单晶压电悬臂梁等效粘性阻尼建模与实验分析.doc

第 期 房立清，等：单晶压电悬臂梁等效粘性阻尼建模与实验分析 7

文章编号

单晶压电悬臂梁等效粘性阻尼建模与实验分析
房立清，张磊，郭德卿，马子龙，陈永超
（军械工程学院 火炮工程系，河北 石家庄 050003）

摘 要：为了完善压电悬臂梁非耦合集总参数模型，进而为压电振子的优化设计提供更为可靠的理论依据，对单晶压电振子等效粘性阻尼系数进行了理论建模研究。首先，根据机械振动理论以及阻尼理论，从能量的角度出发建立了单晶压电振子等效阻尼系数的理论模型。接着，针对基板材料性能，结构尺寸以及截面形状等不同因素对等效机械阻尼及电阻尼的影响规律进行了分析。最后，制备了三组不同形状尺寸的压电振子样品，并进行了冲击振动试验，验证了理论分析结果。研究表明，压电材料层对整体阻尼的影响主要取决于基板与压电材料的弹性模量比；压电材料每个振动周期的电能损耗与悬臂梁长度的三次方成正比，与宽度成反比；而决定振幅放大因子的阻尼比并非随结构尺寸单调变化。实验结果与理论模型误差在2.5%到14.7%之间，证明了理论模型的可靠性。分析表明，在可承受极限载荷相同的情况下，静态特性最优的变曲面悬臂梁，动态特性并非最佳。对于压电振子的优化设计具有一定现实意义。
关键词：等效粘性阻尼；单晶压电悬臂梁；建模；实验
中图分类号：TJ35；TK89；TB34 文献标识码：A
Modeling and experimental analysis of piezoelectric unimorph cantilever equivalent viscous damping
FANG Li-Qing, ZHANG Lei

（Dept. of Artillery Engineering ,Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China）

Abstract: In order to perfect the simulation model of piezoelectric unimorph cantilever, thus to provide more reliable theoretical basisfor the optimal design of piezoelectric vibrator , the vibrator equivalent viscous damping coefficient were analysed . First of all, the analysis model of vibrator equivalent viscous damping coefficient were established established from the perspective of energy according to the theory of mechanical vibration and damping theory. Then, the influences of the material properties, structural dimensions as well as the cross-section shape on the machinery and electricity damping coefficient are analyzed. Finally, prepared three groups piezoelectric vibrator samples with different shape, size, and the impact vibration test were proceeded to verify the theoretical analysis. The results show that the impact of piezoelectric material layer on the overall damping depends on the elastic modulus ratio of the substrate and the piezoelectric material; in each vibration cycle, the piezoelectric material power loss is proportional to the cube of the cantilever length, and inversely proportional to the width; the damping ratio which is conclusive to amplitude amplification factor is not varies with the structure size monotonically. There was difference of 2.5% and 14.7% between the experimental results and theoretical model which proved the reliability of the theoretical model. While the extreme load is same which could withstand, the same case, piezoelectric unimorph cantilever with variable surface with optimal static characteristics may not with the best dynamic characteristics. For the optimal design of piezoelectric vibrator has a certain practical significance.
Key words: Equivalent viscous damping; Piezoelectric unimorph cantilever; Modeling; Experiment

7
1 引言
随着集成电路和便携式电子设备日益广泛的应用，发展基于环境振动能量捕获的无源供能技术，以有效地为低耗能的微型系统供电成为当前国内外研究的热点领域。其中，压电发电以其结构简单、不发热、无电磁干扰、无污染和易于实现机构的微小化、集成化等诸多优点而受到广泛关注[1-2]。
现有的压电悬臂梁分析理论主要包括阚君武等根据力学理论推导的静载模型[3], SMITS提出的能量方法[4]，丁皓江等提出的多项式解[5-6]以及Roundy提出的质量-弹簧单自由度系统简化模型[7]等。其中，Roundy模型由于形式简单，易于求解，便于等效为电路形式而得到广泛应用。但是为了提高压电悬臂梁在振动激励下的发电效能，在利用该模型对振动问题进行求解的过程中，阻尼项往往被忽略或仅以一个未知系数代替，必然对压电悬臂梁的优化设计造成一定误差。本文根据机械振动理论中的阻尼分析方法，建立了单晶压电振子阻尼系数的理论模型，并针对不同材料，结构尺寸及截面形状对压电悬臂梁阻尼的影响进行了理论及实验分析。
2单晶压电悬臂梁单自由度模型
图1为矩形单晶压电悬臂梁的结构示意图。压电悬臂梁由金属基板、压电材料和支座组成。在金属基板的表面粘贴压电材料，在金属层和压电材料上分别引出电极。悬臂梁的一端固定在支座上。随着环境的振动，悬臂梁弯曲变形，进而引起压电层内应变和应力的变化，由于压电效应，压电层的上下极之间将产生变化的电势差，为负载供电。

图1 单晶压电悬臂梁
Fig.1 Sketch map of piezoelectric unimorph cantilever
为分析压电悬臂梁的动态特性，Roundy等将上述结构简化为质量-弹簧单自由度系统，如图2所示。根据振动理论，系统的振动方程可以描述为
(1)
式中，，分别代表系统等效质量及刚度，，为系统振动过程中电能与机械能耗散所对应的电阻尼系数，为位移，表示外载荷。

图2 压电悬臂梁等效振子
Fig.1 Schematic of generic vibration converter
压电悬臂梁所产生的电功率即为电阻尼做功功率
(2)
解单自由度振动方程，带入(2)式得，电能转换表达式为
(3)
式中为位移响应，为系统固有频率，、分别为电阻尼比及整体结构阻尼比。
3 等效粘性阻尼建模
由于压电悬臂梁所等效的单自由度系统存在非粘性阻尼，导致振动方程非线性。为简化微分方程求解，用一个等效线性粘性阻尼系数来近似计算[8]。
对于压电材料，振动过程中消耗的能量包括材料本身内摩擦造成的能量损失，以及由于压电效应而产生的电能损失。
就机械损耗而言，实验指出，在一个循环过程中由内摩擦引起的单位体积释放的能量与速度及频率无关，可近似视为与振幅平方成正比[9]，即
(4)
而对于电损耗，以静载条件下压电悬臂梁产生的电能近似代替。当悬臂梁自由端受到载荷作用时，梁上处产生电荷量为
(5)
式中，为压电层上表面到压电悬臂梁中性轴的距离，为压电层对中性轴的惯性矩，为压电悬臂梁宽度，为梁长。
近似认为压电材料静态电容与面积成正比，设单位面积电容为，则总电容可视为。
设压电悬臂梁所受正弦激，其振动频率与压电悬臂梁固有频率相等。根据振动理论，系统的稳态响应为

(6)

由于激励频率与固有频率相等，上式可简化为
(7)
对压电悬臂梁产生的电能损耗进行积分，得压电层在一个振动周期内产生总电能为：

(8)

对压电材料在一个振动周期内的动能及势能进行积分，得振动周期内的总机械能为
(9)

则压电层的损耗因子为

(10)

将单晶压电悬臂梁视为一种附加阻尼结构，基板为基本弹性层，压电材料为自由阻尼层。根据附加阻尼理论，自由阻尼层结构组合梁的损耗因子为[8]

(11)

式中，为阻尼层厚度与基本弹性层厚度之比；，为阻尼层杨氏模量与基本弹性层杨氏模量之比；
在共振条件下阻尼损耗因子与其他参数的关系式如下：
(12)
联立上述各式求解，舍去错误项，得单晶压电悬臂梁的等效粘性阻尼系数为
(13)
4 数值仿真计算
为研究结构尺寸，截面形状，材料性能对压电悬臂梁阻尼的影响规律。分别针对不同基板材料以及截面形状的单晶压电悬臂梁进行数值仿真分析。
4.1 材料影响规律
单晶压电悬臂梁常采用的压电层材料主要包括压电薄膜PVDF及压电陶瓷PZT两类。尤其对于以PVDF作为压电层的单晶压电悬臂梁，由于PVDF极薄，一般在30-500之间，基板厚度明显大于压电层，因而该类结构的阻尼构成中，基板阻尼将占绝大部分。为使压电悬臂梁的发电效能最大化，应尽可能提高附加阻尼即压电层对应损耗因子在组合结构损耗因子中所占的比例。
表1为三类基板材料，PVDF及PZT-5H的性能参数。
表1材料性能参数
Tab.1Property parameters of materials
材料
弹性模量
密度
泊松比
磷青铜
115
8800
0.35
铝
73
2700
2700
钼
340
10200
0.2
PVDF
2.5
1780
0.33
PZT-5H
45
7500
0.265

分别针对PVDF及PZT在不同基板材料下的压电层能量损耗因子比例进行分析，如下图所示，

图3与关系曲线
Fig.3 vs. thickness ratio
图3为 与厚度比的关系曲线，它说明基板弹性模量值越小，附加压电材料与基板厚度比对整体阻尼产生影响越大。当基板与压电材料弹性模量比值一定时， 随厚度比单调上升，由PZT的关系曲线图，还可发现损耗因子比例存在一定极值。事实上，由于考虑到实际，对PVDF压电悬臂梁厚度比仅取值到0.3，如果基板可以加工到足够薄，其关系曲线将呈现相同趋势。在上升区，取决于的乘积，即具有最高值的材料，在给定厚度下给出结构的最大阻尼[8]。
通过图3可以看出，整体结构的阻尼损耗因子明显小于压电材料的损耗因子。事实上，压电悬臂梁可视为另一种附加阻尼结构，即压电材料为基本弹性层，基板为自由阻尼层。不同于其他以增加阻尼为目的的附加阻尼结构，基板作为自由阻尼层的目的是减小阻尼，以改善整体结构的振动特性，这也恰恰符合压电悬臂梁结构采用基板的初衷。
4.2结构尺寸影响规律
对于基板以及压电材料对应的机械阻尼，近似认为单位体积损耗的能量与振幅平方成正比，即阻尼与结构的三维尺寸成二次比例关系。根据式（9）可知，压电材料每个振动周期的电能损耗与悬臂梁长度的平方成正比，与宽度成反比。
在压电梁的设计制作过程中，基板厚度是影响单位载荷作用下所产生电能最为重要的结构尺寸。因而基板厚度的取值将对压电材料的电能损耗因子比例产生重要影响。而压电悬臂梁的厚度参数对于其电能损耗的影响是非线性的，在其他参数确定的情况下，固定压电层厚度，电能损耗随基板厚度的变化曲线如下图所示

图4基板厚度对电能的影响
Fig．4Electrical energy vs. thickness of plate
由上图可见，并非基板越薄，在振动过程中产生的电能越多。虽然在同样条件下，基板的厚度越小，单位力引起的变形越大，但由于中性层位置以及压电层对中性层惯性矩的改变，导致电能随基板厚度变化与大阻尼衰减曲线近似。从另一方面证明了单晶压电悬臂梁最佳厚度比的存在[3]。
分别取基板厚度为0.35，0.3及0.2毫米，压电材料厚度对电能损耗的影响曲线如图5所示。通过分析可以发现，基板越薄，压电层厚度变化对电能损耗影响越大。当压电层达到一定厚度时，由于结构振动性能减弱，电能损耗将趋近于零。

图5压电层厚度对电能的影响
Fig．5Electrical energy vs. thickness of piezoelectric material
4.3截面形状影响规律
如果不考虑振动过程中电能的损耗，将压电梁视为纯粹的材料复合梁。则等效粘性阻尼系数的取值将仅与材料性质，厚度比以及结构固有频率相关。在其他条件确定的情况下，截面形状的改变将直接影响到系统的固有频率，进而使等效阻尼系数发生改变。
目前研究较多的单晶压电悬臂梁包括矩形梁，梯形梁，三角形梁以及等应变梁[10,11]，由于等应变梁涉及到变厚度，无论加工或理论分析存在相异性，本文仅就等厚度形式进行分析。
为后续计算简便，以指数形式表示压电梁宽度方向的形状函数。在可承受载荷相同的情况下，不同压电梁的根部宽度一致，设为。以自由端中点为原点建立坐标系，则压电梁的形状函数为

(14)

根据多层复合材料弹性模量计算公式，单晶压电悬臂梁的等效弹性模量为[10]

(15)

根据瑞利法，单晶压电悬臂梁在自由端的等效质量为
(16)
由于压电梁的中性轴并非横截面对称轴，直接积分法求解弯曲变形的自然条件不满足[12]，因此忽略粘结层的影响，把压电梁视为两个独立部分进行求解，得等效刚度系数为
(17)

需要指出的是，对于压电陶瓷而言，粘结层弹性系数较低，且尺寸较薄，对变形的影响可忽略不计，但是对于压电薄膜，忽略粘结层影响将使理论计算结果产生较大误差[12]。
根据振动理论，单自由度系统固有频率与等效质量及刚度系数的关系为
(18)
单晶压电悬臂梁的等效粘性阻尼系数随形状函数参数的变化如下图所示

图6压电梁形状对阻尼的影响
Fig．6Electrical energy vs.shape of plate
通过图4可以看出，等效粘性阻尼系数随压电梁根部宽度增加平缓上升。而形状函数指数系数在很小范围内的变化将对阻尼系数的取值产生重大影响。
5 试验测试与数据分析
为验证理论分析结果，分别制备了不同长度，不同宽度以及不同形状函数的三组单晶压电悬臂梁。如图7所示

图7 单晶压电悬臂梁样品
Fig．7 Piezoelectric unimorph cantilevers
由于压电悬臂梁尺寸较小，附加传感器测量其位移或应变将对振动产生不可忽略的影响，考虑到压电层本身也可视为一种将机械信号转化为电信号的“传感器”，只是转换关系未知，因此无论在时域还是频域，电信号的衰减特性曲线可近似代表压电梁的机械振动衰减曲线。
分别在三组不同压电悬臂梁末端施加随机的冲击载荷，用示波器记录其在振动过程中产生的电压衰减信号。通过傅里叶变换得到其幅频特性曲线。以曲线峰值处所对应的频率作为压电悬臂梁等效单自由度系统的固有频率，利用半功率法求得系统的阻尼比[13]。

图9 变长度压电悬臂梁振动幅频特性曲线
Fig．9 Amplitude-frequency characteristic curve of variable length piezoelectric cantilever

表2变长度压电悬臂梁阻尼比
Tab.2 Damping ratio of variable length piezoelectric cantilever

梁长
2.65
2.4
2.25
1.75
固有频率
119.5
138.6
151.3
277.8
实测阻尼
0.084
0.073
0.066
0.036
理论阻尼
0.082
0.0674
0.0595
0.035

图10 变宽度压电悬臂梁振动时域图
Fig．10 Time domain of variable width piezoelectric cantilever

图11 变宽度压电悬臂梁振动幅频特性曲线
Fig．11 Amplitude-frequency characteristic curve of variable width piezoelectric cantilever

表3变宽度压电悬臂梁阻尼比
Tab.3 Damping ratio of variable width piezoelectric cantilever
梁宽
0.75
0.6
0.4
0.3
固有频率
100
93.24
54.39
41.71
实测阻尼
0.095
0.114
0.184
0.240
理论阻尼
0.109
0.128
0.196
0.246

通过分析上述图表可以发现压电悬臂的阻尼比与其固有频率不同，并不随结构尺寸参数呈线性变化。利用所建立模型，理论计算所得结果能较好的反应出压电振子等效阻尼比的变化趋势，但是仍存在一定误差，特别是随着结构尺寸的增大，误差越加明显。假设材料机械阻尼损耗因子不变的前提成立，则这一现象可解释为，由于在固有频率的计算中，为简化计算而忽略了压电性的存在，当尺寸增大时，压电材料电阻尼损耗随之增加，引起误差不断放大。
变截面形状压电振子的时频域特性曲线如下图所示。

图12 变截面形状压电振子时频域特性曲线
Fig．12 frequency and domain characteristics curve of variable cross-section shape

表4变截面形状压电悬臂梁阻尼比
Tab.4 Damping ratio of variable cross-sectional shape piezoelectric cantilever
变形系数
0
28.9
74.66
固有频率
133.9
132.2
60.46
实测阻尼比
0.099
0.2345
0.7046

在压电悬臂梁优化设计过程中，从静态特性出发，普遍认为变截面梁要优于等截面梁。但就动态特性而言，由于阻尼比直接决定了振幅放大因子，因而在可承受极限载荷相同的情况下，阻尼比较小的等截面梁输出未必小于变截面梁。
6 结论
本文根据压电方程，机械振动及阻尼理论建立了单晶压电振子等效粘性阻尼系数的仿真分析模型。并对基板材料性能，结构尺寸以及截面形状对等效机械阻尼及电阻尼的影响规律进行了理论研究及实验验证。研究结果表明，基板弹性模量值越小，附加压电材料对整体阻尼产生影响越大；相比于长度及宽度，压电悬臂梁的厚度对其阻尼的影响更为重要；而决定振幅放大因子的阻尼比并非随结构尺寸单调变化。实验结果与理论模型误差在2.5%到14.7%之间，证明所建立的等效阻尼系数理论模型是正确可信的。同时分析发现在可承受极限载荷相同的情况下，静态特性最优的变曲面悬臂梁，动态输出特性未必优于等截面梁。在压电振子的优化设计中往往仅考虑静态性能，常见的三角形，梯形以及等应变梁形式都是基于此所得到的优化设计。本文的结论为今后的压电振子优化设计提供了一个新的方向。
文中，关于压电材料电损耗的计算，以静载条件下的电能公式求解振动周期内损耗的电能，忽略了形变对于激励的滞后性，难免引起误差，电能的计算值将比实际值偏大。同时，在计算附加阻尼结构时，由于二次压电效应，变形量受到产生电荷的影响，压电材料对应的弹性模量既应包括机械性能影响也应包括电性能影响。上述问题有待在进一步研究中加以解决。

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