二重积分极坐标.doc

数学论文

班级：国贸03

学号：1221040330

姓名：朱润

一、不定积分
概念
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
由定义可知：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。

性质
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；

  不定积分
2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，

积分公式
∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
∫ e^x dx = e^x + C
∫ cosx dx = sinx + C
∫ sinx dx = - cosx + C
∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C
∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C
∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C
∫ sec^2(x) dx = tanx + C
∫ csc^2(x) dx = - cotx + C
∫ secxtanx dx = secx + C
∫ cscxcotx dx = - cscx + C
∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C
∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C
∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C
∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C
∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C
∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C
∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C

换元积分

  不定积分
一、第一类换元法（凑微分法）

二、第二类换元法
第二类换元法的变换式必须可逆。
1.根式代换法
2.三角代换法

分部积分
一、分部积分公式
设函数和 具有连续导数，则。移项得到
不定积分
两边积分，得 ⑴称公式⑴为分部积分公式．如果积分 易于求出，则左端积分式随之得到．为简易起见，把⑴写成下面的形式：
⑵
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v
一般来说， u,v 选取的原则是：
1)积分容易者选为v ⑵求导简单者选为u
分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．
理论上已证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

不可积函数
虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合，这样的函数称为不可积函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如e^(x^2)，x^x，sin(x)/x这样的函数是不可积的。

二、定积分
定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

定义
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b]，可知各区间的长度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,…，△xi=b-xi.在每个子区间（xi-1,xi）任取一点ξi(i=1,2,…,n），作和式（见右下图），设λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为（见右下图）：
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。

基本定理
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′（x)=f(x），那么∫ _a^b(f(x) dx ) =F(b)-F(a)
用文字表述为：一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
应用
1，解决求曲边图形的面积问题
例：求由抛物线y^2=4x与直线y=2x-4围成的平

定积分的应用(4张)
面图形D的面积S.
2，求变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t）≥0）在时间区间[a,b]上的定积分。
3，变力做功
某物体在变力F=F(x）的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x）在[a,b]上的定积分。（见图册“应用”）
定理
定理1：设f(x）在区间[a,b]上连续，则f(x）在[a,b]上可积。
定理2：设f(x）在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x）在[a,b]上可积。
定理2：设f(x）在区间[a,b]上单调，则f(x）在[a,b]上可积。

三、二重积分
定义
设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=limλ →0（Σf(ξi,ηi)Δδi）
这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
性质
性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性质2 （积分满足数成） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）
性质1与性质2合称为积分的线性性。
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，
则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ
性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ
性质6二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ

利用极坐标计算二重积分
1、变换公式
按照二重积分的定义有

现研究这一和式极限在极坐标中的形式。
用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线 ,将剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算

其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。
(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)
在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有

于是

即

由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
(1)
(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。
(1)式的记忆方法:

2、极坐标下的二重积分计算法
极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。
【情形一】积分区域可表示成下述形式

其中函数, 在上连续。

则
【情形二】积分区域为下述形式

显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 )。
故
【情形三】积分区域为下述形式

显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成与,而

故
则
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式

下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。
【例4】将下列区域用极坐标变量表示
1、
2、
3、
Ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围；
Ë再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围。

注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。
利用此题结果可求出著名概率积分 。

而被积函数满足 ,从而以下不等式

成立，再利用例二的结果有
,
,

于是不等式可改写成下述形式

故当时有 ,
即 。
3、使用极坐标变换计算二重积分的原则
(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 )。
【例6】计算
解此积分区域为

区域的简图为

该区域在极坐标下的表示形式为

小结 二重积分计算公式
直角坐标系下 X—型
Y—型
极坐标系下

§9.3 二重积分的应用

教学目的：能利用二重积分解决数学、物理、力学中的某些问题，如曲面面积、重心、转动惯量、引力等

教学重点：应用二重积分计算曲面面积

教学难点：二重积分的物理应用
教学内容：
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：
1、所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域分成许多小闭区域时, 所求量相应地分成许多部分量,且)。
2、在内任取一个直径充分小的小闭区域时, 相应的部分量可近似地表示为 , 其中, 称为所求量的元素, 并记作。
(注: 的选择标准为: 是直径趋于零时较更高阶的无穷小量)
3、所求量可表示成积分形式
一、曲面的面积
设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。

在闭区域上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。 以小区域的边界为准线作母线平行于轴的柱面, 该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面在点处的法线向量( 指向朝上的那个 )为

它与轴正向所成夹角的方向余弦为

而
所以
这就是曲面的面积元素, 故

故
【例1】求球面含在柱面() 内部的面积。
解:所求曲面在面的投影区域

曲面方程应取为 , 则
,

曲面在面上的投影区域为

据曲面的对称性,有

若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有

或

二、平面薄片的重心
1、平面上的质点系的重心

其质点系的重心坐标为
,
四、微分方程
如果 P(x, y)dx+Q(x, y)dy恰好是某一个函数u=u(x, y)的全微分:
du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy,
那么方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0就叫做全微分方程.
v 全微分方程的判定
若P(x, y)、Q(x, y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数, 且
则方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程
v 全微分方程的通解
若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程, 且 du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy,
则u(x, y)=C就是方程的通解
v 全微分方程的通解公式
v 若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程, 则其通解为

求解(5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0
解：这里P=5x4+3xy2-y3, Q=3x2y-3xy2+y2, 且

所以这是全微分方程,其通解为