线性代数全套课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,精品课程,线性代数,目录,第,1,章,n,阶行列式,第,2,章 矩阵及其运算,第,3,章 矩阵的初等变换与线性方程组,第,4,章 向量组的线性相关性,第,5,章 相似矩阵与二次型,第,6,章 线性经济模型简介,资料库,1,资料库,2,资料库,3,资料库,1,往年试卷,4,往年试卷,3,往年试卷,2,往年试卷,1.,往年试卷,1,资料库,2,模拟题,4,模拟题,3,模拟题,2,模拟题,模拟题,1,资料库,3,4,数学家拉普拉斯,3,数学家克莱姆,2,数学家莱布尼茨,线性代数史话,1,线性代数发展史,5,数学家范德蒙,6,日本数学家关孝和,7,英国纯粹数学凯莱,8,数学家雅可比,9,数学家柯西,第一章,n,阶行列式,排列及对换,1.1,行列式的性质与计算,1.3,克莱姆法则,1.4,n,阶行列式的定义,1.2,一,1.1 n,阶行列式的定义,排列及其逆序数,对 换,二,一、,排列及其逆序数,排列,逆序数,排列的奇偶性,一、,排列及其逆序数,排列,逆序数,排列的奇偶性,1.,排列,定义,1,n,个不同的元素按照一定的次序排成一列，叫做这,n,个元素的一个全排列，简称,n,阶排列,.,不妨设排列的,n,个元素为自然数,1,，,2,，,n,，并将任意一个,n,阶,排列记成,例如,自然数,1,2,3,4,构成的,4,阶排列有,4!=24,种,:,1234,，,1243,，,1324,，,1342,，,1423,，,1432,，,2134,，,2143,，,2314,，,2341,，,2413,，,2431,3124,，,3142,，,3214,，,3241,，,3412,，,3421,，,4123,，,4132,，,4213,，,4231,，,4312,，,4321,。,n,个元素共有,n!,个全排列,2.,逆序数,一、,排列及其逆序数,排列,逆序数,排列的奇偶性,逆序数,对于,1,，,2,，,，,n,这,n,个自然数的任一,阶,排列，我们要考虑其各元素之间的次序,.,规定,:,自然数从小到大构成的排列,12,为标准次序，称为,标准排列,（或,自然排列,）,.,定义,2,对任一,n,阶,排列，如果两个元素中较大元素排在较小元素的前面，那么就称,这两个元素构成一个逆序,（,反序,）,.,一个排列中所有逆序的总数，叫做,这个排列的逆序数,.,用 表示,n,阶,排列,1,，,2,，,，,n,的逆序数,.,显然，标准排列的逆序数等于,0.,计算方法,一、,排列及其逆序数,3,排列的奇偶性,排列,逆序数,排列的奇偶性,排列的奇偶性,定义,3,逆序数为偶数的排列称为偶排列；,逆序数为奇数的排列称为奇排列。,例如，排列,43152,是偶排列，,排列,321,是奇排列,.,？,二、对换,定义,4,在一个排列中，把任意两个元素,i,j,的位置对调，而其它元素不动，就得到一个新的排列,.,对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换,记为,(i,j).,将相邻的两个元素对换叫做相邻对换,.,在对换下，排列的奇偶性会有变化,。,？,例如，排列,5 3 1 2 4,定理,1,对换改变排列的奇偶性,.,这就是说，经过一次对换，,奇,排列变成,偶,排列，,偶,排列变成,奇,排列,.,推论,1,推论,1,奇排列对换成标准排列的对换次数是奇数，,偶排列对换成标准排列的对换次数是偶数,.,根据定理,1,，经过奇数次对换后，排列改变其奇偶性；,经过偶数次对换后，排列不改变其奇偶性,.,而标准排列是偶排列，于是有,定理,2,第一章,n,阶行列式,排列及对换,1.1,n,阶行列式的定义,1.2,行列式的性质与计算,1.3,克莱姆法则,1.4,一,2.1,n,阶行列式的定义,二阶与三阶行列式,n,阶行列式的定义,二,一、,二阶与三阶行列式,1.,二元线性方程组,与二阶行列式,2.,三阶行列式,莱布尼茨,关孝和,一、,二阶与三阶行列式,1.,二元线性方程组与二阶行列式,消元法,二阶行列式,二阶行列式,二阶行列式,二阶行列式的定义：,四个数按照一定位置，排成二行二列（横排称为行、竖排称为列）,:,上述,表达式称为,二阶行列式,。,元素或元,行标,列标,主对角线,副,对角线,二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。,例,1,求解二元线性方程组,解,2,三阶行列式,定义,：,称为三阶行列式。,计算公式,对角形法则,例,2,计算三阶行列式,解 按对角线法则，有,注意！,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。,二、,n,阶行列式的定义,1.n,阶行列式的定义,2.,三角行列式的计算,3.,按定义计算行列式,4,.,行列式的另一定义,1,、,n,阶行列式的定义,主对角线,副,对角线,2,、三角行列式的计算,例,3,证明,1,.,2,.,对角行列式,【,注,】,主对角线上所有元素的乘积取正号,副对角线上所有元素的乘积未必取负号。,?,例,4,证明,(1),上三角行列式,(2),下三角行列式,(3),反上三角行列式,(4),反下三角行列式,如何证明？,化三角形,3,、按定义计算行列式,方法：当行列式中,0,比较多时,可以按定义计算行列式,:,将每一项按第,1,行的元素写在第,1,个位置,第,2,行的元素写在第,2,个位置，第,n,行的元素写在第,n,个位置,然后计算列标排列的逆序，决定该项的符号。,例,5,求下列行列式的值,解：,4,.,行列式的另一定义,为什么？,1.3,行列式的性质与计算,一,行列式的性质,行列式按行（列）展开,二,分块三角行列式的计算,三,行列式的计算方法,四,一、,行列式的性质,性质,1,性质,2,性质,3,性质,4,性质,6,性质,5,性质,1,行列式与它的转置行列式的值相等,.,即,转置,作用：凡对行成立的性质，对列也同样成立。,以后仅对行证明,对列同样成立。,性质,2,互换行列式的其中两行（列），行列式改变符号,.,性质,3,行列式中某一行（列）所有元素的,公因子可以提到行列式符号的外面,.,性质,4,如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，那么行列式等于零,.,性质,5,如果行列式的某一行（列）元素都是两数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和。,性质,6,把行列式某一行（列）的元素同乘以数,k,，加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变，,K,倍,注,：,（,1,）使用性质,2,，性质,3,，性质,6,计算行列式的方法称为,消元法,.,（,2,）性质中有三个性质个是行列式等于,0,的充分条件,。,但是，该行列式并没有一行（列）为,0,、两行（列）相同或两行（列）成比例,.,（,3,）使用消元法可以把行列式化为三角行列式的形式，从而方便地求出行列式的值,.,此方法叫做,化上（下）三角形法,.,（注意,“,1,”,的作用：消元时不产生分数。若没有,“,1,”,，有时可通过消元法造出,“,1,”,）,例,1,计算,解,化三角形法,二、行列式按行（列）展开,1,余子式和代数余子式,2,行列式按行（列）展开法则,1,、,余子式和代数余子式,的代数余子式,.,按行（列）展开法则,2,、行列式按行（列）展开法则,定理,1,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,行列式按第,i,行展开，记作,行列式按第,j,列展开，记作,造,0,降阶法,消元法,化为,0,再展开,降阶,例,2,计算,解,定理,2,行列式任意一行（列）的所有元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即,三、分块三角,行列式的计算,下分块三角,行列式,对,“,上分块三角,行列式,”,同样成立！,反上（下）分块三角,行列式,注意符号,！,四、,行列式的计算方法,1.,定义法。,当行列式中,0,元素较多时，可直接按定义计算行列式,。,2.,化上（下）三角形法。,注意,“,1,”,的作用：消元时不产生分数若没有,“,1,”,，有时可通过消元法造出,“,1,”,。,数字行列式,上,（,下,）三角行列式,消元法,3.,降阶法（造,0,降阶法）,按行（列）展开法则,消元法,化为,0,再展开,降阶,4.,观察法,(,主要观察行,(,列,),元素之和是否为一个定数；行,(,列,),间元素的差异大小,进而利用消元法计算行列式,),5.,数学归纳法,6.,递推法,例,3,计算,5,阶行列式,n,阶行列式,=?,例,4,计算,5,阶行列式,5.,数学归纳法,例,5.,证明,n,阶范德蒙,(,Vandermonde,),行列式,6.,递推法,例,6,计算阶行列式,解,1.4,克莱姆,法则,一,克莱姆法则,齐次线性方程的非零解,二,一、,克莱姆法则,定理,1,（克莱姆,(Gramer),法则）设有方程组,如果,（,）,的系数行列式不等于零，即,（,）,那么，方程组,（,）,有唯一解：,优点？,条件？,例,1,解线性方程组,解：方程组的系数行列式,因此，由克莱姆法则知，此方程组有唯一解。经计算,由公式，得,二,、,齐次线性方程的非零解,（,）,一定是,（,）,的解，叫,齐次方程组,（,）,的,零解,。,如果有一组不全为零的数是,（,）,的解，则它叫做齐次方程组,（,）,的,非零解,.,齐次线性方程组,（,）,一定有零解，但不一定有非零解,.,例,2,解线性方程组,定理,2,若齐次方程组,（,）,系数行列式,则齐次方程组只有零解,.,即,（,）,有非零解时，系数行列式,例问 取何值时，齐次线性方程组,有非零解？,解：若方程组存在非零解，则由定理,2,知，它的系数行列式,第二章 矩阵及其运算,矩阵的概念,2.1,矩阵的运算,2.2,逆矩阵及其基本求法,2.3,分块矩阵,2.4,一,2.1,矩阵,的概念,矩阵的概念,几类特殊矩阵,二,一、矩阵的概念,线性方程组,将其系数按在方程组中原有的相应位置排成一个矩形数表如下：,这样的矩形数表 称为,矩阵,。,一、矩阵的概念,定义,1,:,由,排成的 行、,列的数表,个数,称为,行 列矩阵,，简称,矩阵,。,矩阵的表示方法,:,一般用大写字母,A,，,B,，,C,等表示，,并记为：,矩阵简记为：,A=,矩阵的表示方法,:,列 标,矩阵的元素,行 数,列 数,行 标,矩阵的表示方法,有时，为了表明矩阵的行数、列数，把 行 列矩阵记作,或,以数 为 元的矩阵记作,、或,实矩阵与复矩阵,元素是实数的矩阵称为实矩阵，,元素是复数的矩阵称为复矩阵。,注,本书中的矩阵，除特别说明外，都是指实矩阵。,相等矩阵,两个矩阵，如果它们的行数与列数分别相等，且它们的对应元素也都相等，则称它们为,相等矩阵,。即：,定义,2,设有 ，如果,1,）；,2,）（；）,则称矩阵,A,与矩阵,B,相等。记为：。,例如，若 ，则,行列式与矩阵的区别,1.,行列式是一种算式，它最终表示的是一个“值”；矩阵是一张“表”，排列起来它是一个矩形“表”。,2.,行列式要求行数与列数相同，而矩阵就没有这个限制。,3.,行列式用“”,表示,，而矩阵用“”,表示,。,化,转,复杂问题,矩阵问题,转化思想,用矩阵来研究线性变换,设 个变量 与 个变量 之间的关系式为,:,线性变换,矩 阵,单位矩阵与恒等变换,线性变换,单位矩阵,1,同型矩阵,2.,零矩阵,3.,方阵,4.,行（列）矩阵,5,对角矩阵,二、几类特殊矩阵,二、几类特殊矩阵,1,同型矩阵,若两个矩阵的行数相同，且列数也相同，则称它们为,同型矩阵,。,；,二、几类特殊矩阵,元素全为零的矩阵称为,零矩阵,。一般记为：,或者就直接记成,2.,零矩阵,注意,：不同型的零矩阵是不相等的。,二、几类特殊矩阵,3.,方阵,对于 当 时，这个矩阵称为,n,阶矩阵,或,n,阶方阵,。一阶方阵可以看作一个数。,三角矩阵,方阵的主对角线,方阵的次对角线,二、几类特殊矩阵,4,行（列）矩阵,列矩阵,（或维列向量,）,行矩阵,（或,n,维行向量）,行向量与列向量统称为,向量,，一个,n,维向量含,n,个有次序的数。,二、几类特殊矩阵,5.,对角矩阵,记作：,例如,:,一,2.2,矩阵的运算,矩阵的线性运算,方阵的幂与矩阵多项式,三,二,矩阵的乘法,线性代数,精品课程,一、矩阵的线性运算,定义,1:,若,1.,矩阵的加法、减法,【,注,】,只有两个同型矩阵才可进行和的运算，两个同型矩阵的和等于对应元素和的矩阵。,则,A,与,B,的和为,:,例,1.,若,则,一、矩阵的线性运算,1.,矩阵的加法、减法,一、矩阵的线性运算,1.,矩阵的加法、减法,设,，矩阵,称为,A,的负矩阵，记为,：,例,:,一、矩阵的线性运算,1.,矩阵的加法、减法,定义,2:,设,则,例,:,矩阵加法的运算律,（,1,）交换律,（,2,）结合律,（,3,）,（,4,）,一、矩阵的线性运算,2.,矩阵的数量乘法,定义,3.,设,，,k,是一个常数，矩阵,称为,数与矩阵,A,的数量乘积,，记为,:,例,:,【,注,】,矩阵的数量乘积是与矩阵中的每一个元素都相乘。而这一点与行列式的提取一行（列）的公因数不同。,矩阵数量乘法的运算律,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,矩阵的加法、减法与数乘矩阵这三种运算合起来，称为,矩阵的线性运算,。,是矩阵,A,的第,i,行的元素与矩阵,B,的第,j,列的元素对应乘积之和,二、矩阵的乘法,定义,4,设,当,时,称,为,矩阵,A,与矩阵,B,的积。,记为：,AB,右矩阵,左矩阵,【,注,】,两个矩阵要进行乘法运算，必须满足左矩阵的列数与右矩阵的行数相等。即,二、矩阵的乘法,A,的行数,=B,的列数,在这个前提下，乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。,二、矩阵的乘法,例,4.,已知,求,解,=,矩阵乘法的基本性质,（,1,）,左分配律,右分配律,（,2,）结合律,（,3,）,（,4,）,（,5,）,其中,k,为常数,例,5,求下列矩阵的乘积,。并判断二者是否相等？,（,1,）,（,3,）,（,2,）,例,5,求下列矩阵的乘积,。并判断二者是否相等？,解,:,（,1,）,但是，,无意义,.,矩阵乘法不适合交换律,!,（,2,）,例,5,求下列矩阵的乘积,。并判断二者是否相等？,解,:,矩阵乘法不适合交换律,!,（,3,）,例,5,求下列矩阵的乘积,。并判断二者是否相等？,解,:,?,矩阵乘法不适合消去律,!,何时成立,?,三、方阵的幂与矩阵多项式,定义,:,若设是一个,n,阶方阵，,m,个,A,连乘称为,A,的,m,次方幂,，记为：,即,规定,:,方阵的幂运算满足以下运算规律,:,三、方阵的幂与矩阵多项式,（,1,）,均为正整数）,(,（,2,）,注意,:,一般地,为什么,?,何时成立？,三、方阵的幂与矩阵多项式,定义,:,若,次多项式,，,为,阶方阵，则,称为,方阵,A,的,m,次多项式,。,例,6,设,解：,在矩阵运算中，乘法公式,不都,成立。,对于可交换的（,AB=BA,）矩阵，则上式成立。,注意！,四、矩阵的转置运算,1,、矩阵的转置,2,、对称阵与反对称阵,1,、矩阵的转置,定义,:,一个,矩阵,互换行列元素的位置后，得到的新的,阶矩阵,称为,A,的转置,，记为：,或,例子,例如,:,转置运算的性质：,例,6,设矩阵,解：（方法,1,）,方法,2,：,2,对称阵与反对称阵,定义,7,对于矩阵,如果满足,则称,A,是,对称矩阵,，简称,对称阵,。,定义,7,设,为,n,阶方阵。如果,则称,A,为对称矩阵。,反对称矩阵,定义,7,对于矩阵,如果满足,则称,A,是,反对称矩阵,，简称,反对称阵,。,定义,7,设,为,n,阶方阵。如果,则称,A,为,反,对称矩阵,。,？,反对称的例子,例,7,设,A,是对称矩阵，,证明,:B,T,AB,也是对称矩阵。,证明：,由于,用转置的运算律得,，,是对称矩阵。,即,一,2.2,矩阵的运算,矩阵的线性运算,方阵的幂与矩阵多项式,三,二,矩阵的乘法,线性代数,精品课程,一、矩阵的线性运算,定义,1:,若,1.,矩阵的加法、减法,【,注,】,只有两个同型矩阵才可进行和的运算，两个同型矩阵的和等于对应元素和的矩阵。,则,A,与,B,的和为,:,例,1.,若,则,一、矩阵的线性运算,1.,矩阵的加法、减法,一、矩阵的线性运算,1.,矩阵的加法、减法,设,，矩阵,称为,A,的负矩阵，记为,：,例,:,一、矩阵的线性运算,1.,矩阵的加法、减法,定义,2:,设,则,例,:,矩阵加法的运算律,（,1,）交换律,（,2,）结合律,（,3,）,（,4,）,一、矩阵的线性运算,2.,矩阵的数量乘法,定义,3.,设,，,k,是一个常数，矩阵,称为,数与矩阵,A,的数量乘积,，记为,:,例,:,【,注,】,矩阵的数量乘积是与矩阵中的每一个元素都相乘。而这一点与行列式的提取一行（列）的公因数不同。,矩阵数量乘法的运算律,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,矩阵的加法、减法与数乘矩阵这三种运算合起来，称为,矩阵的线性运算,。,是矩阵,A,的第,i,行的元素与矩阵,B,的第,j,列的元素对应乘积之和,二、矩阵的乘法,定义,4,设,当,时,称,为,矩阵,A,与矩阵,B,的积。,记为：,AB,右矩阵,左矩阵,【,注,】,两个矩阵要进行乘法运算，必须满足左矩阵的列数与右矩阵的行数相等。即,二、矩阵的乘法,A,的行数,=B,的列数,在这个前提下，乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。,二、矩阵的乘法,例,4.,已知,求,解,=,矩阵乘法的基本性质,（,1,）,左分配律,右分配律,（,2,）结合律,（,3,）,（,4,）,（,5,）,其中,k,为常数,例,5,求下列矩阵的乘积,。并判断二者是否相等？,（,1,）,（,3,）,（,2,）,例,5,求下列矩阵的乘积,。并判断二者是否相等？,解,:,（,1,）,但是，,无意义,.,矩阵乘法不适合交换律,!,（,2,）,例,5,求下列矩阵的乘积,。并判断二者是否相等？,解,:,矩阵乘法不适合交换律,!,（,3,）,例,5,求下列矩阵的乘积,。并判断二者是否相等？,解,:,?,矩阵乘法不适合消去律,!,何时成立,?,三、方阵的幂与矩阵多项式,定义,:,若设是一个,n,阶方阵，,m,个,A,连乘称为,A,的,m,次方幂,，记为：,即,规定,:,方阵的幂运算满足以下运算规律,:,三、方阵的幂与矩阵多项式,（,1,）,均为正整数）,(,（,2,）,注意,:,一般地,为什么,?,何时成立？,定义,:,三、方阵的幂与矩阵多项式,若,次多项式,，,为,阶方阵，则,称为,方阵,A,的,m,次多项式,。,例,6,设,解：,在矩阵运算中，乘法公式,不都,成立。,对于可交换的（,AB=BA,）矩阵，则上式成立。,注意！,四、矩阵的转置运算,1,、矩阵的转置,2,、对称阵与反对称阵,1,、矩阵的转置,定义,:,一个,矩阵,互换行列元素的位置后，得到的新的,阶矩阵,称为,A,的转置,，记为：,或,例子,例如,:,转置运算的性质：,例,6,设矩阵,解：（方法,1,）,方法,2,：,2,对称阵与反对称阵,定义,7,对于矩阵,如果满足,则称,A,是,对称矩阵,，简称,对称阵,。,定义,7,设,为,n,阶方阵。如果,则称,A,为对称矩阵。,反对称矩阵,定义,7,对于矩阵,如果满足,则称,A,是,反对称矩阵,，简称,反对称阵,。,定义,7,设,为,n,阶方阵。如果,则称,A,为,反,对称矩阵,。,？,反对称的例子,例,7,设,A,是对称矩阵，,证明,:B,T,AB,也是对称矩阵。,证明：,由于,用转置的运算律得,，,是对称矩阵。,即,一,2.3,逆矩阵及其基本求法,可逆矩阵及其求法,二,可逆矩阵的几个基本性质,一、可逆矩阵及其求法,1.,可逆矩阵的概念,4.,求逆矩阵的方法,3.,伴随矩阵,2.,矩阵行列式,1.,可逆矩阵的概念,定义,1,设,A,是,n,阶方阵，如果存在,n,阶方阵,B,，使得,或,称,矩阵,A,是,非奇异,的。,则称矩阵,A,为,可逆,矩阵,（,可逆的,）。,称矩阵,A,是,不,可逆,的，或,称,A,是,奇异的,。,否则,方阵,！,唯一,！,定义,2,如果矩阵,B,适合等式,那么就称为,A,的,逆矩阵,。记为,即,A,和,B,互为逆矩阵,两个问题,（,1,）如何判定矩阵,A,是不是可逆矩阵，,即，矩阵,A,可逆的条件是什么？,（,2,）若,A,可逆，如何求,A,的逆矩阵？,?,定义,3,设,2.,矩阵行列式,是一个,n,阶方阵,，,按矩阵,A,的元素的原顺序组成的,n,阶行列式,称为,矩阵,A,的矩阵行列式,。,=,=,矩阵中只有方阵才有行列式。,n,阶方阵是个数表，,n,阶行列式是个数值,定理,矩阵乘积的行列式,=,矩阵行列式的乘积,n,阶方阵的行列式还满足以下规律,：,例,1,设矩阵,求,3.,伴随矩阵,定义,设 是一个,n,阶方阵，是矩阵行列式 的元素的代数余子式，则矩阵,称为,A,的伴随矩阵,，记为：,性质,4.,求逆矩阵的方法,定理,2,n,阶矩阵,A,可逆的充分必要条件是,：,A,的矩阵行列式，并且,公式法,证明：,返回题目,推论,优点,例,1,公式,例,2,讨论,A,是否可逆？如果可逆，求逆矩阵。其中，,解：,所以,A,可逆。,又，,设,A,和,B,都是阶方阵，则求它们的逆矩阵的方法有如下几种,:,小结,例,3,？,二、可逆矩阵的几个基本性质,如何证明？,一,2.3,逆矩阵及其基本求法,分块矩阵的概念,二,分块矩阵的运算,一、分块矩阵的概念,将矩阵,A,用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为,A,的子块,，,以子块为元素形式上的矩阵称为,分块矩阵,。,特殊的分块方法,1.,按行分块,：将矩阵的每一行，作为一个子块，记为,m,元列矩阵,2.,按列分块,：,将矩阵的每一列，作为一个子块，记为,n,元行矩阵,A,的,m,个,n,维行向量叫做,A,的行向量组,，,n,个,m,维列向量叫做,A,的列向量组,。,A,的按行或按列分块矩阵显示，一个矩阵等同于它的行向量组，也等同于它的列向量组。,因此，如果把有序数组叫做,向量,，那么，有序数向量组便是矩阵。,线性方程组的向量表示,（,I,）,方程组,（,I,）,的系数矩阵,未知数向量,常数项向量,（,II,）,向量方程（,II,）的解就称为,线性方程组,（,I,）,的解向量,线性方程组（,I,）的各种变形,（,3,）,分块对角矩阵,性质,1,2,A,i,是非零方,阵,例,2,设,求,A,-1,解,将化为分块对角矩阵,二、分块矩阵的运算,设,A,、,B,为同型矩阵，对,A,、,B,用相同的方法分块，即,1,2,3,4,二、分块矩阵的运算,成立的条件？,例,2,用分块矩阵计算,AB,，其中,它们如何计算？,课后作业与练习,作业：第,55,页,26,题、,27,题。,练习：第,55,页,28,题、,29,题、,30,题。,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,矩阵的初等变换,3.1,初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法的运算,3.2,矩阵的秩,3.3,线性方程组的解,3.4,3.1,矩阵的初等变换,二,一,三,矩阵的初等行变换,矩阵的初等列变换,矩阵的,等价,一、矩阵的初等行变换,定义,1,下面三种对矩阵的变换，称为,矩阵初等行变换,：,（,1,）互换矩阵中两行的位置。如果第,两行互换，记为,；,（,2,）用任意非零常数 乘矩阵的第,行，记为,；,（,3,）把矩阵的第,行的,倍加到第,行上，其中,为,任意常数，记为,。,约定：,对,实施一次初等行变换，变成了 ，记成：,例,1,设矩阵,对 施以初等行变换。,解,由例,1,可以看到矩阵,经过初等行变换化成矩阵,称这种类型的矩阵为,行阶梯形矩阵,。其特点为：,1,）每一行首位非零元素（简称首非零元）所在列的 位置逐行增加；,2,）零行在非零行下面。,例如，,都是行阶梯形矩阵。而,都不是行阶梯形矩阵。,?,如果对例,1,中的行阶梯形矩阵再进一步施初等行变换，可以使它更加简化。,最后这个矩阵我们称为,行最简形矩阵,，其特点为：,1,）它满足行阶梯形矩阵的特征，是一个行阶梯形矩阵；,2,）它每行中首位非零元素是,1,；,3,）首位非零元素所在列除,1,外，其它元素都是零。,例如，,都是行最简形矩阵。,对于矩阵的初等行变换有如下几点说明：,1,）初等行变换可以将任意,阶矩阵化为行阶梯形矩阵,和行最简形矩阵,。,3,）三种初等行变换都是可逆的。即经变换后的矩阵再施以同类型的变换又会回到原矩阵。如,2,）初等行变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不相等。所以，一定要用“,”来连接变换前后的矩阵。,二、矩阵的初等列变换,如果将对行施加的三种变换换成对列的，同样得到对列的三种变换：,1,）互换矩阵中两列的位置。如果第,两列互换，记为,2,）用任意非零常数,乘矩阵的第,列，记为,3,）把矩阵的第,列的,倍加到第,列上，其中,为任意,常数，记为,定义,2,上面三种对矩阵列的变换，称为,矩阵的初等列变换。,同样，我们,约定,：对,实施一次初等列变换，变成,，记成：,初等行变换具有的性质初等列变换也具有。,定义,3,矩阵的初等行变换和初等列变换统称为,矩阵的初等变换。,初等变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不相等，那么，它们之间具有什么关系呢？,三、矩阵的等价,定义,4,如果矩阵,经过有限次初等列变换变成矩阵,，那么，我们称,与,列等价,，记为,如果矩阵,经过有限次初等行变换变成矩阵,那么，我们称,与,行等价,，记为,如果矩阵,经过有限次初等变换化成矩阵,，那么，,与,等价,，记为,我们称,如果,是可逆矩阵，那么,经过有限次初等变换可化为,，所以，,单位矩阵,等价矩阵具有如下性质：,1,）反身性：,2,）对称性：,若,则,3,）传递性：,若,则,例,2,将矩阵,化为行最简形矩阵。,解,（为行阶梯形）,（为行最简形）,从而得,.,例,3,设,把,化成行最简形。,解,若把,的行最简形记作,，则,并可以验证，,，即,下一节我们将证明，,，,的充分必要条件是,可逆，且,可逆时，,对于任何方阵,当,注：此处仅进行初等行,变换,对行最简形矩阵再施以初等列变换，可化成一种形状更简单的矩阵，称为,标准形,。例如对行最简形矩阵,矩阵,称为,矩阵,的标准形,，其特点是：,的左,上角是一个单位阵，其余全为,0,。,一个,矩阵,，总可以经过有限次初等变换（初等行,化为标准形,变换和初等列变换）把矩阵,【,注,】,标准形,由,三个数完全确定，其中,就是行阶梯形矩,中非零行的行数。,阵,所有与,等价的矩阵组成的一个集合，称为一个,等价类,是这个等价类中形状最简单的矩阵。,标准形,3.2,初等矩阵与求逆 矩阵的初等变换法,一,二,三,初等矩阵的概念,初等变换法求矩阵的逆矩阵,逆矩阵在解矩阵方程中的应用,一、初等矩阵的概念,1,初等矩阵,定义,1,由单位矩阵,经过一次初等变换后得到的矩阵称为,初等矩阵,。,2,初等矩阵的类型,三种初等变换对应有三种初等矩阵。,（,1,）交换两行（或列）。,表示单位矩阵交换,i,、,j,行（列）,（,2,）用任意常数,去乘某行（或列）,。,第,i,行（列）乘非零常数,k,后得到的初等矩阵；,后得到的初等矩阵；,表示单位,矩阵,（,3,）以数,乘某行（或列）加到另一行（或列）上,。,矩阵或表示单位矩阵第,列乘常数,k,加到第,列后得到的,表示单位矩阵第,i,行乘常数,k,加到第,j,行后得到的初等,初等矩阵。,这样，初等矩阵共有三类：,。,3,初等矩阵的作用：左乘变行，右乘变列,用,阶初等矩阵,左乘,，得,其结果相当于对矩阵,施第一种初等行变换：,的第,行与第,行对调（,）。类似地，,阶初等,右乘,，其结果相当于对,施第一种初,的第,列与第,列对调（,）。,矩阵,可以验证，,左乘矩阵,，其结果相当于以数,乘,的第,行,；,右乘矩阵,，其结果相当,乘,的第,列（,）。,矩阵,等列变换：把,于以数,同样，还也验证，以,左乘矩阵,其结果相当于对,作初等行变换,；以,右乘矩阵,，其结果相当于对,作初,。,等列变换,综上所述，可得下述定理：,定理,1,设,是一个,阶矩阵，对,作一,的左边乘以相应的,阶初等矩阵；对,作一次初等列变换，相当,的右边乘以相应的,阶初等矩阵。,初等行变换，相当于在,次,于在,【,注,】,这里乘以相应,阶初等矩阵的意思是：,作一次什么样的初等变换，就相当于,乘以对,作同样初等变换得到的初等矩阵。,对,4,初等矩阵的可逆性,因为 ，,所以 ，。,即：,初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵,仍是同类的初等矩阵。,二、初等变换法求矩阵的逆矩阵,1,矩阵可逆的两个充分必要条件,在上一章已经得到：,n,阶矩阵,A,可逆的充分必要条件是：,A,的,。,现再给出两个,充分必要条件。,行列式,引理,初等变换不改变矩阵的可逆性。,证明,不妨设,阶矩阵,经过一次初等行变换化成矩阵,，则存在,初等矩阵,使,若,可逆,，,则,可逆；又若,可逆，则,可逆,。,由定理,1,，可得：,定理,2,阶矩阵，则,可逆的充分必要条件是,只通过初等行（列）变换化为单位矩阵,。,为,定理,3,设,为,阶矩阵，则,可逆的充分必要条件是,使,。,存在有限个初等矩阵,证明：,（必要性）因为,可逆，则,可只通过行（列）,。,初等变换化为单位矩阵,所以，,。,若记,，,则,是初等矩阵的乘积。,（,充分性,）,若存在初等矩阵,，使,因为,可逆，,从而,可逆，所以,可逆。,例,1,设,把,表示成初等矩阵的乘积。,解,见,3.1,例,3,可逆的一个重要意义是,可以分解为初等,（或,）相当于对,施行若干,【,注,】,矩阵,矩阵的乘积。这时,推论,1,阶矩阵,与,等价的充分必要条件是存,阶可逆矩阵,阶可逆矩阵,，使,在,及,次初等行（列）变换。,2,求矩阵逆矩阵的初等变换法,因为,可逆，据定理,2,，有初等矩阵,使,，即,。,于是,上两式表明：,经一系列初等行变换化为,，则,可经这同一系列初等行变换化为,。,用分块矩阵形,式，两式可以合并为,或,即对矩阵,作初等行变换，当把,化为,时，,就化成了,。,),(,【,注,】,上面介绍的方法中，只能用行变换，不能用列变换。,例,2,设,求,。,解,所以,同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的,阶矩阵,逆矩阵。这时，对,进行初等列变换，,当上半子块化为,时，,可逆，且下半子块就是,。即,若上半子块能够化为,时，说明,可逆，否则，,不,可逆。,【,注,】,在这种方法中，只能用列变换，不能用行变换。,例,3,求矩阵,的逆矩阵。,解,故,【,注,】,设,和,都是,阶方阵，则求它们逆矩阵的,方法有如下几种：,（,1,）定义法。若,，则,A,是可逆矩阵，且,。,（,2,）利用推论,1,。若,或,，则,和,都可逆，并且,（,3,）公式法。若,，则矩阵,A,可逆，且,。,（,4,）初等变换法。,，或,（,5,）用分块矩阵求逆矩阵。,三、逆矩阵在解矩阵方程中的应用,设有,阶可逆矩阵,及,矩阵,，满足矩阵,的,如何快捷得到？,直接有,方程,因为,可逆，据定理,2,，有初等矩阵,，使,，即,。于是,上两式表明：,经一系列初等行变换化为,，则,可经这同一系列初等行变换化为,。,用分块矩阵形式，,两式可以合并为,或,即对矩阵,作初等行变换，当把,化为,时，,就化成了,。,特别地，当,时，若,，则,可逆，且,。这便是前面给出的结论。,同理，若,，则有,。即,【,注,】,上半子块能够化为,时，说明,可逆，,不可逆,。,否则,3.3,矩阵的秩,一,二,矩阵秩的概念,求矩阵秩的方法,一、矩阵秩的概念,定义,1,在,阶矩阵,中，任取,行与,列,），,（,位于这些行列交叉处的,个元，不,中所处的位置次序而得的,阶行列式，,改变它们在,称为,矩阵,的,阶子式,。,阶矩阵,的,阶子式共有,个。,定义,2,设在矩阵,中有一个不等于,0,的,阶子式,，且所有,阶子式（如果存在的话）全等于,0,，,称为矩阵,的,最高阶非零子式,，数,称为,矩,的秩,，记作,。并规定,零矩阵的秩等于,0,。,那么,阵,由行列式的按行（列）展开性质可知，在,中当所有,阶子式全等于,0,，所有高于,阶的子式也全为,0,，因此把,阶非零子式称为最高,的最高阶非零子式,的秩,就是,的非零子,阶非零子式，并由此可知矩阵,可能不止一个。而,式的最高阶数。,【,注,】,（,1,）若矩阵,中有一个,阶非零子式，则,；若,中所有,阶子式全为,0,，则,（,2,）若,为,矩阵，则,。,。,（,3,）对于,阶矩阵,，若,，则,；若,，则,。因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，,不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。,（,4,）由于行列式与其转置行列式相等，因此,的子式与,的子式对应相等，从而,（,5,）该定义揭示了矩阵秩的本质。,例,4,求矩阵,和矩阵,的秩，其中,解,在,中，容易看出一个二阶子式,，而,的三阶子式只有一个,，经计算可知,，因此,。,是一个行阶梯形矩阵，其非零行有,3,行，即知,的所有四阶子式全为,0,；而以,3,个非零行的非零元为对角,元的三阶行列式,是一个上三角形行列式，它显然不等于,0,，因此,二、求矩阵秩的方法,从上可知，对于一般的矩阵，当行数与列数较高,时，按定义求秩是很麻烦的。然而对于行阶梯形矩阵，,它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。因,此，自然想到用初等变换把矩阵化为阶梯形，但矩阵,经初等变换后它的秩是否保持不变呢？下面的定理对,此作出肯定的回答。,定理,1,若,，则,。即，矩阵的,初等变换不改变矩阵的秩。,证明,先证明：若,经一次行初等变换化为,，则,。为此,设,，且,的某个,阶子式,。,当,或,时，在,中总能找到与,相对应的,阶子式,，由于,或,或,，因此,，从而,。,当,时，分三种情形讨论：,（,1,）,中不含第,行；,中同时含第,行和第,行；,中含第,行但不含第,行。,（,2,）,（,3,）,对于（,1,）（,2,）两种情形，显然,对