第5章 单自由度系统振动.doc

第五章 单自由度系统振动
§5.1 概述
5.1.1 单自由度系统的简化及其模型
任何一个实际的振动系统都是无限复杂的，为了能对之进行分析，一定要加以简化，并在简化的基础上建立合适的力学模型。振动系统的力学模型是由三种理想化的元件组成的，它们是：质块、阻尼器和弹簧，由它们所组成的单自由度系统如图5-1所示。图中，m表示质块，c表示阻尼器，k表示弹簧。实际上，人们并不一定能在实际的振动系统中直接找到图5-1所示的理想元件。图5-1是对实际物理系统的一种抽象和简化，这是振动分折的第一步工作。需要指出的是，系统的简化取决于所考虑问题的复杂程度与所需要的计算精度。一般来讲，所考虑的问题越复杂，要求计算的精度越高，所采用模型的复杂程度也就越高。下面介绍一些单自由度简化模型的实例。
在简化模型中，振动体的位置或形状只需用一个独立坐标来描述的系统称为单自由度系统，其模型如图5-1所示。

图5-1 单自由度系统的简化模型

(a) (b)
图5-2 电机垂直振动
图1-2表示机床与基础的振动。由于机床及其混凝土基础的变形相对于衬垫要小得多，故可视机器及其基础为刚体，其质量用m来表示。又由于参与振动的衬垫质量较机器及其基础要小得多，且衬垫较软，具有能耗作用，可视为弹簧和阻尼器，则图1-2所示的系统即可简化为图5-1(b)所示的单自由度系统。显然这种简化的结果只能用于研究机器及其基础在垂直方向上的整机振动。又如图5-2(a)所示安装在弹性梁上与图5-2(b)所示安装在防振垫(橡皮、木块等)上的电机若只研究电机在垂直方向上的振动也可简化为图5-1(b)所示的单自由度系统。
图5-3所示的连杆，当研究连杆的角振动θ(t)时，若将连杆的分布质量演化为其质心在c处的集中质量m，则可简化为图5-l(d)所示的单摆系统。图5-7所示飞轮的扭转振动，由于飞轮的惯性矩相对于轴的惯性矩要大好多，可将轴简化为一扭转弹簧，从而得到单自由度扭振系统，该系统以角度θ为坐标，又称为角振动系统。

图5-3 连杆角振动 图5-4 飞轮扭转振动
下面介绍组成振动系统的各种理想元件的意义与性质。
一、弹性元件
1.弹性元件的意义与性质
在振动系统中，弹性元件(或弹簧)对于外力作用的响应，表现为一定的位移或变形。图5-5(a)为弹性元件的示意图。弹簧所受外力Fs是位移x的函数，即有：

(a) (b)
图5-5 弹性元件
Fs =f(x) (5-1)
其关系如图5-5(b)所示。Fs在数量上等于弹簧的弹性恢复力，但方向相反。在一定的范围(称为线性范围)内，Fs是x的线性函数，即：
Fs =kx (5-2)
式中，k称为弹簧刚度，其量纲为(力／长度)，通常取单位为N／m，N／cm，或N／mm。显然，由图5-5(b)，有：
k＝ (5-3)
即弹簧刚度k在数值上等于使弹簧产生单位位移所需施加的力。
对于弹性元件需要指出以下几点：
(1)通常假定弹簧是没有质量的。而实际上，物理系统中的弹簧总是具有质量的，在处理实际问题时，若弹簧质量相对较小，则可忽略不计；否则需对弹簧质量作专门处理或采用连续模型。
(2)(5-2)、(5-3)式所示关系，是对弹簧的一种线性化处理。工程实践表明，大参数振动系统的振幅不会超出其弹性元件的线性范围，因而，这种线性化处理符合一般机械系统的实际情况。
(3)对于角振动的系统，其弹簧为扭转弹簧，其刚度k等于使弹簧产生单位角位移所需施加的力矩，其量纲为〔ML2T-2〕，通常取单位为Nm/rad。例如，图5-4所示的轴常可视为扭转弹簧。与(5-2)式相似，在线性范围内，扭簧所承受的外力矩M、转角θ与扭转刚度k的关系为：
M=kθ (5-4)
(4)实际工程结构中的许多构件，在一定的受力范围内都具有作用力与变形之间的线性关系，因此都可作为线性弹性元件处理。例如图5-6所示的拉杆，根据材料力学，拉力P与杆的变形δ之间具有如下关系：

式中，L为杆长，E材料的弹性模量，A为杆的截面积。显然，若设k＝EA／L，则有：
P＝kδ

图5-6 拉杆的弹性变形
上式与(5-2)式的意义和形式完全一致。因此，拉杆相当于一个刚度为k＝EA／L的线性弹簧。又如图5-4所示扭振系统，根据材料力学扭转力矩M与角位移θ之间的关系为：

式中，L为轴的长度，G为轴的材料的剪切弹性模量，J为轴的截面极惯性矩。显然，如设k＝GJ／L，则有式(5-4)所示关系。因此一段轴相当于扭转刚度为k＝GJ／L的一个扭簧。实际机械系统中的弹性元件是多种多样的，例如，橡皮、木材、土壤、压缩空气等都经常作为弹性元件处理。
(5)从能量的角度来看，弹性元件不消耗能量而是以势能的方式贮存能量。
2.等效刚度
机械结构中的弹性元件往往具有比较复杂的组合形式，这时可用一个“等效弹簧”来取代整个组合弹簧，以简化分析。等效弹簧的刚度称为“等效刚度”，记为keq，必须等于组合弹簧系统的刚度。
图5-7示出了弹簧的并、串联组合方式，其中图(a)为并联，图(a)为串联、图(c)为等效模型，其等效刚度的计算方法如下：

图5-7 弹簧并、串联组合方式
对于并联弹簧如图5-7(a)，若设弹簧k1、k2所受到的力分别为Fs1、Fs2，则有Fs1= k1 (x2-x1)，Fs2= k2 (x2-x1)。由于总的作用力Fs是Fs1与Fs2之和，故有：
Fs=Fs1+Fs2=(k1+ k2)(x2-x1)= keq(x2-x1)
式中，
keq=k1+k2 (5-5)
将这一结论推广，若将n个刚度分别为ki (i＝l，2，…, n)的弹簧进行并联，则其等效刚度为：
(5-6)
上式中如果k1=k2…=kn=k，则有：
keq=nk (5-7)
由上式可见，并联弹簧的等效刚度是各弹簧刚度的总和，即并联弹簧较各组成弹簧“硬”。
对于图5-7(b)所示串联弹簧，由于在整个串联长度上作用力Fs处处相等，即：
Fs= k1 (x0-x1)，Fs= k2 (x2-x0)，
将以上两式联立，消去x0，得到：

式中：
(5-8)
或
(5-9)
将上式推广，若将n个刚度分别为ki (i＝l，2，…, n)的弹簧进行串联，则其等效刚度为：
(5-10)
上式中若k1=k2…=kn=k，则有：
keq=k/n (5-11)
由上式可见，串联弹簧的等效刚度比原来各弹簧的刚度都要小，即串联弹簧较其任何一个组成弹簧“软”。
需要指出，确定弹性元件的组合方式是并联还是串联，关键在于看他们是“共位移”还是“共力”。并联方式中各弹簧是“共位移”的，即各弹簧端部的位移相等；而串联方式中各弹簧是“共力”的，即各弹簧所受到的作用力相等。只要正确地确定了弹性元件的组合方式，按(5-6)、(5-10)式计算等效刚度是并不困难的。例如图5-8所示的两种组合方式中，图(a)中的弹簧k1、k2的位移相等，是“共位移”的，因此是并联，而图(b)中弹簧k1与弹簧k2中的弹性力Fs相等，即是“共力”的，因此，是串联。

(a) (b)
图5-8 弹簧串并联区别方式
例5-1 图5-9是利用电动式激振器测某试件固有频率的示意图。试件简化为弹簧k1和质量m1，试验时，激振器顶杆与试件m1刚性联接，激振器的可动部分质量为m2，弹簧刚度为k2，试计算系统的等效刚度。

图5-9 电动式激振器测某试件固有频率的示意图
解：由图5-9显见，m1与m2为刚性联接，该系统与图5-8(a)中系统是一致的，弹簧k1、k2是“共位移”的，为并联弹簧，由(5-5)式得系统的等效刚度为：
keq=k1+ k2
例5-2 确定图5-10所示混联弹簧的等效刚度。

图5-10 混联弹簧等效刚度
解：显然，k1、k2为并联，k3再与之串联，由(5-5)、(5-9)式有：

化简得：

例5-3 确定图5-11(a)所示阶梯轴的等效扭转刚度。

a) b)
图5-11 阶梯轴的等效扭转刚度
解：设θ1、θ2分别为两段轴的右端角位移，由于扭矩M沿轴向不变，根据材料力学有
，
由上两式化简得圆盘的角位移θ2为：

显然，阶梯轴的等效扭转刚度即为：

上式表明，图示阶梯轴相当于串联弹簧的扭转刚度。
二、阻尼元件
振动系统的阻尼特性及阻尼模型乃是振动分析中最困难的问题之一，也是当代振动研究中最活跃的方向之一。
1.阻尼元件的意义与性质

a) b)
图5-12 阻尼元件
在振动系统中，阻尼元件(或阻尼器)对于外力作用的响应，表现为其端点的一定的移动速度。图5-12(a)为阻尼器的示意图。它所受到的外力Fd (或者其产生的阻尼力-Fd )，是振动速度的函数，即：
(5-12)
对于线性阻尼器，Fd是的线性函数如图5-12(b)所示。
(5-13)
式中，c称为阻尼系数，其量纲为MT-1，通常取单位为N·s／m，N·s／cm，或N·s／mm。阻尼系致c是使阻尼器产生单位速度所需施加的力。对于阻尼元件需要指出以下几点：
(1)通常假定阻尼器的质量是可以忽略不计的。
(2)对于角振动系统其阻尼元件为扭转阻尼器，其阻尼系数c是产生单位角速度所需施加的力矩，其量纲为ML2T-1，通常取单位为N·m·s／rad，且仍有与式(5-13)类似的关系：
(5-14)
式中，Md为阻尼力矩。
(3)与弹性元件不同的是，阻尼元件是消耗能量的，它以热能、声能等方式耗散系统的机械能。
2.非粘性阻尼
上述与速度成正比的阻尼，称为粘性阻尼，又称为线性阻尼。采用线性阻尼的模型使得振动分析的问题大为简化。工程实际中还有许多其它性质的阻尼，统称为非粘性阻尼。在处理这类问题时，通常将之折算成等效的粘性阻尼系数ceq，其折算的原则是：一个振动周期内由非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼所消耗的能量。关于等效粘性阻尼系数ceq的计算，将在后续课程介绍。下面介绍几种常见的非粘性阻尼。
(1)库仑阻尼
库仑阻尼亦称为干摩擦阻尼，如图5-13所示。振动时，质量m与摩擦系数为μ的表面间产生库仑摩擦力Fc＝μmg，Fc始终与运动速度的方向相反而大小保持为常值，即：

图5-13 库仑阻尼
(5-15)
其中，sgn为符号函数，这里定义为
(5-16)
须注意，当＝0时，库仑阻尼力是不定的，它取决于合外力的大小而方向与之相反。
(2)流体阻尼
流体阻尼是当物体以较大速度在粘性较小的流体(如空气，液体)中运动时，由流体介质所产生的阻尼。流体阻尼力Fs始终与运动速度方向相反，而其大小与速度平方成正比，即，
(5-17)
式中，γ为常数。
(3)结构阻尼
由材料内部摩擦所产生的阻尼称为材料阻尼，由结构各部件连接面之间相对滑动而产生的阻尼称为滑移阻尼，两者统称为结构阻尼。试验表明，对材料反复加载和卸载，其应力—应变曲线会成为一个滞后曲线，如图5-14所示。此曲线所围的面积表示一个循环中单位体积的材料所消耗的能量，这部分能量以热能的形式耗散掉，从而对结构的振动产生阻尼。因此，这种阻尼又称为滞后阻尼。大量试验指出，对于大参数结构金属，材料阻力在一个周期内所稍耗的能量ΔEs与振幅的平方成正比，而在相当大的范围内与振动频率无关，即有：

图5-14 结构阻尼
(5-18)
其中，α是由材料性质所决定的常数，为振幅。
三、质量元件
1.质量元件的意义与性质
在振动系统中，质量元件(或质块)对于外力作用的响应，表现为一定的加速度，如图5-15所示。

图5-15 质量元件
根据牛顿第二定律，质块所受外力F m与加速度间的关系为：
(5-19)
式中，m称为质量块的质量，其量纲为M，通常采用的单位为kg、N或N·s2／m或N·s2／mm。对于质量元件，需指出以下几点：
(1)通常假定质量元件是刚体(即不具有弹性特征)，不消耗能量(即不具有阻尼特性)。
(2)对于角振动系统其质量元件以其相对于支点的转动惯量I来描述。力矩Mm与角加速度仍具有类似于式(5-19)的关系：
(5-20)
综上所述，在对实际机械结构进行振动分析时，如果是突出某一部分的质量而忽略其弹性与阻尼，就得到没有弹性和阻尼的“质块”，同样可得到没有阻尼和质量的“弹簧”以及没有质量与弹性的阻尼器等各种理想化的元件。
5.1.2单自由度系统的振动
所谓单自由度振动系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参量的个数，这种独立参量称为广义坐标。在机械振动中，广义坐标可以是线位移、角位移，以至它们的组合。在单自由度振动系统中，只要以它的平衡位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标x(线位移)或θ(角位移)就可以决定振动质点的瞬时位置。
所有的单自由度振动系统经过简化都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m称为当量质量。所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧的刚度k称为当量弹簧刚度。以后讨论的单自由度系统中，所称的质量就是指当量质量，所称的刚度就是指当量弹簧刚度。
单自由度振动系统通常包括一个定向振动的质量m，联接于振动质量与基础之间的弹性元件(其刚度为k)，以及运动过程中产生的阻尼(阻尼系致为c)。振动质量m、弹簧刚度k、阻尼系数c是振动系统的三个基本要素。有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P(可以是简谐的，也可以是任意的)。
系统振动时，振动质量产生位移x、速度、和加速度，从而产生弹性力kx、阻尼力和惯性力。它们分别与振动质量的位移、速度和加速度成正比，但方向均相反。
应用牛顿运动定律或达朗贝尔原理可以建立单自由度振动系统的运动微分方程式。
根据牛顿运动定律：作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积。

图5-16 振动体受力情况
现取所有与坐标x方向一致的力、速度和加速度为正(图5-16a)，则：
(5-21)
或
(5-22)
根据达朗贝尔原理，在一个振动体上的所有各力的合力必等于零，即：
惯性力＋阻尼力＋弹性力＋激振力＝0
质点的惯性力是作用于施力物体上的。现用动静法分析，可以认为，作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系(图5-16b)。则：

或

(5-22)式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。它又可以分为以下几种不同的情况：
(1)单自由度无阻尼自由振动

(2)单自由度有阻尼自由振动

(3)单自由度无阻尼受迫振动

(4)单自由度有阻尼受迫振动

下面我们就来分别讨论这几种不同情况的振动。
§5.2单自由度系统无阻尼自由振动
5.2.1系统的动力学模型和运动微分方程
无阻尼自由振动是指振动系统不受外力，也不受阻尼力影响时所作的振动。其动力学模型如图5-17所示。

图5-17 无阻尼自由振动动力学模型
设质量块的质量为m，它所受的重力为W。弹簧刚度为k，它是弹簧每伸长或压缩一个单位长度所需施加的力。
弹簧未受力时的原长为l，挂上质量块后，弹簧的静伸长为λj。此时系统处于静平衡状态。平衡位置为o-o。由静平衡条件得：
(5-23)
当系统受到外界某种初始干扰后，系统的静平衡状态受到破坏，则弹性力不再与重力平衡而产生弹性恢复力，使系统产生自由振动。若取静平衡位置为坐标原点，以x表示质量块的垂直位移，并作为系统的广义坐标，取向下为正。则当质量块离开平衡位置x时，质量块所受的作用力是重力W和弹性力。由于受力不平衡，质量块即产生加速运动。

即
(5-24)
上式即为单自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程式。式中-kx是重力与弹性力的合力，其大小和位移x成正比，其方向始终和位移方向相反，即始终指向静平衡位置，故称其为弹性恢复力。
现求解上列微分方程。先将(5-24)式改写成：

令
(5-25)
则
(5-26)
这是一个二阶齐次常系数线性微分方程。显然是方程的一个解，将其代入(5-26)得：

即

故方程(5-26)的通解为：

(5-27)
式中：
；
(5-27)式表明，单自由度系统无阻尼自由振动包含两个频率相同的简谐振动，而这两个同频率的简谐振动，合成后仍是一个简谐振动。即：
(5-28)
式中：

A和是两个待定常数，取决于振动的初始条件。
设振动的初始条件为：
t=0时，
代入(5-28)式中得：
；
解之得：
(5-29)
(5-30)
5.2.2振动特性的讨论
1.振动的类型
(5-28)式表示了单自由度系统无阻尼自由振动的时间历程，它是一个正弦曲线，所以无阻尼自由振动是简谐振动。
2.系统的频率和周期
系统振动的圆频率可由(5-25)式求得：
(5-31)
系统的振动频率为：
(5-32)
系统的振动周期为：
(5-33)
由此可见，系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质(弹性和惯性)有关。因此当振动系统的结构确定之后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关。所以由(5-31)式和(5-32)式所确定的和分别称为系统的固有圆频率和固有频率。
这种线性系统自由振动所具有的性质称为“等时性”。根据这一性质可以判断：刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。质量相同的两个系统，刚度小的系统固有频率低，刚度大的系统固有频率高。
换句话说，系统质量增大和刚度减小都会使系统固有频率下降，反之，要提高系统的固有频率，就应减小系统的质量和增大系统刚度。这一性质在定性研究振动，特别是调整系统的固有频率时是极其重要的。
3.系统的振幅和初相位
从(5-28)式可以看出，A是系统自由振动的振幅，它表示质量块离开静平衡位置的最大位移，则是初相位，表示质量块的初始位置。若用直角坐标表示，则如图5-18所示。

图5-18单自由度振动系统的振幅和初相位
从(5-29)式及(5-30)式可知，振幅A和初相位的大小取决于、、的数值。这就是说，振幅A和初相位不仅由系统的惯性和弹性所决定，而且还与运动的初始条件有关。例如：
当时，，。即用外力将质量块拉开一个距离后，除去外力，则A＝，＝。
当时，，。即在平衡位置给质量块一个初速度使其运动，则
，＝0。
振幅和初相位都决定于初始条件，这是自由振动的共同特性。
4.常力对振动特性的影响
常力(如重力W)作用在系统上，只改变系统的平衡位置，而不影响系统的运动规律、固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振动特性。
所以，在分析振动时，只要以平衡位置作为坐标原点，就可以不考虑常力。今后我们将不去研究振动系统是水平安置还是垂直安置中重力对振动性质的影响。对于其它类型的常力，在振动分析中一般也可不加考虑。
例5-4 一质量块m安放在长度为l的简支梁的中点，梁的弯曲刚度为EJ，若忽略梁的质量，试求该系统的固有频率(图5-19)。

图5-19 中点安放质量块的简支梁
解：将上述系统简化为一个单自由度自由振动系统，简支梁相当于一根弹簧。根据材料力学简支梁的挠度公式，在梁的中点作用一个垂直力P时，该点的挠度为：

故简支梁的弹簧刚度为：

所以系统的固有圆频率即可根据(5-31)式算出：

系统的固有频率为：

例5-5 试确定图5-20中各个系统的固有频率。

图5-20 求固有频率
解：(1)在图5-20(a)所示的系统中，根据前面章节所学的等效刚度理论，我们可知，该系统为三个弹簧并联，其等效刚度为：

由此可以得到系统的固有圆频率：

(2)图5-20(b)所示的系统，为两个弹簧并联，其等效刚度为：

所以整个系统的固有圆频率为：

(3)图5-20(c)所示的系统，为三个弹簧串联，故等效刚度为：

所以整个系统的固有圆频率为：

由本例可以看出，系统中的弹性环节往往由多个弹簧组成，组成的方式可以是并联，也可以是串联，或串并联同时存在。为了计算固有频率，就需要根据各分弹簧刚度来确定系统总的弹簧刚度(称为等效弹簧刚度)。
5.2.3扭转振动
以上讨论的是直线振动的情况。但在工程技术上常常碰到另一种需要用角位移θ作为广义坐标来表达其振动状态的扭转振动。对扭转振动也可应用牛顿运动定律来建立其运动微分方程式。此时，牛顿定律的表达式为：
(5-34)
M——施加于转动物体上的力矩；
I——转动物体对于转动轴的转动惯量；
——角加速度。
如图5-21所示，在一根垂直轴下端固定着一个圆盘。圆盘转动惯量为I，轴的扭转刚度为，轴的长度为l，直径为d。

图5-21 扭转振动系统
当系统受到某种干扰后即作扭转自由振动。现取为广义坐标(为圆盘上任一半径从它静平衡位置量起的角位移)，并以逆时针为正。振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的、与方向相反的弹性恢复力矩－。
根据(5-16)式，可建立上述系统的扭转振动运动微分方程式：

即
(5-35)
令
(5-36)
则(5-35)式可写成：
(5-37)
可见，扭转自由振动的微分方程与直线自由振动的微分方程完全相似，故可根据直线自由振动微分方程的通解，直接写出(5-37)式的通解：
(5-38)
所以单自由度系统扭转自由振动也是一个简谐振动。其固有圆频率、固有频率及周期分别为：
(5-39)
(5-40)
(5-41)
振幅A和初相位决定于扭转振动的初始条件。若t＝0时，，，则：
(5-42)
(5-43)
5.2.4计算系统固有频率的其它方法
在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义。计算系统的固有频率除了可以按照(5-31)式和(5-32)式进行外，还有以下几种常用的方法，即静变形法和能量法，现分别加以介绍。
1.静变形法
如前所述，当单振子此处于静平衡状态，弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡，即存在以下关系式：

由上式可得：

故系统的固有频率为：
(5-44)
由此可见，只要知道质量块处的弹簧静变形，就可以计算出系统的固有频率。在有些实际问题中，不能直接给出系统的弹簧刚度时，利用此法计算固有频率比较方便。
例5-6 设一悬臂梁长度为l，抗弯刚度为EJ，自由端有一集中质量m。梁本身重量忽略不计。试求这一系统的固有频率(见图5-22)。

图5-22 自由端有集中质量的悬臂梁
解：悬臂梁在自由端由集中力mg所引起的静挠度为：

所以：

当不易用计算方法求出静挠度时，也可用实测方法得到静挠度，然后按(5-44)式计算系统固有频率。
2.能量法
在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的损失，所以振幅始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终不衰减。我们将这样的系统称为保守系统。
在保守系统中，根据机械能守恒定律，在整个振动过程的任一瞬时机械能应保持不变。
T＋U＝常数
或
(5-45)
式中T——系统中运动质量所具有的动能；
U——系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作功而产生的重力势能。
对于单自由度无阻尼自由振动系统来说，系统的动能为：

系统的势能则由以下两部分组成：
1)重力势能。当质量块m低于静平衡位置时，重力势能为-mgx。

图5-23 单自由度振动系统的弹性势能
2)弹性势能。当质量块m运动至离静平衡位置+x距离时，弹簧的弹性力对质量块所作的功，即为系统此时的弹性势能。如图5-23所示，系统的弹性势能为：

故系统的势能为：

所以：
(常数) (5-46)
这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程。这一方程说明，无阻尼自由振动系统的能量关系是振动体的动能与弹簧势能的相互转化过程，而无能量的消耗。但在振动系统中存在阻尼时，则在振动质体的动能与弹簧势能的互相转化过程中，有一部分能量将为克服阻力而不断地转化为热能，故系统的振幅将逐渐减小，直至完全消失。
若将无阻尼自由振动的时间历程代入系统的能量方程(5-46)式，可得：

当t＝0，或、…等时，
，
当t＝0，或、、…等时，
，
这说明系统的最大动能或最大势能均等于系统的总动能，且动能与势能的最大值相等，即：

或
(5-47)
根据上式即可算出系统的固有频率：
(5-48)
这就是(5-31)式。因此，对弹簧质量系统(单振子)用上述能量法意义不大，但是复杂的单自由度系统用能量法计算固有频率就比较方便。
例5-7 一根矩形截面梁，上面承受质量为m的物体(如图5-24所示)。若忽略梁的质量，试用能量法求该系统的固有频率。
解：梁的刚度可用静变形法求出：

图5-24 承受质量的矩形截面梁

而梁的静挠度可根据材料力学公式计算：

故

代入(5-47)式即可求出该系统的固有圆频率：
图5-25 无定向摆

例5-8 图5-25所示为测量低频振幅用的传感器中的无定向摆，摇杆1长度为L，其质量不计，摇杆一端用铰链O固定，另一端装一敏感质量m，并在摇杆上连接刚度为k的两弹簧以保持摆在垂直方向的稳定位置，系统作微振动，对O点的转动惯量为I0。
解：设摇杆1偏离平衡位置的角振动为，则对于简谐振动而言，摇杆经过平衡位置时，速度最大，故此时系统动能最大，而势能为零，即

系统势能分为两部分：弹簧变形后存储的势能和质量块m的重心下降到最低点时所失去的势能。
弹簧变形后存储的势能：

质量块m的重心下降到最低点时所失去的势能：

系统最大势能为：
根据能量法：，则

故

§5.3单自由度系统有阻尼自由振动
5.3.1系统的动力学模型和运动微分方程
单自由度有阻尼自由振动系统的动力学模型如图5-26所示，与无阻尼自由振动系统相比较，只是多了一个阻尼器。当质量块m静止时，阻尼器不起作用。当质量块运动时，阻尼器就产生阻力，其方向与质量块的速度方向相反。

图5-26 单自由度有阻尼振动系统动力学模型
当质量块离开静平衡位置o-o的距离为x时，作用于质量块上的力有弹性恢复力kx及阻尼力。现取静平衡位置为坐标原点，质量块振动位移x为广义坐标，且向下为正，则根据牛顿运动定律可得：

即
(5-49)
令

(5-50)
则(5-49)式可改写成如下形式：
(5-51)
上式即为单自由度系统有阻尼自由振动的运动微分方程式，也是一个齐次二阶常系数线性微分方程式。故可设其解为：

代入(5-51)式可求得这一微分方程式的特征方程：
(5-52)
这一方程的两个根为：
(5-53)
故微分方程(5-51)的通解为：
(5-54)
上式就是单自由度有阻尼自由振动的运动方程式(时间历程)，其性质取决于根式。
为了下面讨论的方便，先引进一个无量纲的量，称为相对阻尼系数，或阻尼比。

其中，——临界阻尼，则(5-53)式可以改写成：
(5-55)
由上式可见，特征根s1、s2与、有关，但其性质主要取决于，下面分别讨论对于的不同取值的情况。
1.无阻尼(＝0)情况
显然，＝0即是c＝0，即是上一节所讨论的问题。此时(5-52)式两特征根为虚数：

单自由度无阻尼自由振动的运动方程式为：

这种情况下特征根，在复平面的虚轴上，且处于与原点对称的位置，见图5-27。此时x（t）为等幅振动，如图5-28(a)所示。

图5-27 特征根分布

(a) (b)

(c)
图5-28 有阻尼振动运动规律
2.欠阻尼(0<<1)情况
欠阻尼状态，也称弱阻尼、小阻尼状态，此时(5-52)式两特征根为共扼复根:

或

式中
(5-56)
称为有阻尼自然频率，或有阻尼固有频率。则
(5-57)
式中，A和是待定常数，由运动的初始条件决定。设t＝0时，，,则

(5-58)
(5-59)
将、和A、分别代入(5-57)式，即得到系统对于初始条件的响应：

(5-60)
当=0时，系统对于初始条件的响应为：
其中，，
此即无阻尼自由振动对初始条件的响应规律。
分析上述结果，有：
(1)系统的特征根s1、s2为共扼复数，具有负实部，分别位于复平面左半面与实轴对称的位置上，如图5-27所示。
(2)若将视为振幅，则表明有阻尼系统的自由振动是一种减幅振动，其振幅按指数规律衰减。阻尼率值越大，振幅衰减越快。其时间历程如图5-28(b)所示。表现在旋转向量图中，则是旋转向量的长度按指数规律缩短，其端点划出一对数螺线。而且，振幅的衰减程度完全由系统本身的特性所决定。
(3)特征根虚部的取值决定了自由振动的频率，由(5-56)式可知，有阻尼自然频率也完全由系统本身的特性所决定，并且，即阻尼自然频率低于无阻尼自然频率。表现在旋转向量图中，则是由于阻尼的作用减慢了向量旋转的角速度。
(4) 有阻尼自由振动的振幅A与初相角受初始条件x0，影响。
3.过阻尼(＞1)情况
此时，(5-52)式的特征根为两个实数：

则由（5-54）式有：
(5-61)
其中，，待定系数，由初始条件确定如下：
， (5-62)
代入(5-61)式得：
(5-63)
这种条件下s1、s2均为负实数，处于复平面的实数轴上，如图5-27所示。这时系统不产生振动，很快就趋近到平衡位置，如图5-28(c)所示。从物理意义上来看，表明阻尼较大时，由初始激励输入给系统的能量很快就被消耗掉了，而系统来不及产生往复振动。
4.临界阻尼(=1)情况
临界阻尼状态是前述两种情况之间的分界线，(5-52)式的特征根为两重根，可以得到此时微分方程式(5-51)的解为：
(5-64)
式中，A1、A2是待定常数，显然，这种情况下的运动也是非周期性的。以初始条件x0，代入上式，得：
， (5-65)
将(5-65)式代入(5-64)式可得系统对初始条件的响应为：
(5-66)
式中，等式右边第一项是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：

从上式即可看出，当时间t增长时，第二项也趋近于零。
因此(5-54)式所表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。这是系统从振动过渡到不振动的临界情况，故此时的粘性阻尼系数称为临界粘性阻尼系数，简称临界阻尼，以表示。。
可见，临界阻尼之值只决定于系统本身的物理性质。
此外，还有一种负阻尼(＜0＝情况，这时s1、s2处于复平面的右半平面(图5-27上未画出)，而x(t)表现为一种增幅振动。这种情况在本课程中不予介绍。
由上述分析可以看出，阻尼的作用对单自由度系统自由振动的影响存在以下两方面：
(1)改变了振动频率；
(2)使振幅衰减。
在上述各种情况中，振动分析所关心的主要是小的正阻尼系统的振动。
5.3.2振动特性的讨论
1.有阻尼自由振动的运动规律
如前所述，在系统存在阻尼的情况下，自由振动不再是简谐振动。根据阻尼的大小，可分为下列三种情况：
(1)在欠阻尼状态下，系统对于初始条件的响应由(5-60)式表示。而此式中包含有两个因素，一个是下降的指数曲线，一个是正弦曲线。故系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线之内的，且随时间而不断衰减的衰减振动，或称“似简谐