y )的联合分布函数 ( x， y) F 唯一确定． 可由其边缘分布函数 X ( x)与FY ( y)唯一确定．目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 设二维随机变量 (X， Y )的联合分布函数为 1 ?π x ??π y? F (x， y )= 2 ? + arctan ? + arctan π ?2 5 ?? 2 10 ? 例 1 (? ∞ < x < +∞ ， ? ∞ < 解： X 的边缘分布函数为 y < +∞ ) 是否相互独立？ 试判断 X 与 Y 是否相互独立？ 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 F X (x ) = F (x， ∞ ) 1 ?π x ??π y? = lim 2 ? + arctan + arctan ? → +∞ π y 5 ?? 2 10 ? ?2 1 ?π x? = ? + arctan π?2 5? ( x ∈ (? ∞， + ∞ ) ) Y 的边缘分布函数为 FY (y ) = F (∞， y ) 1 ?π x ??π y? = lim 2 ? + arctan ? + arctan → +∞ π x 5 ?? 2 10 ? ?2 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 1 ?π y? = ? + arctan π?2 10 ? ( y ∈ (? ∞， + ∞ ) ) 所以， 所以，对于任意的实数 x， y ，有 1 ?π x ??π y? F (x， y )= 2 ? + arctan ? + arctan π ?2 5 ?? 2 10 ? 1 ?π x ? 1 ?π y? = ? + arctan ? + arctan = F X ( x )FY ( y ) π?2 5? π ? 2 10 ? 所以 X 与 Y 是相互独立的随机变量 ．目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 二、离散型随机变量的独立性 设 ( X ， Y )是二维离散型随机变量 ，其联合分布律为 p ij = P {X = x i， Y = y j } ( i，j = 1， 2， ? ) 又随机变量 X 的分布律为 pi? = P{ X = x i } ( i = 1， 2， ? ) ( j = 1， 2， ? ) 随机变量 Y 的分布律为 p? j = P {Y = y j 如果对于任意的 i， j , 有 } pij = pi? p? j 目 录 前一页 后一页 退 出 则称 X ， Y 是相互独立的随机变量 ． 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 例 2 设二维离散型随机变量 Y X 1 2 1 1 6 1 3 ( X ， Y )的联合分布律为 2 1 9 3 1 18 α β 相互独立． 试确定常数 α ， β 使得随机变量 X 与 Y 相互独立． 解：由表， 由表，可得随机变量 X 与 Y 的边缘分布律为目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 Y X 1 2 1 1 6 §4随机变量的独立性 2 3 1 18 pi ? 1 3 1 9 1 3 α β 1 +α + β 3 1 1 +β +α 18 9 相互独立， 如果随机变量 X 与 Y 相互独立，则有 p? j 1 2 由此得 p ij = p i ? p? j ( i = 1， 2；目 录 j = 1， 2， 3) 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 1 1 ?1 ? = P{ X = 1， Y = 2 } = P { X = 1 }P{Y = 2 }= ? ? + α ? 3 ?9 9 ? 由此得 又由 1 = P{ X = 1， Y = 3 } = P { X = 1 }P {Y = 3 } 18 1 ? 1 ? = ?? + β ? 3 ? 18 ? 2 α= ； 9 1 由此得 β = ． 9 2 1 而当 α = ， β = 时，联合分布律及边缘 分布律为 9 9 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 Y X 1 2 §4随机变量的独立性 1 1 6 2 1 9 3 1 18 pi? 1 3 2 3 1 3 1 2 2 9 1 9 1 6 p? j 1 3 可以验证， 可以验证，此时有 p ij = p i ? p? j ( i = 1， 2； j = 1， 2， 3) 2 1 相互独立． 因此当 α = ， β = 时， X 与 Y 相互独立． 9 9 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 思考题： 思考题 §4随机变量的独立性 填空。已知 X, Y 独立，联合分布率与边缘分布率 填空。 独立， 如下 X Y y1 y2 1 8 y3 1 / 12 pi . 1/ 4 x1 x2 p. j 1 / 24 1 8 3/ 8 1/ 2 1/ 4 3/ 4 1 6 1/ 3 目 录 1 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 例 3 2 3的三个盒子中． 将两个球等可能地放入 编号为 1，， 的三个盒子中． 令 X：放入 1 号盒中的球数； 号盒中的球数； Y ：放入 2 号盒中的球数． 号盒中的球数． 试判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立？ 是否相互独立？ 解： X 的可能取值为 0， ， ； 的可能取值为 0， ， ． 1 2 Y 1 2 由 § 3.1 知 X 与 Y 的联合分布律及边缘分 布律为目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 Y X 0 1 2 0 1 9 2 9 1 9 4 9 1 2 9 2 9 2 1 9 pi? 4 9 4 9 1 9 0 0 1 9 0 4 9 p? j 1 P { X = 1， Y = 2 } = 0 ≠ 4 1 P {X = 1}P{ = 2} = ? Y 9 9 目 录 前一页 后一页 退 出 不独立． 随机变量 X 与 Y 不独立． 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 三、连续型随机变量的独立性 设 ( X， Y )是二维连续型随机变量 ，其联合密度函数 为 f ( x， y )， 又随机变量 X 的边缘密度函数为 f X ( x )， 随机变量 Y的边 缘密度函数为 f Y ( y )，如果对于几乎所有的 x ， y 有， f ( x， y ) = f X ( x ) f Y ( y ) 则称 X ， Y 是相互独立的随机变量 ．特别地， 特别地，上式对 f ( x， y )的所有连续点 ( x， y )必 须成立． 须成立．目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 说 明这里所谓的“ 是指： 这里所谓的“对几乎所 有的 x， y ”是指： 那些使得等式 f ( x， y ) = f X ( x ) f Y ( y ) 不成立的全体点 所成集合的“面积” ( x， y )所成集合的“面积”为 0． 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 例 4 设二维随机变量 ( X ， Y )的密度函数为 ? 2 1 ? x + xy 0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2 f ( x， y ) = ? 3 ? 0 其它 ? 是否相互独立？ 试判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立？ 解：当 0 ≤ x ≤ 1时， 2 ? 2 1 ? 2 f X ( x ) = ∫ f ( x， y )dy = ∫ ? x + xy ?dy = 2 x + x 3 3 ? 0? ?∞ 目 录 前一页 后一页 退 出 +∞ 2 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 所以， 所以，随机变量 X 的密度函数为 ? 2 2 ?2 x + x 0 ≤ x ≤ 1 f X (x) = ? 3 ? 0 其它 ? 当 0 ≤ y ≤ 2 时， 1 1 ? 2 1 ? f Y ( y ) = ∫ f ( x， y )dx = ∫ ? x + xy ?dx = + y 3 ? 3 6 0? ?∞ +∞ 1 所以， 所以，随机变量 Y 的密度函数为 ?1 1 ? + y 0≤ y≤2 fY ( y) = ? 3 6 ? 0 其它 ? 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 由于当 0 < x < 1， 0 < y < 2 时， f ( x， y ) ≠ f X ( x ) f Y ( y ) 所以，随机变量 X 与Y 不独立． 不独立． 所以， 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 例 5 相会， 甲、乙两人约定在某地 相会，假定每人的到达 时间 是相互独立的， 是相互独立的，且均服 从中午12时到下午1时的均匀 分布． 分钟以内的概率． 分布．试求先到者需等 待10分钟以内的概率． 解：分到达． 设甲于 12 时 X 分到达，设乙于 12 时 Y 分到达． 分到达，所以， 所以， ( X ， Y )的联合密度函数为相互独立， 则随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区 间 [0， 60] 上的均匀分布． 上的均匀分布． ? 1 0 ( x， y ) = ? 3600 0 ≤ x ≤ 60， ≤ y ≤ 60 f ? ? 0 其它 ? 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 设 A = {先到者等待时间不超过 10分钟 } 则有， A = 则有， { X ? Y ≤ 10}. 60 y 所以， 所以，所求概率为 P ( A) = P { X ? Y ≤ 10 } x ? y = ?10 x ? y = 10 = x ? y ≤10 ∫∫ f ( x， y )dxdy 10 O 10 60 x 3600 ? 50 × 50 11 = = 36 3600 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 例6（Buffon投针问题） Buffon投针问题） 投针问题平面上画有等距离为 a 的一些平行 线，向此平面上任意投 一根长度为 L ( L < a )的针，试求该针与任一 平 的针， 行直线相交的概率． 行直线相交的概率． 解： 设：X：针的中心到最近一条 平行线的距离； 平行线的距离；此平行线的夹角． ?：针与 此平行线的夹角． M a L ? X 目 录 前一页 后一页 M 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 a? ? 上的均匀分布； 则随机变量 X 服从区间 ? 0， ? 上的均匀分布； 2? ? 上的均匀分布； 随机变量 ? 服从区间 [0, π ] 上的均匀分布； 相互独立． 并且随机变量 X 与 ? 相互独立．所以二维随机变量 ( X ， ? )的联合密度函数为 ? 2 ? f ( x， ? ) = ? π a ? 0 ? a 0 ≤ x ≤ ，0 ≤ ? ≤ π , 2 其它. 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 设： A = {针与任一直线相交 } L ? ? 则 A = ? X < sin ? ?. 所以， 所以， 2 ? ? L ? ? P ( A) = P ? X < sin ? ? = A的面积 2 ? ? D的面积 x a 2 l x = sin? D 2 A = ∫ π 0 L sin?d? 2L 2 . = a πa π 2 目 录 前一页 后一页 退 出 0 π ? 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 说 明: 2L P ( A) = πa 的近似计算公式： 我们有圆周率 π 的近似计算公式： 2L 1 π = ? a P ( A) 次与平行线相交， 若我们投针 N 次，其中有 n 次与平行线相交，则以 n 作为P ( A)的近似值代入上式，得 的近似值代入上式， N 2L N ? π ≈ a n 由本题的答案目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 历史上， 过此项实验， 历史上，确有些学者做 过此项实验，下表就是 一些有关资料 （其中把 a 折算为 1）：实验者 Wolf Smith De M organ Fox Lazzerini Reina 年 份 针 长 投掷次数 1850 1855 1860 1884 1901 1925 0.8 0.6 1.0 0.75 0.83 0.5419 5000 3204 600 1030 3408 2520 相交次数 π 的近似值 2532 1218.5 382.5 489 1808 859 3.1596 3.1554 3.137 3.1595 3.1415929 3.1759 说 明（续） 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 说 明（续）种概率方法， 来就是： 上述的计算方法就是一 种概率方法，它概括起 来就是： 首先建立一个概率模型 ，它与我们感兴趣的某 些量 有关． （如上面的常数 π ）有关．然后设计适当的随机试 验，并通过这个试验的 结果 来确定这些量． 来确定这些量． 现在， 现在，随着计算机的发 展，已按上述思路建立 起一 方法． 类新的计算方法 — — Monte ? Carlo 方法． 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 正态随机变量的独立性） 例 7（正态随机变量的独立性）设二维随机变量 f ( x， y ) = 1 则 (X ， Y )的联合密度函数为 (X， Y )~ N (? 1， ? 2， σ 12， σ 22， r ) 2πσ 1σ 2 1 ? r 2 ? ? ( x ? ? 1 )2 2r ( x ? ? 1 )( y ? ? 2 ) ( y ? ? 2 )2 ? ? 1 ? ? ? exp?? ? + ?? 2 ? 2 2 σ 1σ 2 2 1? r ? σ1 σ2 ? ?? ? ?? ? ( ) 又随机变量 X 的边缘密度函数为 f X (x ) = 1 2π σ 1 ( x ? ? 1 )2 ? e 2 2σ 1 (? ∞ < x < +∞ ) 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 随机变量 Y 的边缘密度函数为 fY ( y) = 1 2π σ 2 ( y ? ? 2 )2 ? e 2 2σ 2 (? ∞ < y < +∞ ) 所以， 所以，当 r = 0 时， (X ， Y )的联合密度函数为 ? 1 ? ( x ? ? 1 )2 ( y ? ? 2 )2 ? ? ? ? f ( x， y ) = exp?? ? + ?? 2 2 2πσ 1σ 2 σ2 ? 2 ? σ1 ?? ? ?? ? 1 = f X (x ) ? fY ( y) 这表明， 相互独立； 这表明，随机变量 X 与 Y 相互独立；反之， 相互独立， 反之，如果随机变量 X 与 Y 相互独立，则对任意的 目 录 前一页 后一页 退 实数 x， y ，有出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 f ( x， y ) = f X ( x ) ? f Y ( y ) 特别地， 特别地，我们有 f (? 1， ? 2 ) = f X (? 1 ) ? f Y (? 2 ) 即， 1 2π σ 1σ 2 1 ? r 2 = 1 2π σ 1 ? 1 2π σ 2 由此得， 由此得， r = 0 ． ? 结论： 结论： 对于 ( X , Y ) ~ N ( ， ? ， σ 1 2 目 录 X 与 Y 相互独立的充分必要条 件为 ： r = 0. 前一页 2 1 σ 22， r ), ，后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 四、n 维随机变量的独立性 维随机变量， 设 ( X 1， X 2， ?， X n )是 n 维随机变量，其联合 分布函数为 F ( x 1， x 2， ?， x n ) ，又随机变量 X i 的分布函数为 F X i ( x i )，(i = 1， 2， ?， n ) ． 如果对于任意的 n维实数组 ( x1， x 2， ?， x n ) ，有 F ( x1， x 2， ?， x n ) = F X 1 ( x1 )F X 2 ( x 2 )? F X n ( x n ) 则称 X 1， X 2， ?， X n 是相互独立的随机变量 ． 注意 ： 若 X ,Y 独立，f(x) , g(y) 是连续函数，则 独立， 是连续函数， f (X ) ,g (Y ) 也独立。 也独立。目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 小结： 小结： 1 二维随机变量独立的充分必要条件： 二维随机变量独立的充分必要条件 独立的充分必要条件： 联合分布等于边缘分布的乘积。 联合分布等于边缘分布的乘积。 2 2 对于 ( X , Y ) ~ N ? 1， ? 2， σ 12， σ 2 ， r , X 与 Y 相互独立的充分必要条 件为 ： r = 0 . ( ) 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 的分布率如下: 已知 X,Y 的分布率如下 ??1 0 1 ? X ~ ?1 1 1 ? ? ? 2 4? ? 4 §4随机变量的独立性 ? 0 1 ? Y ~ ?1 1 ? ? ? ? 2 2? 且 P { XY = 0} = 1 的联合分布率；（ ；（2） 是否独立。 求：（1）X ,Y 的联合分布率；（ ） X 与 Y 是否独立。 ：（ ） 目 录 前一页 后一页 退 出 第三章 随机变量及其分布 3) ( X , Y ) 在区域 D = {( x , y ) : 0 < x < 2, 0 < y < 1} 服从均匀分布， 服从均匀分布， 令： X ?0， ≤ Y , V = ?0, X ≤ 2Y , ?1, X > 2Y . U =? ? ?1, X > Y . 问 U , V 是否独立 . 目 录 前一页 后一页 退 出

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