复变函数考试大纲.doc

《复变函数》课程考试大纲
（Complex Variables Functions）
课程编号：03110094
课程类型：专业核心课
所属教研室：数学与应用数学教研室
总学时：45
学分数： 3
考核对象：09级数学与应用数学专业本科生
执笔者：
编写日期：
一、 课程性质与考试目的：
《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业核心课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。从数学理论角度看，它是数学的重要分支之一，内容丰富而完美。在实用上，对力学、电学及理论物理等学科有着重要的应用。复变函数方法是工程、科技的常用方法之一。通过本课程的学习，一方面可以加深对《数学分析》中基础理论的理解，另一方面可以进一步锻炼学习者的能力，为他们下一步的学习奠定基础。
本课程主要研究解析函数，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射这七部分必讲内容，这七部分内容涵盖了复变函数中三大理论（积分理论、级数理论、几何理论）的所有内容。通过考试，不仅要考查学生对于该课程的基本概念、基本性质、基本理论理解、掌握得是否准确、全面，而且要考查学生分析问题和解决问题的能力是否得到提高，运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等的能力是否得到发展，从而检查平时教学是否达到了教学要求，完成了教学大纲所提出的目标和任务。
二、 考试内容及要求：
第一章 复数与复变函数
【本章重点】复变函数的概念、极限与连续性
1、考试内容：复数的概念，复变函数的极限和连续的概念；复数的乘幂与方根，复数方程；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
2、考核要求：
（1）．了解：区域的概念，复变函数的极限和连续的概念，扩充复平面；
（2）．理解：复变函数概念；
（3）．掌握：复数的概念、表示方法及其运算；复数运算的几何意义与复数方程表示的几何图形；复数的乘幂与方根；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
（4）．应用：会解复数方程；
第二章 解析函数
【本章重点】解析函数的概念和性质，柯西黎曼条件
1、考试内容：解析函数的定义，初等解析函数及其性质；利用柯西-黎曼方程判别解析函数；初等多值函数分出单叶解析分支，并在单叶性区域内由初值确定终值。
2、考核要求：
（1）． 了解：解析函数的定义，初等解析函数及其性质；
（2）． 掌握：解析函数的定义，柯西-黎曼方程及用它判别解析函方法；
（3）． 应用：初等多值函数分出单叶解析分支，并在单叶性区域内由初值确定终值；具有多个有限支点的多值函数分出单叶解析分支的方法，并在单叶性区域内由初值确定终值。
第三章 复变函数的积分
【本章重点】复积分的计算
1、考试内容：复积分的定义及性质；复积分的计算，运用柯西积分定理和柯西积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分；已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数。
2、考核要求：
（1）． 了解：复积分的定义及性质；
（2）． 掌握：柯西积分定理及其推广，柯西积分公式及其推论；柯西不等式与刘维尔定理的证明。
（3）． 应用：运用柯西积分定理和柯西积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分，已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数；利用摩勒拉定理判断解析函数。
第四章 解析函数的幂级数表示法
【本章重点】幂级数的敛散性及其收敛半径、解析函数零点的孤立性
1、考试内容：复级数的基本性质；幂级数的敛散性及其收敛半径、收敛圆的确定方法，幂级数和的解析性，幂级数的和函数在收敛圆周上的状况；解析函数的泰勒展式；解析函数零点的孤立性、唯一性定理、最大模原理。
2、考核要求：
（1）． 了解：复级数的基本性质；
（2）． 理解：幂级数的敛散性及其收敛半径、收敛圆的确定方法，泰勒定理，幂级数和的解析性；
（3）．掌握：解析函数的幂级数表示，一些初等函数的泰勒展式，幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性；
（4）．应用：解析函数的零点孤立性、唯一性定理、最大模原理的证明。
第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点
【本章重点】解析函数的洛朗展式
1、考试内容：解析函数的洛朗展式；解析函数的孤立奇点及其判断方法；解析函数在无穷远点的性质；整函数与亚纯函数的概念。
2、考核要求：
（1）．了解：双边幂级数，孤立奇点的类型，整函数与亚纯函数的概念；
（2）．理解：双边幂级数的敛散性，洛朗定理；
（3）．掌握：将解析函数在孤立奇点邻域内展成洛朗级数，收敛圆环的确定，判断孤立奇点类型；判断在无穷远点的孤立奇点类型。
第六章 留数理论及其应用
【本章重点】留数定理
1、考试内容：留数的定义，留数的求法，留数定理；利用柯西留数定理计算函数沿闭曲线的积分；用留数定理计算实积分；辐角原理、儒歇定理及相关证明。
2、考核要求：
（1）．了解：留数，对数留数；
（2）．理解：留数定理，辐角原理，儒歇定理；
（3）．掌握：利用柯西留数定理计算函数沿闭曲线的积分，用留数定理计算实积分；
（4）．应用：考察区域内解析函数零点分布状况，辐角原理、儒歇定理的证明。
三、 考试方式及试题类型：
1、 考试方法：采用闭卷、教考分离的方式进行考试
2、 考试时间：120分钟
3、 题目类型：填空或选择，计算题、证明题
4、 考试成绩计算：采用百分制，期末总成绩＝平时成绩×40％＋期末笔试×60％。
5、 根据教学目标，考试大纲列出了每一章要考核的知识点，并且按主要考核的知识层次从了解、理解、掌握和应用四个方面，分别对各知识点作了说明，其中了解层次约占20%，理解层次约占40%，理解层次约占30%，应用层次约占10%，考试的试题按照这四个层次、比例进行命题。
四、 教材及参考书：
使用教材：
《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社(第二版)，1998。
教学参考书：
1．《复变函数》，余家荣编，高等教育出版社(第四版)，2007.11。
2．《复变函数论基础》，沈燮昌编，上海科技出版社(第二版),1982。
3．《复变函数引论》，普里瓦洛夫著(苏)，人民教育出版社，1978.04。
4．《复分析》，阿尔福斯著(美)，上海科技出版社，2005.07。
5．《复变函数论》，朱静航编，辽宁人民出版社，1987.10

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