循环冗余校验码.doc

一、奇偶校验码
奇偶校验可描述为：给每一个码字加一个校验位，用它来构成奇性或偶性校验。因此，若有一个码元是错的，就可以分辨得出，因为奇偶校验将成为奇性。奇偶校验编码通过增加一位校验位来使编码中1的个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），从而使码距变为2。因为其利用的是编码中1的个数的奇偶性作为依据，所以不能发现偶数位错误。
一个二进制码字，如果它的码元有奇数个1，就称为具有奇性。例如，码字“10110101”有五个1，因此，这个码字具有奇性。同样，偶性码字具有偶数个1。
再以数字0的七位ASCII码（0110000）为例，如果传送后右边第一位出错，0变成1。接收端还认为是一个合法的代码0110001（数字1的ASCII码）。若在最左边加一位奇校验位，编码变为10110000，如果传送后右边第一位出错，则变成10110001，1的个数变成偶数，就不是合法的奇校验码了。但若有两位（假设是第1、2位）出错就变成10110011，1的个数为5，还是奇数。接收端还认为是一个合法的代码（数字3的ASCII码）。所以奇偶校验不能发现。
奇偶校验位可由硬件电路（异或门）或软件产生：
偶校验位 an =a0⊕a1⊕a2⊕…⊕an-1， 奇校验位 an =NOT（a0⊕a1⊕a2⊕…⊕an-1）。
在一个典型系统里，在传输以前，由奇偶发生器把奇偶校验位加到每个字中。原有信息中的数字在接收机中被检测， 如果没有出现正确的奇、偶性，这个信息标定为错误的，这个系统将把错误的字抛掉或者请求重发。
在实际工作中还经常采用纵横都加校验奇偶校验位的编码系统--分组奇偶校验码。
现在考虑一个系统， 它传输若干个长度为m位的信息。如果把这些信息都编成每组n个信息的分组，则在这些不同的信息间，也如对单个信息一样，能够作奇偶校验。图4中n个信息的一个分组排列成矩形式样，并以横向奇偶（HP）及纵向奇偶（VP）的形式编出奇偶校验位。

m位数字
横向奇偶位
n
个
码
字
a1
a2
…
am-1
am
HP1
b1
b2
…
bm-1
bm
HP2
c1
c2
…
cm-1
cm
HP3
…
…
…
…
…
…
n1
n2
…
nm-1
nm
HPn
VP1
VP2
…
VPm-1
VPm
HPn+1

纵向奇偶位
图 4 用综横奇偶校验的分组奇偶校验码
研究图4可知：分组奇偶校验码不仅能检测许多形式的错误。并且在给定的行或列中产生孤立的错误时，还可对该错误进行纠正。
在初级程序员试题中（早期也出现在程序员试题中），经常有综横奇偶校验的题目。一般解法应该是这样：先找一行或一列已知数据完整的，确定出该行（或列）是奇校验还是偶校验。并假设行与列都采用同一种校验（这个假设是否正确，在全部做完后可以得到验证）。然后找只有一个未知数的行或列，根据校验性质确定该未知数，这样不断做下去，就能求出所有未知数。

二、循环冗余校验码 Cyclic Redundancy Check
在串行传送（磁盘、通讯）中，广泛采用循环冗余校验码（CRC）。CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。
几个基本概念
1、多项式与二进制数码
多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。
多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。
如生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1， 可转换为二进制数码11011。
而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为C(x)=x3+x2+x+1。
2、生成多项式
是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。
在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：
N
K
码距d
G(x)多项式
G(x)
7
4
3
x3+x+1
1011
7
4
3
x3+x2+1
1101
7
3
4
x4+x3+x2+1
11101
7
3
4
x4+x2+x+1
10111
15
11
3
x4+x+1
10011
15
7
5
x8+x7+x6+x4+1
111010001
31
26
3
x5+x2+1
100101
31
21
5
x10+x9+x8+x6+x5+x3+1
11101101001
63
57
3
x6+x+1
1000011
63
51
5
x12+x10+x5+x4+x2+1
1010000110101
1041
1024

x16+x15+x2+1
11000000000000101
图9 常用的生成多项式
3、模2除（按位除）
模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下：
a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。
b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。
c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。
【例】1111000除以1101：
1011———商
————
1111000-----被除数
1101———— 除数
————
010000
1101
————
01010
1101
————
111————余数
CRC码的生成步骤
1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。
2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R
3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数。
4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。
【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。
解：
1、将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。
2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000
3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：
1001-------商
------------------------
1010000
1011----------除数
------------
1000
1011
------------
011-------余数（校验位）
5、编码后的报文（CRC码）：
1010000
+    011
------------------
1010011
CRC的和纠错
在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同。可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字（信息位）无关。图10给出了G(x)＝1011，C(x)＝1010的出错模式，改变C(x)（码字），只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。

收到的CRC码字
余数
出错位
码位
A7
A6
A5
A4
A3
A2
A1

正确
1
0
1
0
0
1
1

000
无
错
误
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1

001
010
100
011
110
111
101
1
2
3
4
5
6
7
图10 （7，4）CRC码的出错模式（G(x)＝1011）
如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001，补0后再除（补0后若最高位为1，则用除数做模2减取余；若最高位为0，则其最低3位就是余数），得到第二次余数为010。以后继续补0作模2除，依次得到余数为100，0ll…，反复循环，这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当出现余数(101)时，出错位也移到A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A1。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因。
【例】对图10的CRC码（G(x)＝1011，C(x)＝1010），若接收端收到的码字为1010111，用G(x)＝1011做模2除得到一个不为0的余数100，说明传输有错。将此余数继续补0用G(x)＝1011作模2除，同时让码字循环左移1010111。做了4次后，得到余数为101，这时码字也循环左移4位，变成1111010。说明出错位已移到最高位A7，将最高位1取反后变成0111010。再将它循环左移3位，补足7次，出错位回到A3位，就成为一个正确的码字1010011。
通信与网络中常用的CRC
在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1。
一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及（1-2-(r-1)）的突发长度为r+1的突发错和（1-2-r）的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99．997%的突发长度为17的突发错和99．998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。

协议结构
8
16
24
40 bits
Variable…
16-32 bits
Flag
Address
Control
Protocol
Information
FCS

· Flag ― 表示帧的起始或结束，由二进制序列01111110构成。
· Address ― 包括二进制序列11111111，标准广播地址（注意：PPP 不分配个人站地址）
· Control ― 二进制序列00000011，要求用户数据传输采用无序帧。
· Protocol ― 识别帧的 Information 字段封装的协议。
· Information ― 0或更多八位字节，包含 Protocol 字段中指定的协议数据报。
· FCS ― 帧校验序列（FCS）字段，通常为16位。PPP 的执行可以通过预先协议采用32位 FCS 来提高差错检测效果。
四、PPP协议的应用
　　PPP协议是目前广域网上应用最广泛的协议之一，它的优点在于简单、具备用户验证能力、可以解决IP分配等。
　　家庭拨号上网就是通过PPP在用户端和运营商的接入服务器之间建立通信链路。 目前，宽带接入正在成为取代拨号上网的趋势，在宽带接入技术日新月异的今天，PPP也衍生出新的应用。典型的应用是在ADSL（非对称数据用户环线，Asymmetrical Digital Subscriber Loop）接入方式当中，PPP与其他的协议共同派生出了符合宽带接入要求的新的协议，如PPPoE（PPP over Ethernet），PPPoA（PPP over ATM）。
　　利用以太网（Ethernet）资源，在以太网上运行PPP来进行用户认证接入的方式称为PPPoE。PPPoE即保护了用户方的以太网资源，又完成了ADSL的接入要求，是目前ADSL接入方式中应用最广泛的技术标准。
　　同样，在ATM（异步传输模式，Asynchronous Transfer Mode）网络上运行PPP协议来管理用户认证的方式称为PPPoA。它与PPPoE的原理相同，作用相同；不同的是它是在ATM网络上，而PPPoE是在以太网网络上运行，所以要分别适应ATM标准和以太网标准。
　　PPP协议的简单完整使它得到了广泛的应用，相信在未来的网络技术发展中，它还可以发挥更大的作用。