高考数学总复习函数模型及其应用双基自测理新版苏教版必修1.doc

第九节　函数模型及其应用

考纲传真
内容
要求
A
B
C
函数模型及其应用

√

1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型之间增长速度的比较
函数
性质　　　
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
大小比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
3.“f(x)＝x＋”型函数模型
形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值．

1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比直线更快．(　　)
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2函数值大．(　　)
(3)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　)
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．
[解析]　(1)递增幂函数x越大函数变化越快，但x较小时不成立．(1)错误
(2)当x＝1时不成立．(2)错误
(3)售价为125，九折后售价为112.5元，而进价为100元，可以获利．(3)正确
(4)由函数图象可知(4)正确．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．某县目前人口100万人，经过x年后为y万人，若人口年增长率是1.2%，则y关于x的函数关系式是________．
[解析]　本题属于简单的指数模型问题，y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
[答案]　y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)
3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________副．
[解析]　10x－(5x＋4000)≥0解得x≥800.
[答案]　800
4．(2014·福建高考)要制作一个容器容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
[解析]　设该长方体容器的长为x m，则宽为 m．又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2×10，即y＝80＋20(x＞0)．因为x＋≥2＝4(当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”)，所以ymin＝80＋20×4＝160(元)．
[答案]　160
5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时3 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是________．
[解析]　＝15，∴A>4，从而有＝30，得c＝60，A＝16.
[答案]　60　16

考向1　分式形式的函数模型
【典例1】　(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．
[解析]　(1)当l＝6.05时，F＝＝≤＝＝1 900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时．
(2)当l＝5时，F＝＝≤＝＝2 000.当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．
[答案]　(1)1 900　(2)100
【规律方法】　
1．本题关键是把分子变为常数，利用基本不等式求最值．
2．凡是分式中分子和分母都含有变量的，一般是把分子化为常数，只让分母含有变量，再利用基本不等式或其他方法求出最值．
【变式训练1】　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损失，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出此最小值．
[解]　(1)设隔热层厚度为x cm.由题设知C(0)＝8，即＝8，得k＝40.因此C(x)＝.
而隔热层建造费用为C1(x)＝6x，所以f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝＋2(3x＋5)－10≥
2－10＝70，当且仅当＝2(3x＋5)，即x＝5时取等号．
故x＝5时，f(x)取得最小值70.即当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小值70万元．
考向2　分段函数模型
【典例2】　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[解]　(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20<x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意及(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，
故当x＝20时，f(x)取得最大值，
其最大值为60×20＝1 200；
当20<x≤200时，f(x)＝x(200－x)
≤2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
【规律方法】　
1．理解题意，由待定系数法，准确求出v(x)是求解本题的关键．要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值．
2．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
3．分段函数的主要特征是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
4．构建分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
【变式训练2】　(2014·涟水中学月考)已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产1千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
[解]　(1)当0<x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10，
当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，
∴W＝
(2)①当0<x≤10时，由W′＝8.1－＝0，得x＝9.
又当x∈(9,10)时，W′<0，
当x∈(0,9)时，W′>0，
∴当x＝9时，Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.
②当x>10时W＝98－－2.7x＝98－
≤98－2＝38，
当且仅当＝2.7x时，
即x＝时，W＝38.
由①②可知，当x＝9千件时，W取最大值38.6万元．
考向3　一次、二次函数模型(高频考点)
命题视角　一次、二次函数模型的应用是高考考查的重点，常与导数，基本不等式，函数单调性，最值等交汇命题．主要命题角度是利用一次、二次函数模型求最值(最优)问题．
【典例3】　(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图2­9­1记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为____． 图2­9­1
【思路点拨】　已经给出函数关系，且给出了满足关系的点坐标，代入函数求出a，b，c.由二次函数性质求出t.
[解析]　将(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)代入p＝at2＋bt＋c中，得
解得
∴p＝－0.2t2＋1.5t－2，
∴当t＝－＝3.75(min)时p最大．
[答案]　3.75分钟
【通关锦囊】　
1．求解一次函数与二次函数模型问题的关注点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
2．把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关
(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口．
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系．
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．
【变式训练3】　(2013·上海高考)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是100元．
(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a·元；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
[解]　(1)证明：生产a千克该产品所用的时间是小时，
∵每一小时可获得的利润是100×元，
∴获得的利润为100×元．
因此生产a千克该产品所获得的利润为100 a元．
(2)生产900千米该产品获得的利润为90 000元，1≤x≤10.
设f(x)＝－＋＋5,1≤x≤10.
则f(x)＝－32＋＋5，当且仅当x＝6取得最大值．
故获得最大利润为90 000×＝457 500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元．

做到1个防范　要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
掌握3种步骤　(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
实际问题建立函数模型数学结果实际结果

规范解答之2函数建模在实际问题中的应用
(14分)(2012·江苏高考)如图2­9­2，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

图2­9­2

(1)求炮的最大射程．
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
———————　[规范解答示例]　——————
(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，(3分)
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．(6分)
(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标
⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立(9分)
∴关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根(11分)
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标．(14分)
———————　[构建答题模板]　——————
第一步
根据题意建立方程，确定x，k的范围；
⇓
第二步
建立炮的射程的函数模型，并求最大值；
⇓
第三步
把所求问题转化为方程有解问题；
⇓
第四步
把方程有解问题转化为一元二次方程有正根问题；
⇓
第五步
列不等式求解，用数学结果回答实际问题．
【智慧心语】　
易错提示：(1)未读懂题意，不能建立x与k的函数关系．
(2)不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有正根问题．
(3)不能正确列不等式求解．
防范措施：(1)求解函数实际问题，审题是关键，要弄清相关“名词”，准确寻求各量之间的关系．
(2)在求解过程中应分清变量之间的辨证关系，结合所求，合理转化．
(3)根据一元二次方程列不等式(组)时，首先判断两根之和与两根之积的正负，根据它们的正负确定如何列不等式(组)．
【类题通关】　(2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
课后限时自测
(见学生用书第271页)

[A级　基础达标练]
一、填空题
1．(2013·湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是________(填序号)．

[解析]　距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，所以图③适合．
[答案]　③

图2­9­3
2．(2013·陕西高考)在如图2­9­3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．
[解析]　设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x.
矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x
＝－(x－20)2＋400，
当x＝20 m时，面积最大．
[答案]　20
3．(2014·盐城质检)小孟进了一批水果，如果他以每斤1.2元的价格出售，那他就会赔4元；如果他以每斤1.5元的价格出售，一共可赚8元，现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为________元．
[解析]　设水果的成本价为x元/斤，共有a斤，
由题意知
解得x＝1.3.
则每千克水果应定价2.6元．
[答案]　2.6

图2­9­4
4．(2014·泰州调研)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图2­9­4，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．
[解析]　依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，
又sA(100)＝sB(100)，
∴100k＋20＝100m，
得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)
＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，
∴两种方式电话费相差10元．
[答案]　10
5．(2014·南通模拟)从盛满20 L纯消毒液的容器中倒出1 L，然后用水加满，再倒出1 L，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为________．
[解析]　所倒次数为1，则y＝19；所倒次数为2，则y＝19×，…，所倒次数为x，则y＝19x－1＝20x.
[答案]　y＝20x

图2­9­5
6．(2014·南京模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图2­9­5)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应分别为________．
[解析]　由三角形相似，得＝，得x＝(24－y)，∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，∴当y＝12时，Smax＝180，此时x＝15.
[答案]　15,12
7．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
[解析]　由题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则M＝lg A－lg A0＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y，
9＝lg x＋3,5＝lg y＋3，解得x＝106，y＝102.
所以＝＝10 000.
[答案]　6　10 000

图2­9­6
8．(2014·无锡模拟)某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距离地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如图2­9­6所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)________m.

[解析]　建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y＝ax2(a<0)，设点A的坐标为(4，－h)，则C(3,3－h)，将这两点的坐标代入y＝ax2，可得解得所以厂门的高约为6.9 m.
[答案]　6.9
二、解答题
9．(2014·南通模拟)经市场调查，某商品在过去100天内的日销售量和销售价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝－t＋(1≤t≤100，t∈N*)，前40天价格为f(t)＝t＋22(1≤t≤40，t∈N*)，后60天价格为f(t)＝－t＋52(41≤t≤100，t∈N*)求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．
[解]　当1≤t≤40，t∈N*时，
S(t)＝g(t)f(t)＝
＝－t2＋2t＋＝－(t－12)2＋，
∴768＝S(40)≤S(t)≤S(12)＝；
当41≤t≤100，t∈N*时，
S(t)＝g(t)f(t)＝
＝t2－36t＋＝(t－108)2－，
∴8＝S(100)≤S(t)≤S(41)＝.
∴S(t)的最大值为，最小值为8.
10．(2011·江苏高考)请你设计一个包装盒，如图2­9­7所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．

图2­9­7
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[解]　设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0<x<30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
∴当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得，x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.
∴当x＝20时，V′取得极大值，也是最大值．
此时，包装盒的高与底面边长的比为＝＝.
[B级　能力提升练]
一、填空题
1．(2014·福州模拟)如图2­9­8，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一颗树与两墙的距离分别是a m(0<a<12)，4 m，不考虑树的粗细．现在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是________．

图2­9­8

[解析]　设CD＝x m，则AD＝(16－x)m，
由题意可知解得4<x<16－a，
矩形花圃的面积S＝x(16－x)，
其最大值f(a)＝故其图象为③.
[答案]　③
2．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图2­9­9所示的曲线．

图2­9­9
(1)第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)＝________.
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，治疗有效．则服药一次后治疗有效的时间是________________________________________________________________________h.
[解析]　(1)设y＝当t＝1时，由y＝4得k＝4，
由1－a＝4得a＝3，则y＝
(2)由y≥0.25得或解得≤t≤5，
因此服药一次后治疗有效的时间是5－＝(h)．
[答案]　(1)　(2)
二、解答题

图2­9­10
3．(2014·江苏苏州一模)如图2­9­10，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求出最大面积；
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求出最大体积．
[解]　(1)法一：如图，连接OC.

设BC＝x，矩形ABCD的面积为S.
则AB＝2，其中0<x<30.
所以S＝2x
＝2
≤x2＋(900－x2)＝900，
当且仅当x2＝900－x2，即x＝15时，S取最大值为900 cm2.
法二：连接OC.设∠BOC＝θ，矩形ABCD的面积为S，则BC＝30sin θ，OB＝30cos θ，
其中0<θ<.
所以S＝AB·BC＝2OB·BC＝900sin 2θ.
所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，S取最大值为900 cm2，此时BC＝15.
所以取BC为15 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm2.
(2)设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V.
由AB＝2＝2πr，
得r＝，
所以V＝πr2x＝(900x－x3)，其中0<x<30.
令V′＝(900－3x2)＝0，解得x＝10，
因此V＝(900x－x3)在(0,10)上是增函数，在(10，30)上是减函数．
所以当x＝10时，V取最大值为 cm3.