常微分方程作业(2013).doc

单选题
第1题 (2) 分
设有四个常微分方程：(i) , (ii) ,
(iii) , (iv) .

A、非线性方程有一个;

B、非线性方程有两个;

C、非线性方程有三个;

D、非线性方程有四个.

第2题 (2) 分
是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).
A. ,
B. ,
C. ,
D. .

A、.

B、.

C、.

D、.

第3题 (2) 分
是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).
A. ,
B. ,
C. ,
D. .

A、A

B、B

C、C

D、D

第4题 (2) 分
设和是方程组的两个基解矩阵, 则
A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.

A、.

B、.

C、.

D、.

第5题 (2) 分
设有四个常微分方程：
(i) , (ii) ,
(iii) , (iv) .

A、线性方程有一个;

B、线性方程有两个;

C、线性方程有三个;

D、线性方程有四个.

第6题 (2) 分
微分方程 是( ).

A、n阶变系数非齐次线性常微分方程;

B、n阶变系数齐次线性常微分方程;

C、n阶常系数非齐次线性常微分方程;

D、n阶常系数齐次线性常微分方程.

第7题 (2) 分
微分方程的一个解是( ).
A. , B. , C. , D. .

A、.

B、.

C、.

D、.

第8题 (2) 分
设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则
A. 的朗斯基行列式一定是正的;
B. 的朗斯基行列式一定是负的;
C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;
D. 的朗斯基行列式恒不为零.

A、A

B、B

C、C

D、D

第9题 (2) 分
满足初始条件和方程组的解为( ).
A. ; B. ; C. ; D. .

A、.

B、.

C、.

D、.

第10题 (2) 分
已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).
A. ; B. ; C. ; D. .

A、A

B、B

C、C

D、D

第11题 (2) 分
初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).
＋
A. 6; B. ; C. ; D. +.

A、.

B、.

C、.

D、.

第12题 (2) 分
下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.
(i) , (ii) ,
(iii) , (iv) .

A、1

B、2

C、3

D、4

第13题 (2) 分
可将一阶方程化为变量分离方程的变换为
A. ； B. ； C. ； D. .

A、.

B、.

C、.

D、.

第14题 (2) 分
可将六阶方程 化为二阶方程的变换是( ).
A.; B. ; C.; D..

A、.

B、.

C、.

D、.

第15题 (2) 分
设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是
A. B.
C. D.

A、.

B、.

C、.

D、.

多选题
第16题 (5) 分
以下利用参数法求解一阶隐方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是不能省略的:
解答：引入参数(A)，则原方程可以写为, 将此方程两边对x求导 (B), 可得:
, 或(C).
这是一个关于p和x的方程, 且是未知函数p的导数可以解出的一阶常微分方程, 进而还是变量分离型方程. 因此我们将这个方程分离变量:
.(D)
两边积分并求出积分可以得到（C是任意常数）:
,
因此, 将此式和参数的表达式联立, 即得原方程的参数形式解: (E)
.

A、.

B、.

C、.

D、.

E、.

第17题 (5) 分
以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的:
解答：记, 则(A),
注意到(B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算
, 因而方程有只与 x 有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：
.
将该积分因子乘在原方程的两端：(D),
分项组合为,
或可整理为(E), 最后得到原方程的通解
.

A、A

B、B

C、C

D、D

E、E

第18题 (5) 分
如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:
解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为
(A), , , .
故对应齐方程的通解为(B).
(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b是待定常数.
代入原方程可得
.
利用对应系数相等便得到代数方程组:
.
由此可解得(D), 故.
(iii) 原方程的通解可以表示为
(E).

A、.

B、.

C、.

D、.

E、.

第19题 (5) 分
求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步:
A. 因为,
B. 所以原方程是恰当方程;
C. 将方程中的重新分项组合,
D. 凑出全微分：,
E. 得到通解：.

A、A

B、B

C、C

D、D

E、E

第20题 (5) 分
利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的:
解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。令(A), 则
.
代入到原方程中可将原方程化为如下的一阶方程:
(B).
这是一个变量分离型的方程. 如果, 可得是原方程的解,
故不妨假设(C), 因此可以约掉一个z, 分离变量后有:
,
两边积分可得:
,
又由, 代入上述方程, 再次分离变量(D)
,
在等式两边积分可得原方程的通解(E):
.

A、.

B、.

C、.

D、.

E、.

第21题 (5) 分
以下各个步骤中的哪些能够证明方程的任何两个解之差当 x 趋向于正无穷大时趋向于零:
A. 原方程的任何两个解的差是对应齐次方程的解,
B. 对应齐次方程的特征根是,
C. 对应齐次方程的基本解组是,
D. =0, =0,
E. 原方程的任何两个解的差 当 x 趋向于正无穷大时趋向于零.

A、.

B、.

C、.

D、.

E、.

第22题 (5) 分
设为方程（ A 为常数矩阵）的一个基解矩阵，试指出如下的断言中哪些是错误的:
A. 可以是也可以不是原方程组的解矩阵,
B. 因为不知道是否有, 故无法判断是否是原方程组的基解矩阵,
C. 存在奇异的常数矩阵C, 使得,
D. 取, 可得到.
E. .

A、.

B、.

C、.

D、.

E、.

第23题 (5) 分
请查出求解一阶线性微分方程的过程中有错误的步骤:
A. 先求解对应齐方程：，分离变量可得,
B. 两边积分求出积分可以得到（C是任意常数）：,
C. 再将常数C 变易为函数：.
D. 代入到原方程中可以得到：,
E. 原方程的通解（C 是任意常数）：.

A、A

B、B

C、C

D、D

E、E

第24题 (5) 分
设有方程:, 以下步骤中正确的是:
A. 利用变量变换,
B. 由，有,
C. 代入原方程得到,
D. 整理后可得,
E. 分离变量得到.

A、A

B、B

C、C

D、D

E、E

第25题 (5) 分
试求方程组的基解矩阵，并求满足初始条件的解
其中, . 判断哪些步骤所得到的结果是正确的：
A. 齐次线性方程组的特征方程是,
B. 矩阵 A 的特征根为, 对应的特征向量可分别取为, .
C. 原方程组基解矩阵可取为: .
D. 标准基解矩阵为=.
E. 原方程组满足所给初始条件的解为

A、.

B、.

C、.

D、.

E、.

判断题
第26题 (4) 分
当用比较系数法求方程的一个特解时, 可将这个待定系数的特解设为.

正确

错误

第27题 (4) 分
欧拉方程的一个基本解组为.

正确

错误

第28题 (4) 分
平面上过点的曲线为, 该曲线上任一点处的切线与切点和原点的连线的夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程是, 初始条件为.

正确

错误

第29题 (4) 分
利用变换可将伯努利方程化为线性方程.

正确

错误

第30题 (4) 分
对于初值问题可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由
是在整个平面上连续并且关于y满足李普希茨条件.

正确

错误

1．第1题
可将六阶方程 化为二阶方程的变换是( ).
A.; B. ; C.; D..

A..
B..
C..
D..
答案:B
标准答案：B
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

2．第2题
初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).
＋
A. 5; B. ; C. ; D. +.

A..
B..
C..
D..
答案:D
标准答案：D
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

3．第5题
是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).
A. ,
B. ,
C. ,
D. .

A..
B..
C..
D..
答案:D
标准答案：D
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

4．第6题
已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).
A. ; B. ; C. ; D. .

A..
B..
C..
D..
答案:B
标准答案：B
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

5．第7题
设和是方程组的两个基解矩阵, 则
A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
C. ;
D. .

A..
B..
C..
D..
答案:A
标准答案：A
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

6．第8题
已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).
A. ; B. ; C. ; D. .

A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
标准答案：A
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

7．第9题
已知, 和是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).
A. 3; B. 6; C. 9; D. 12.

A..
B..
C..
D..
答案:A
标准答案：A
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

8．第10题
微分方程 是( ).

A. n阶常系数非齐次线性常微分方程;
B.n阶变系数齐次线性常微分方程;
C.n阶变系数非线性常微分方程;
D.n阶常系数非线性常微分方程.
答案:B
标准答案：B
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

9．第11题
设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是
A. B.
C. D.

A..
B..
C..
D..
答案:B
标准答案：B
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

10．第12题
满足初始条件和方程组的解为( ).
A. ; B. ; C. ; D. .

A..
B..
C..
D..
答案:B
标准答案：B
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

11．第15题
可将一阶方程化为变量分离方程的变换为
A. ； B. ； C. ； D. .

A..
B..
C..
D..
答案:D
标准答案：D
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

12．第16题
设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则
A. 的伏朗斯基行列式恒为零;
B. 的伏朗斯基行列式或恒为零, 或恒不为零;
C. 的伏朗斯基行列式恒不为零;
D. 无法判断的伏朗斯基行列式是否为零.

A..
B..
C..
D..
答案:C
标准答案：C
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

13．第17题
微分方程的一个解是( ).
A. , B. , C. , D. .

A..
B..
C..
D..
答案:D
标准答案：D
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

14．第18题
初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).
＋
A. 6; B. ; C. ; D. +.

A..
B..
C..
D..
答案:D
标准答案：D
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

15．第19题
设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是
A. B.
C. D.

A..
B..
C..
D..
答案:A
标准答案：A
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

16．第20题
可将六阶方程 化为二阶方程的变换是( ).
A.; B. ; C.; D..

A..
B..
C..
D..
答案:D
标准答案：D
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

17．第24题
可将一阶方程化为变量分离方程的变换为
A. ； B. ； C. ； D. .

A..
B..
C..
D..
答案:A
标准答案：A
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

18．第26题
设和是方程组的两个基解矩阵, 则
A. ;
B. ;
C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.

A..
B..
C..
D..
答案:C
标准答案：C
您的答案：
题目分数：3.0
此题得分：0.0

19．第3题
平面上过点的曲线为, 曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为( ， ).

答案:
, .

标准答案：
, .
您的答案：
题目分数：6.0
此题得分：0.0

20．第4题
利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程( ).

答案:
, .

标准答案：
, .
您的答案：
题目分数：5.0
此题得分：0.0

21．第13题
欧拉方程的一个基本解组为( ).

答案:
.

标准答案：
.
您的答案：
题目分数：6.0
此题得分：0.0

22．第14题
当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为( ).

答案:

标准答案：

您的答案：
题目分数：6.0
此题得分：0.0

23．第21题
利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程( ).

答案:
, .

标准答案：
, .
您的答案：
题目分数：5.0
此题得分：0.0

24．第22题
对于初值问题, , 可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由是 ( ).

答案:
连续且关于 y 满足局部利普希茨条件.

标准答案：
连续且关于 y 满足局部利普希茨条件.
您的答案：
题目分数：6.0
此题得分：0.0

25．第23题
当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为( ).

答案:

标准答案：

您的答案：
题目分数：6.0
此题得分：0.0

26．第25题
对于初值问题, , 可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由是 ( ).

答案:
连续且关于 y 满足局部利普希茨条件.

标准答案：
连续且关于 y 满足局部利普希茨条件.
您的答案：
题目分数：6.0
此题得分：0.0

作业总得分：0.0
作业总批注：