高考数学总复习函数模型及其应用双基自测理新版苏教版必修1.doc

第九节函数模型及其应用考纲传真内容要求ABC函数模型及其应用1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)与指数函数相关模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与对数函数相关模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与幂函数相关模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2.三种函数模型之间增长速度的比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳大小比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax3.“f(x)x”型函数模型形如f(x)x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值1(夯基释疑)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)幂函数增长比直线更快()(2)函数y2x的函数值比yx2函数值大()(3)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)4，从而有30，得c60，A16.答案6016考向1分式形式的函数模型【典例1】(2014湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时解析(1)当l6.05时，F1 900.当且仅当v11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时(2)当l5时，F2 000.当且仅当v10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时比(1)中的最大车流量增加100辆/时答案(1)1 900(2)100【规律方法】1本题关键是把分子变为常数，利用基本不等式求最值2凡是分式中分子和分母都含有变量的，一般是把分子化为常数，只让分母含有变量，再利用基本不等式或其他方法求出最值【变式训练1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损失，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出此最小值解(1)设隔热层厚度为x cm.由题设知C(0)8，即8，得k40.因此C(x).而隔热层建造费用为C1(x)6x，所以f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)2(3x5)1021070，当且仅当2(3x5)，即x5时取等号故x5时，f(x)取得最小值70.即当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小值70万元考向2分段函数模型【典例2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解(1)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意及(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，f(x)取得最大值，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时【规律方法】1理解题意，由待定系数法，准确求出v(x)是求解本题的关键要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值2实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解3分段函数的主要特征是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值4构建分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏【变式训练2】(2014涟水中学月考)已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产1千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本)解(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x，W(2)当0x10时，由W8.10，得x9.又当x(9,10)时，W0，当x9时，Wmax8.19931038.6.当x10时W982.7x9898238，当且仅当2.7x时，即x时，W38.由可知，当x9千件时，W取最大值38.6万元考向3一次、二次函数模型(高频考点)命题视角一次、二次函数模型的应用是高考考查的重点，常与导数，基本不等式，函数单调性，最值等交汇命题主要命题角度是利用一次、二次函数模型求最值(最优)问题【典例3】(2014北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，图291记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_ 图291【思路点拨】已经给出函数关系，且给出了满足关系的点坐标，代入函数求出a，b，c.由二次函数性质求出t.解析将(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)代入pat2btc中，得解得p0.2t21.5t2，当t3.75(min)时p最大答案3.75分钟【通关锦囊】1求解一次函数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题2把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型【变式训练3】(2013上海高考)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每一小时可获得的利润是100元(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润解(1)证明：生产a千克该产品所用的时间是小时，每一小时可获得的利润是100元，获得的利润为100元因此生产a千克该产品所获得的利润为100 a元(2)生产900千米该产品获得的利润为90 000元，1x10.设f(x)5,1x10.则f(x)325，当且仅当x6取得最大值故获得最大利润为90 000457 500元因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元做到1个防范要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域掌握3种步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：实际问题建立函数模型数学结果实际结果规范解答之2函数建模在实际问题中的应用 (14分)(2012江苏高考)如图292，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标图292(1)求炮的最大射程(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由规范解答示例(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，(3分)故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(6分)(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立(9分)关于k的方程a2k220aka2640有正根(11分)判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标(14分)构建答题模板第一步根据题意建立方程，确定x，k的范围；第二步建立炮的射程的函数模型，并求最大值；第三步把所求问题转化为方程有解问题；第四步把方程有解问题转化为一元二次方程有正根问题；第五步列不等式求解，用数学结果回答实际问题【智慧心语】易错提示：(1)未读懂题意，不能建立x与k的函数关系(2)不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有正根问题(3)不能正确列不等式求解防范措施：(1)求解函数实际问题，审题是关键，要弄清相关“名词”，准确寻求各量之间的关系(2)在求解过程中应分清变量之间的辨证关系，结合所求，合理转化(3)根据一元二次方程列不等式(组)时，首先判断两根之和与两根之积的正负，根据它们的正负确定如何列不等式(组)【类题通关】(2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大课后限时自测(见学生用书第271页)A级基础达标练一、填空题1(2013湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是_(填序号)解析距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，所以图适合答案图2932(2013陕西高考)在如图293所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_(m)解析设矩形花园的宽为y m，则，即y40x.矩形花园的面积Sx(40x)x240x(x20)2400，当x20 m时，面积最大答案203(2014盐城质检)小孟进了一批水果，如果他以每斤1.2元的价格出售，那他就会赔4元；如果他以每斤1.5元的价格出售，一共可赚8元，现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为_元解析设水果的成本价为x元/斤，共有a斤，由题意知解得x1.3.则每千克水果应定价2.6元答案2.6图2944(2014泰州调研)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图294，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差_元解析依题意可设sA(t)20kt，sB(t)mt，又sA(100)sB(100)，100k20100m，得km0.2，于是sA(150)sB(150)20150k150m20150(0.2)10，两种方式电话费相差10元答案105(2014南通模拟)从盛满20 L纯消毒液的容器中倒出1 L，然后用水加满，再倒出1 L，再用水加满这样继续下去，则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为_解析所倒次数为1，则y19；所倒次数为2，则y19，所倒次数为x，则y19x120x.答案y20x图2956(2014南京模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图295)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应分别为_解析由三角形相似，得，得x(24y)，Sxy(y12)2180，当y12时，Smax180，此时x15.答案15,127里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍解析由题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则Mlg Alg A0lg 1 000lg 0.0013(3)6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y，9lg x3,5lg y3，解得x106，y102.所以10 000.答案610 000图2968(2014无锡模拟)某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距离地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如图296所示则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)_m.解析建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为yax2(a0)，设点A的坐标为(4，h)，则C(3,3h)，将这两点的坐标代入yax2，可得解得所以厂门的高约为6.9 m.答案6.9二、解答题9(2014南通模拟)经市场调查，某商品在过去100天内的日销售量和销售价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)t(1t100，tN*)，前40天价格为f(t)t22(1t40，tN*)，后60天价格为f(t)t52(41t100，tN*)求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值解当1t40，tN*时，S(t)g(t)f(t)t22t(t12)2，768S(40)S(t)S(12)；当41t100，tN*时，S(t)g(t)f(t)t236t(t108)2，8S(100)S(t)S(41).S(t)的最大值为，最小值为8.10(2011江苏高考)请你设计一个包装盒，如图297所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)图297(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20,30)时，V0.当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，包装盒的高与底面边长的比为.B级能力提升练一、填空题1(2014福州模拟)如图298，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一颗树与两墙的距离分别是a m(0a12)，4 m，不考虑树的粗细现在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数uf(a)的图象大致是_图298解析设CDx m，则AD(16x)m，由题意可知解得4x16a，矩形花圃的面积Sx(16x)，其最大值f(a)故其图象为.答案2某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(g)与时间t(h)之间近似满足如图299所示的曲线图299(1)第一次服药后y与t之间的函数关系式yf(t)_.(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 g时，治疗有效则服药一次后治疗有效的时间是_h.解析(1)设y当t1时，由y4得k4，由1a4得a3，则y(2)由y0.25得或解得t5，因此服药一次后治疗有效的时间是5(h)答案(1)(2)二、解答题图29103(2014江苏苏州一模)如图2910，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求出最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求出最大体积解(1)法一：如图，连接OC.设BCx，矩形ABCD的面积为S.则AB2，其中0x30.所以S2x2x2(900x2)900，当且仅当x2900x2，即x15时，S取最大值为900 cm2.法二：连接OC.设BOC，矩形ABCD的面积为S，则BC30sin ，OB30cos ，其中0.所以SABBC2OBBC900sin 2.所以当sin 21，即时，S取最大值为900 cm2，此时BC15.所以取BC为15 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm2.(2)设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V.由AB22r，得r，所以Vr2x(900xx3)，其中0x30.令V(9003x2)0，解得x10，因此V(900xx3)在(0,10)上是增函数，在(10，30)上是减函数所以当x10时，V取最大值为 cm3.