不可扩张纠缠基在系统粗化后的扩张性.pdf

第 卷第期 年月太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)J OUR NA LO FT A I YUANN O RMA LUN I V E R S I T Y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l N o J u n 收稿日期:基金项目:国家自然科学基金()作者简介:张艳青(),女,山西长治人,太原师范学院数学系在读硕士研究生,主要从事矩阵数据分析与科学计算研究通信作者:王川龙,教授,E m a i l:c l w a n g c o m不可扩张纠缠基在系统粗化后的扩张性张艳青,王川龙(太原师范学院 数学与统计学院,山西 晋中 )摘要针对三体系统d d中的特殊S c h m i d t 秩不可扩张纠缠基(S U E B),判断了其在系统粗化后的扩张性首先构造了d 中的S U E B,运用由m体构造m体系统中U E Bk的方法,又构造了d d中的S U E B 发现d d中的S U E B 在系统粗化后不全是S U E B s,对于系统粗化后不是S U E B s的向量通过增加向量得到了S U E B s,且和文献中的S U E B s是不等价的 关键词不可扩张纠缠基;系统粗化;扩张性 文章编号 ()中图分类号O 文献标识码A 引言不可扩张乘积基(u n e x t e n d i b l ep r o d u c tb a s i s,简记U P B)这个概念首次是B e n n e t t在 年提出的,它是一组不完备的正交乘积态,其补空间没有乘积态不可扩张乘积基在量子信息方面的应用很广泛例如,不可扩张乘积基可以用来构建正部分转置纠缠态 ,不可分解正映射和真纠缠空间 年,B r a v y i和S m o l i n定义了不可扩张极大纠缠基(u n e x t e n d i b l em a x i m a l l ye n t a n g l e db a s i s,简记UME B)的概念不可扩张极大纠缠基是一组不完备的正交的极大纠缠态,其补空间没有极大纠缠态 年,郭钰等学者推广了U P B和UME B的概念,提出了S c h m i d tk秩不可扩张纠缠基(u n e x t e n d i b l eb a s i sw i t hS c h m i d tn u m b e rk,简记U E Bk)S c h m i d tk秩不可扩张纠缠基是一组不完备的正交的S c h m i d t秩为k的纠缠态,其补空间没有S c h m i d t秩为k的纠缠态对不可扩张基的研究主要在其构造及个数问题上 B r a v y i和S m o l i n给出了 中个数为的UME B和 中个数为 的UME B 年,郭钰等学者证明了在任意的两体系统d d(kdd)中都存在U E Bk,并且给出了构造任意两体系统U E Bk的方法 年,郭钰等学者给出了由m体系统中的U E Bk构造m体系统中U E Bk的方法(m),并且证明了在任意的多体系统d d dm中都存在无穷多U E Bks 可以看到,不可扩张基的存在性及构造问题是此领域的一个重要研究课题 年陈霖 等学者讨论了 q u b i t中个数为,和的U P Bs在系统粗化H 和K 中的扩张性,得到了在H中存在个个数为的U P B和个个数为的U P Bs,在K中存在个个数为的U P Bs本文详细研究了d d中的特殊S c h m i d t 秩不可扩张纠缠基(S U E B)在系统粗化后的扩张性,并讨论了系统粗化后不是S U E B 的向量如何通过增加向量得到S U E B 预备知识首先引入一些定义来为文章的主要结果作铺垫定义(S c h m i d tk秩不可扩张纠缠基)若 i d d:i,n,ndd,满足a)S r(|i)k,i,n;b)i|ji j;c)i|,i,n,蕴涵S r(|)k则称|i为一个n元S c h m i d tk秩不可扩张纠缠基(u n e x t e n d i b l e e n t a n g l e db a s i sw i t hS c h m i d tn u m b e rk,简称U E Bk)特别地,若U E Bk每个元的S c h m i d t系数都为k,则称其为特殊S c h m i d tk秩不可扩张纠缠基(s p e c i a lu n e x t e n d i b l ee n t a n g l e db a s i sw i t hS c h m i d tn u m b e rk,简记S U E Bk)定义设|idddm具有S c h m i d t分解|k jj|e()j|e()j|e(m)j,记|l:|e()l|e()l|e(m)l,j,k假设|i 是d d dm中的一组n元m体U E Bk,kd,|j 是dm 中的一组可计算标准正交基令|(m)i,j:k lil|li|jl,()其中jl表示模dm 加法,i,n,j,dm 如果(m)i,j|(m)p,qi jp q,则由式()定义的|(m)i,j 是d d dm 中的一个U E Bk 下面介绍在d d中构造S U E Bk的方法当ds kr,rk,dt k时,设|i j m n:kk pn pk|(i)kp|(j)kp)m),()其中i,s,j,t,m,n,k,xm表示模d加法,ke ik则|i j m n 是d d中的一个s t k元S U E Bk 当ds k,dt k时,设|i j m n:kk pn pk|(i)kp)m|(j)kp),()其中i,s,j,t,m,n,k,xm表示模dkq加法,qk,ke ik在|i j m n:当is时,mq,q,k是d d的一个t k(s kkq)元S U E Bk 接下来给出系统粗化的具体描述设HHHHn是n体系统的态空间,如果H H H m,m,其中H jkSjHk,j,m,mjSj,n 且对j,k,SjSk 则H 是n体希尔伯特空间H的m体系统粗化为了清晰,用P()(n)A B:C,P()(n)A CB,P()(n)B CA分别表示三体系统中的一个n元S U E Bk在系统粗化A B|C,A C|B,B C|A中的向量,用W()(n)A B:C,W()(n)A C:B,W()(n)B C A分别表示三体系统中的S U E Bk在系统粗化A B|C,A C|B,B C|A中不是S U E Bk的向量进行扩充后的n元向量 主要结果以下向量是根据式()构造的d(d)中个数为d的S U E B|,|,|,|,|,|,|,|,|d ,d|d|d|,|d,d|d|d,太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)第 卷|d,d|d|d|,|d,d|d|d|以下向量是根据式()构造的d(|d且d)中个数为d的S U E B|,|,|,|d,d|d|d|,|d,d|d|d,d|,|d,d|d,d|d|d|,|d,d|d|以下向量是d(d)由式()构造的d d(d,d)中个数为(d)d的S U E B|,|,|d,d|d|d,|d,d|d|,|(d)d,(d)d|d|d|,|(d)d,(d)d|d|d|d|d,|(d)d,(d)d|d|d|d|以下向量是d(|d)由式()构造的d d(|d且d,d)中个数为(d)d的S U E B|,|,|d,d|d|d,|d,d|d|,|(d)d,(d)d|d|,|(d)d,(d)d|d|d|d,第期张艳青,等:不可扩张纠缠基在系统粗化后的扩张性|(d)d,(d)d|d|d|现在考虑以上三体系统d d(d,d)中的S U E B 在系统粗化A B|C,A C|B,B C|A后的扩张性,并讨论不是S U E B 的向量是否可以扩充为S U E B 有以下结论定理(i)P()(d)d)A BC不是d d中的S U E B,但它能扩充为d d中个数为dd的S U E B(i i)P()(d)d)A CB不是dd 中的S U E B,但它能扩充为dd 中个数为dd的S U E B(i i i)P()(d)d)B CA是d d中的S U E B 证明(i)当d时,能找到|(d)|(d)|,正交于P()(d)d)A BC中所有的向量;当d时,能找到|(d)|(d)|,正交于P()(d)d)A BC中所有的向量所以,P()(d)d)A BC不是d d中的S U E B,且能扩充为以下个数为dd的S U E B)当d时,扩充后的向量如下:P()(d)A BC表示的向量不在此一一列出,仅列出了扩充后的向量|d,d|(d)|(d)|,|d,d|(d)|(d)|,|d,d|(d)|(d)|令P()(d)A BC|i,i,d,现 证 明W()(d)A BC|i,i,d|j,jd,d 是d 中个数为d的S U E B 易验证,W()(d)A BC中的向量是两两正交的,且每个向量的S c h m i d t秩为接下来证明不可扩张性设W()(d)A BC张成的空间为V,则d i mVd,d i m(V)不难看出任意|V都可以表示为|a|(d)|a|(d)|即S r(|)证毕)当d时,扩充后的向量如下:P()(d)d)A BC表示的向量不在此一一列出,仅列出了扩充后的向量|(d)d,(d)d|(d)|(d)|,|(d)d,(d)d|(d)|d|(d)|d,|(d)d,(d)d|(d)|d|(d)|,|(d)d,(d)d|(d)|(d)|,|dd,dd|(d)|d|(d)|d,|dd,dd|(d)|d|(d)|令P()(d)d)A BC|i,i,(d)d,现证明W()(dd)A BC|i,i,(d)d|j,j(d)d,dd 是d d中一组个数为dd的S U E B 太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)第 卷易验证,W()(dd)A BC中的向量是两两正交的,且每个向量的S c h m i d t秩为接下来证明不可扩张性设W()(dd)A BC张成的空间为V,则d i mVdd,d i m(V)不难看出任意|V都可以表示为|a|(d)|da|(d)|d即S r(|)证毕i i)能找到|(d)|(d)|正交于P()(d)d)A CB中所有的向量,所以P()(d)d)A CB不是dd 中的S U E B,且可以扩充为以下个数为dd的S U E B P()(d)d)A CB表示的向量不在此一一列出,仅列出了扩充后的向量)当|d时,扩充后的向量如下:|(d)d,(d)d|(d)|(d)|,|(d)d,(d)d|(d)|(d)|,|(d)d,(d)d|(d)|(d)|,|(d)d,(d)d|(d)|(d)|,|dd ,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd ,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd ,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd,dd|(d)(d)|(d)(d)|)当 d时,扩充后的向量如下:|(d)d,(d)d|(d)|(d)|,|(d)d,(d)d|(d)|(d)|,|(d)d,(d)d|(d)|(d)|,|(d)d,(d)d|(d)|(d)|,|dd ,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd ,dd|(d)(d)|(d)(d)|,第期张艳青,等:不可扩张纠缠基在系统粗化后的扩张性|dd ,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd ,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd ,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd,dd|(d)(d)|(d)(d)|,|dd,dd|(d)(d)|(d)(d)|令P()(d)d)A CB|i,i,(d)d,现 证 明W()(dd)A CB|i,i,(d)d|j,j(d)d,dd 是d d中个数为dd的S U E B 易验证,W()(dd)A CB中的向量是两两正交的,且每个向量的S c h m i d t秩为接下来证明不可扩张性设W()(dd)A CB张成的空间为V,则d i mVdd,d i m(V)不难看出,任意|V都可以表示为|a|(d)(d)|a|(d)(d)|即S r(|)证毕(i i i)易验证,P()(dd)A CB中的向量是两两正交的,且每个向量的S c h m i d t秩为接下来证明不可扩张性设P()(dd)A CB张成的空间为V,则d i mV d()d,d i m(V)d不难看出,任意|V都可以表示为|(a|a|ad|(d)ad|ad|ad|(d)ad|ad|ad|(d)ad|ad|ad|(d)|d即S r(|)证毕在定理中,通过对d d系统粗化得到了S U E B s,并且与文献中的S U E B s进行了比较(详见表),发现它们是不等价的为简单起见,d d将缩写为dd表dd(d,d)系统粗化后得到的S U E B 与文献中的S U E B 的比较系统本文S U E B 个数文献S U E B 个数dd(d,d且 d)dddddddd,d()dddd(d,d且|d)ddddd,ddddd(d,d且 dd)dddddd(d,d且|dd)dddd,dd 总结总之,通过对d d中的S U E B 系统粗化得到了新的S U E B 当系统粗化后,S U E B 可能仍然S U E B 或不再是S U E B 对于系统粗化后不是S U E B 的向量可以通过增加一些向量使其扩充为S U E B 用详细的例子进行了说明,如:得到了d中个数为d的S U E B,并且得到的S U E B 与文献中的S U E B 是不等价的,所以可以通过系统粗化去得到S U E B 参考文献:B E NN E T TCH,D I V I N C E N Z ODP,MO RT,e ta l U n e x t e n d i b l ep r o d u c tb a s e sa n db o u n de n t a n g l e m e n tJ P h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s,():S H IF,L IMS,Z HAN GXD,e ta l U n e x t e n d i b l ea n du n c o m p l e t a b l ep r o d u c tb a s e s i ne v e r yb i p a r t i t i o nJ N e wJ o u r n a lo fP h y s i c s,:B E NN E T TCH,D I V I N C E N Z ODP,F U CH SCA,e ta l Q u a n t u mn o n l o c a l i t yw i t h o u te n t a n g l e m e n tJ P h y s i c a lR e v i e wA,():太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)第 卷D I V I N C E N Z ODP,MO RT,S HO RPW,e ta l U n e x t e n d i b l ep r o d u c tb a s e s,u n c o m p l e t a b l ep r o d u c tb a s e sa n db o u n de n t a n g l e m e n tJ C o mm u n i c a t i o n s i nM a t h e m a t i c a lP h y s i c s,():P I T T E N G E RAO U n e x t e n d i b l ep r o d u c tb a s e s a n d t h e c o n s t r u c t i o no f i n s e p a r a b l e s t a t e sJ L i n e a rA l g e b r aa n d I t sA p p l i c a t i o n s,(/):T E RHA LBM Af a m i l yo f i n d e c o m p o s a b l ep o s i t i v e l i n e a rm a p sb a s e do ne n t a n g l e dq u a n t u ms t a t e sJ L i n e a rA l g e b r aa n dI t sA p p l i c a t i o n s,(/):S O L L I DP,L E I NAA SJM,MY RHE I MJ U n e x t e n d i b l ep r o d u c tb a s e sa n de x t r e m a l d e n s i t ym a t r i c e sw i t hp o s i t i v ep a r t i a lt r a n s p o s eJ P h y s i c a lR e v i e wA,():D EM I AN OW I C Z M,AUGU S I AKR F r o mu n e x t e n d i b l ep r o d u c tb a s e st og e n u i n e l ye n t a n g l e ds u b s p a c e sJ P h y s i c a lR e v i e wA,():B R I E G E LHJ,R AU S S E N D O R FR P e r s i s t e n te n t a n g l e m e n t i na r r a y so f i n t e r a c t i n gp a r t i c l e sJ P h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s,():T TH G,KNA P PC,GHN EO,e t a l O p t i m a l s p i ns q u e e z i n gi n e q u a l i t i e sd e t e c tb o u n de n t a n g l e m e n t i ns p i nm o d e l sJP h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s,():C HE NL,F R I E D L AN DS T h e t e n s o r r a n ko f t e n s o rp r o d u c t o f t w o t h r e e q u b i tWs t a t e s i s e i g h tJ L i n e a rA l g e b r aa n d i t sA p p l i c a t i o n s,:G U R V I T SL C l a s s i c a l d e t e r m i n i s t i c c o m p l e x i t yo fE d m o n d sp r o b l e ma n dq u a n t u me n t a n g l e m e n tCP r o c e e d i n g so f t h eT h i r t y F i f t hA n n u a lA C MS y m p o s i u mo nT h e o r yo fC o m p u t i n g N e wY o r k:A s s o c i a t i o n f o rC o m p u t i n gM a c h i n e r y,:MON T E I R OF,V I V O L IVC,GU E R R E I R OT,e t a l R e v e a l i n gg e n u i n eo p t i c a l p a t he n t a n g l e m e n tJ P h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s,():Y E OY,C HUA W K T e l e p o r t a t i o na n dd e n s ec o d i n gw i t hg e n u i n em u l t i p a r t i t ee n t a n g l e m e n tJ P h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s,():C HE NB,F E ISM U n e x t e n d i b l em a x i m a l l ye n t a n g l e db a s e sa n dm u t u a l l yu n b i a s e db a s e sJ P h y s i c a lR e v i e w A,():GUOY,WUSJ U n e x t e n d i b l ee n t a n g l e db a s e sw i t hf i x e dS c h m i d tn u m b e rJ P h y s i c a lR e v i e wA,():GUOY,J I A YP,L IXL M u l t i p a r t i t eu n e x t e n d i b l ee n t a n g l e db a s i sJ Q u a n t u mI n f o r m a t i o nP r o c e s s i n g,():WAN GK,CHE NL,S HE NY,e t a l C o n s t r u c t i n ga n du n e x t e n d i b l ep r o d u c tb a s e sa n dp o s i t i v e p a r t i a l t r a n s p o s ee n t a n g l e ds t a t e sJ L i n e a ra n dM u l t i l i n e a rA l g e b r a,():GUOY,D USP,L IXL,e t a l E n t a n g l e db a s e sw i t h f i x e dS c h m i d t n u m b e rJ J o u r n a l o fP h y s i c sA:M a t h e m a t i c a l a n dT h e o r e t i c a l,():E x t e n s i o no f t h eU n e x t e n d i b l eE n t a n g l e dB a s i sU n d e rC o a r s e n i n g t h e S y s t e mZ H A N GY a n q i n g,WA N GC h u a n l o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,T a i y u a nN o r m a lU n i v e r s i t y,S h a n x i J i n z h o n g ,C h i n a)A b s t r a c tT h ee x t e n s i o no fs p e c i a lu n e x t e n d i b l ee n t a n g l e db a s i sw i t hS c h m i d tn u m b e r(S U E B)i nt h r e e p a r t i t es y s t e m d du n d e rc o a r s e n i n gs u b s y s t e m si sd i s c u s s e d F i r s t l y,S U E B i nd a r ec o n s t r u c t e d,a n dt h e nS U E B i nd di s c o n s t r u c t e db yu s i n gm e t h o do f c o n s t r u c t i n g(m)p a r t i t eU E Bkf r o mm p a r t i t e I t i s f o u n dt h a tS U E B si nd da r en o ta l lS U E B sa f t e rs y s t e mc o a r s e n i n g,S U E B sc a nb eo b t a i n e db ya d d i n gv e c t o r s f o rv e c t o r s t h a t a r en o tS U E B sa f t e rs y s t e mc o a r s e n i n g,a n dt h e ya r en o te q u i v a l e n t t oS U E B s i nt h e l i t e r a t u r e K e yw o r d su n e x t e n d i b l ee n t a n g l e db a s i s;c o a r s e n i n gs u b s y s t e m;e x t e n d i b i l i t y第期张艳青,等:不可扩张纠缠基在系统粗化后的扩张性