高考数学基础知识总结：第七章 直线和圆的方程.doc

§07. 直线和圆的方程知识要点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.
注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2、直线的斜率：
（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；
（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；
（3）直线的 方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？
（4）应用：证明三点共线： 。
3、直线的方程：
（1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。
（4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。
附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.
提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，）；
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.,直线两截距相等不要忘了直线过原点；
4.设直线方程的一些常用技巧：
（1）知直线纵截距，常设其方程为；
（2）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；
（3）与直线平行的直线可表示为；
（4）与直线垂直的直线可表示为
（5）过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）
5． ⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：
①和是两条不重合的直线.
②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）
推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.
⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：
① 设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.
② ，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）
6．点到直线的距离及两平行直线间的距离：
（1）点到直线的距离；
（2）两平行线间的距离为。
7．定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
8． 关于点对称和关于某直线对称（相关点法求解）：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.
9.简单的线性规划：
（1）二元一次不等式表示的平面区域的画法：直线定边界，点定区域，（任取一点，坐标代入不等数组成立则在区域内）
（2）目标函数最优解，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；
（3）求解线性规划问题的步骤是什么？
①根据实际问题的约束条件列出不等式；②做出可行域，写出目标函数；
③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。
（4）在求解线性规划问题时要注意：
①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。
易错点提示
1、直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解；直线方程有五种形式，其中点斜式要熟练掌握，这五种形式的方程表示的直线各有适用范围，解题时应注意不要丢解；含参数的直线方程问题用数形结合法常常简捷些。
2、直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推导。直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解。
3 、使用直线方程要注意方程的限制条件：例如点斜式和斜截式要求斜率存在；截距式不适用于过原点的直线；两点式要求直线既不与x轴垂直，也不与y 轴垂直。
二、圆的方程.
1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0
（3）求曲线方程的方法：.
①直接法：建系设点，列式表标,简化检验; ②参数法; ③定义法， ④待定系数法.
2. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.
特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.
注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程
②与轴相切的圆方程
③与轴轴都相切的圆方程
3. 圆的一般方程： .
当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.
当时，方程表示一个点.
当时，方程无图形（称虚圆）.
注：①圆的参数方程：（为参数）.
②方程表示圆的充要条件是：且且.
③圆的直径或方程：已知（用向量可征）.
4. 点和圆的位置关系：给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
5. 直线和圆的位置关系：
（几何法） 设圆圆：； 直线：；
圆心到直线的距离.
①时，与相切； 附：若两圆相切，则相减为公切线方程.
②时，与相交；附：公共弦方程：设

有两个交点，则其公共弦方程为.
③时，与相离. 附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程.
（代数法）由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：与相切； 与相交； 与相离.
注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线.
6.圆的切线与弦长：
(1)切线：
①过圆上一点圆的切线方程是：，
一般地(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2.
过圆上一点的切线方程为：.
②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；
（2）弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；
7．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则（1）当时，两圆外离；（2）当时，两圆外切；（3）当 时，两圆相交；（4）当时，两圆内切；（5）当时，两圆内含。

解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)

易错点提示：注意二元二次方程表示圆的条件，善于利用切割线定理，垂径定理等平面中圆的有关定理解题，注意将圆上动点到定点定直线的距离转化为圆心到它们的距离。