第5章 杆件的应力与强度计算.doc

第5章 杆件的应力与强度计算
第一节 变形固体及其基本假设
一、变形固体
工程上所用的构件都是由固体材料制成的，如钢、铸铁、木材、混凝土等，它们在外力作用下会或多或少地产生变形，有些变形可直接观察到，有些变形可以通过仪器测出。在外力作用下，会产生变形的固体称为变形固体。
在静力学中，由于研究的是物体在力作用下平衡的问题。物体的微小变形对研究这种问题的影响是很小的，可以作为次要因素忽略。因此，认为物体在外力作用下，大小形状都不发生变化，而把物体视为一个刚体来进行理论分析。在材料力学中，由于主要研究的是构件在外力作用下的强度、刚度和稳定性的问题。对于这类问题，即使是微小的变形往往也是主要影响的因素之一，必须予以考虑而不能忽略。因此，在材料力学中，必须将组成构件的各种固体视为变形固体。
变形固体在外力作用下会产生两种不同性质的变形：一种是外力消除时，变形随着消失，这种变形称为弹性变形；另一种是外力消除后，不能消失的变形称为塑性变形。一般情况下，物体受力后，即有弹性变形，又有塑性变形。但工程中常用的材料，当外力不超过一定范围时，塑性变形很小，忽略不计，认为只有弹性变形，这种只有弹性变形的变形固体称为完全弹性体。只引起弹性变形的外力范围称为弹性范围。本书主要讨论材料在弹性范围内的变形及受力。
二、变形固体的基本假设
变形固体有多种多样，其组成和性质是非常复杂的。对于用变形固体材料做成的构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了使问题得到简化，常略去一些次要的性质，而保留其主要的性质，因此，对变形固体材料作出下列的几个基本假设。
1．均匀连续假设
假设变形固体在其整个体积内毫无空隙的充满了物体，并且各处的材料力学性能完全相同。
实际上，变形固体是由很多微粒或晶体组成的，各微粒或晶体之间是有空隙的，且各微粒或晶体彼此的性质并不完全相同。但是由于这些空隙与构件的尺寸相比是极微小的，同时构件包含的微粒或晶体的数目极多，排列也不规则，所以，物体的力学性能并不反映其某一个组成部分的性能，而是反映所有组成部分性能的统计平均值。因而可以认为固体的结构是密实的，力学性能是均匀的。
有了这个假设，物体内的一些物理量，才可能是连续的，才能用连续函数来表示。在进行分析时，可以从物体内任何位置取出一小部分来研究材料的性质，其结果可代表整个物体，也可将那些大尺寸构件的试验结果应用于物体的任何微小部分上去。
2．各向同性假设
假设变形固体沿各个方向的力学性能均相同。
实际上，组成固体的各个晶体在不同方向上有着不同的性质。但由于构件所包含的晶体数量极多，且排列也完全没有规则，变形固体的性质是这些晶粒性质的统计平均值。这样，在以构件为对象的研究问题中，就可以认为是各项同性的。工程使用的大多数材料，如钢材、玻璃、铜和浇灌很好的混凝土，可以认为是各向同性的材料。根据这个假设当获得了材料在任何一个方向的力学性能后，就可将其结果用于其它方向。
在工程实际中，也存在了不少的各向异性材料。例如轧制钢材、木材、竹材等，它们沿各方向的力学性能是不同的。很明显，当木材分别在顺纹方向、横纹方向和斜纹方向受到外力作用时，它所表现出的强度或其它的力学性质都是各不相同的。因此，对于由各向异性材料制成的构件，在设计时必须考虑材料在各个不同方向的不同力学性质。
3．小变形假设
在实际工程中，构件在荷载作用下，其变形与构件的原尺寸相比通常很小，可以忽略不计，所以在研究构件的平衡和运动时，可按变形前的原始尺寸和形状进行计算。在研究和计算变形时，变形的高次幂项也可忽略不计。这样，使计算工作大为简化，而又不影响计算结果的精度。
总的来说，在材料力学中是把实际材料看作是连续、均匀、各向同性的弹性变形固体，且限于小变形范围。
第二节 杆件变形的基本形式
作用在杆上的外力是多种多样的，因此，杆件的变形也是多种多样的。但总不外乎是由下列四种基本变形之一，或者是几种基本变形形式的组合。

一、轴向拉伸和轴向压缩
在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件的主要变形是长度改变。这种变形称为轴向拉伸（图5－1（a））或轴向压缩（图5－1（b））。
二、剪切
在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的主要变形是横截面沿外力作用方向发生错动。这种变形形式称为剪切（图5－1（c））。

三、扭转
在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线的两平面内的外力偶作用下，杆的任意横截面将绕轴线发生相对转动，而轴线仍维持直线，这种变形形式称为扭转（图5－1（d））。
四、弯曲
在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的外力偶作用下，杆件的轴线由直线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲（图5－1（e））。
在工程实际中，杆件可能同时承受不同形式的荷载而发生复杂的变形，但却可看作是上述基本变形的组合。由两种或两种以上基本变形组成的复杂变形称为组合变形。
本书以下几章中，将分别讨论上述各种基本变形，然后再讨论组合变形。

第三节 轴向拉伸和压缩时的内力
一、轴向拉伸和压缩的概念
在工程中，经常会遇到轴向拉伸或压缩的杆件，例如图6－1所示的桁架的竖杆、斜杆和上下弦杆，图6－2所示起重架的1、2杆和做材料试验用的万能试验机的立柱。作用在这些杆上外力的合力作用线与杆轴线重合。在这种受力情况下，杆所产生的变形主要是纵向伸长或缩短。产生轴向拉伸或压缩的杆件称为拉杆或压杆。

二、内力的概念
我们知道，物体是由质点组成的，物体在没有受到外力作用时，各质点间本来就有相互作用力。物体在外力作用下，内部各质点的相对位置将发生改变，其质点的相互作用力也会发生变化。这种相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量，称为“附加内力”，简称为内力。
内力随外力的增大、变形的增大而增大，当内力达到某一限度时，就会引起构件的破坏。因此，要进行构件的强度计算就必须先分析构件的内力。

三、截面法·轴力·轴力图
求构件内力的基本方法是截面法。下面通过求解图6－3（a）的拉杆m－m横截面上的内力来阐明这种方法。假想用一横截面将杆沿截面m－m截开，取左段为研究对象图6－3（b）。由于整个杆件是处于平衡状态的，所以左段也保持平衡，由平衡条件可知，截面m－m上的分布内力的合力必是与杆轴相重合的一个力，且，其指向背离截面。同样，若取右段为研究对象图6－3（c），可得出相同的结果。
对于压杆，也可通过上述方法求得其任一横截面m－m上的轴力N，其指向如图6－4所示。

把作用线与杆轴线相重合的内力称为轴力，用符号N表示。背离截面的轴力称为拉力，指向截面的轴力称为压力。通常规定：拉力为正，压力为负。
轴力的单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）。
这种假想用一截面将物体截开为两部分，取其中一部分为研究对象，利用平衡条件求解截面内力的方法称截面法。
综上所述，截面法包括以下三个步骤：
（1）沿所求内力的截面假想地将杆件截成两部分。
（2）取出任一部分为研究对象，并在截开面上用内力代替弃去部分对该部分的作用。
（3）列出研究对象的平衡方程，并求解内力。
【例6－1】杆件受力如图6－5（a）所示，在力、、作用下处于平衡。已知，，，求杆件AB和BC段的轴力。
【解】 杆件承受多个轴向力作用时，外力将杆分为几段，各段杆的内力将不相同，因此要分段求出杆的力。
（1）求AB段的轴力
用1－1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象（图6－5（b）），截面上的轴力用表示，并假设为拉力，由平衡方程

得正号，说明假设方向与实际方向相同，AB段的轴力为拉力。
（2）求BC段的轴力
用2－2截面在BC段内将杆截开，取左段为研究对象（图6－5（c）），截面上的轴力用表示，由平衡方程

得负号，说明假设方向与实际方向相反，BC杆的轴力为压力。
若取右段为研究对象（图6－5（d）），由平衡方程

结果与取左段相同。
必须指出：在采用截面法之前，是不能随意使用力的可传性和力偶的可移性原理。这是因为将外力移动后就改变了杆件的变形性质，并使内力也随之改变。如将上例中的移到A点，则AB段将受压而缩短，其轴力也变为压力。可见，外力使物体产生内力和变形，不但与外力的大小有关，而且与外力的作用位置及作用方式有关。
当杆件受到多于两个的轴向外力作用时，在杆的不同截面上轴力将不相同，在这种情况下，对杆件进行强度计算时，必须知道杆的各个横截面上的轴力，最大轴力的数值及其所在截面的位置。为了直观地看出轴力沿横截面位置的变化情况，可按选定的比例尺，用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示各横截面轴力的大小，绘出表示轴力与截面位置关系的图线，该图线就称为轴力图。画图时，习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的轴力画在下侧。
【例6－2】 杆件受力图6－6（a）所示。试求杆内的轴力并作出轴力图。
【解】：（1）为了运算方便，首先求出支座反力。根据平衡条件可知，轴向拉压杆固定端的支座反力只有R图6－6（b），取整根杆为研究对象，列平衡方程

（2）求各段杆的轴力
在计算中，为了使计算结果的正负号与轴力规定的符号一致，在假设截面轴力指向时，一律假设为拉力。如果计算结果为正，表明内力的实际指向与假设指向相同，轴力为拉力，如果计算结果为负，表明内力的实际指向与假设指向相反，轴力为压力。

求AB段轴力：用1－1截面将杆件在AB段内截开，取左段为研究对象（图6－6（c）），以表示截面上的轴力，由平衡方程

（拉力）
求BC段的轴力：用2－2截面将杆件截断，取左段为研究对象（图6－6（d）），由平衡方程

（拉力）
求CD段轴力：用3－3截面将杆件截断，取左段为研究对象（图6－6（e）），由平衡方程

（压力）
求DE段轴力：用4－4截面将杆件截断，取右段为研究对象（图6－6（f）），由平衡方程

（拉力）
（3） 画轴力图
以平行于杆轴的X轴为横坐标，垂直于杆轴的坐标轴为N轴，接一定比例将各段轴力标在坐标轴上，可作出轴力图，如图6－6（g）所示。
第四节 梁的弯曲(平面弯曲)
一、平面弯曲的概念
当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时（图9-1），杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。

图9-1 受弯杆件的受力形式
弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。例如房屋建筑中的楼面梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形（9-2a、b），阳台挑梁（9-2 c、d）等，都是以弯曲变形为主的构件。
工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图9-3所示，这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平面（图9-4）。如果作用在梁上的外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。这种梁

图9-2 工程中常见的受弯构件
的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。

图9-3 梁常见的截面形状 对图9-4平面弯曲的特征
二、单跨静定梁的几种形式
工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式：
1．悬臂梁： 梁的一端为固定端，另一端为自由端（图9-5a）。
2．简支梁： 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图9-5b）。
3．外伸梁： 梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图9-5c）。

(a) (b)

(c)
图9-5 三种静定梁

三、 梁的弯曲内力——剪力和弯矩
为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。下面将着重讨论梁的内力的计算方法。
(一)、截面法求内力
1、剪力和弯矩
图9-6a所示为一简支梁，荷截F和支座反力RA、RB是作用在
F

(a)

(b) Q
F
Q
(c)

图9-6 用截面法求梁的内力
梁的纵向对称平面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面m-m上的内力。假想将梁沿m-m截

面分为两段，现取左段为研究对象，从图9-6b可见，因有座支反力RA作用，为使左段满足Σ Y＝０，截面m-m上必然有与RA等值、平行且反向的内力Q存在，这个内力Q，称为剪力；同时，因RA对截面m-m的形心O点有一个力矩RA· a的作用，为满足Σ Mo＝０，截面m-m上也必然有一个与力矩RA· a大小相等且转向相反的内力偶矩Ｍ存在，这个内力偶矩M称为弯矩。由此可见，梁发生弯曲时，横截面上同时存在着两个内力素，即剪力和弯矩。
剪力的常用单位为Ｎ或kN，弯矩的常用单位为N·m或 kN· m。
剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求得,即
， ， 得
， ， 得
如果取右段梁作为研究对象，同样可求得截面m-m上的Q和M，根据作用与反作用力的关系，它们与从右段梁求出m-m截面上的Q和M大小相等，方向相反，如图9-6c所示。
2、剪力和弯矩的正、负号规定
为了使从左、右两段梁求得同一截面上的剪力Q和弯矩M具有相同的正负号，并考虑到土建工程上的习惯要求，对剪力和弯矩的正负号特作如下规定：
(１)．剪力的正负号: 使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正（图9-7a）；反之，为负（图9-7b）。
(２)．弯矩的正负号: 使梁段产生下侧受拉的弯矩为正（图9-8a）；反之，为负（图9-8b）。

(a) (b)
图9-7剪力的正负号规定

(a) (b)
图9-8弯矩的正负号规定
3、用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩
用截面法求指定截面上的剪力和弯矩的步骤如下：
(１)．计算支座反力；
(２)．用假想的截面在需求内力处将梁截成两段，取其中任一段为研究对象；(３)．画出研究对象的受力图（截面上的Q和M都先假设为正的方向）；
(４)．建立平衡方程，解出内力。
下面举例说明用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩。
【例9-1】 简支梁如图9-9a所示。已知F1＝30kN，F2 =30kN，试求截面1-1上的剪力和弯矩。

(a) (b) (c)
图9-9 例9-1图
【解】（1）求支座反力，考虑梁的整体平衡

得 (↑)， (↑)
校核
(2) 求截面1-1上的内力
在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力，内力和均先假设为正的方向（图9-9b），例平衡方程

得 kN
kN·m
求得和均为正值，表示截面1-1上内力的实际方向与假定的方向相同；按内力的符号规定，剪力、弯矩都是正的。所以，画受力图时一定要先假设内力为正的方向，由平衡方程求得结果的正负号，就能直接代表内力本身的正负。
如取1-1截面右段梁为研究对象（图9-9c），可得出同样的结果。
【例9-2】 悬臂梁，其尺寸及梁上荷载如图9-10所示，求截面1-1上的剪力和弯矩。

(a) (b)

图9-10 例9-2图
【解】对于悬臂梁不需求支座反力，可取右段梁为研究对象，其受力图如图9-10b所示。

得 kN
kN·m
求得为正值，表示的实际方向与假定的方向相同；为负值，表示的实际方向与假定的方向相反。所以，按梁内力的符号规定，1-1截面上的剪力为正，弯矩为负。
(二)、简便法求内力
通过上述例题，可以总结出直接根据外力计算梁内力的规律。
1．剪力的规律
计算剪力是对截面左（或右）段梁建立投影方程，经过移项后可得
或
上两式说明：梁内任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外力在垂直于轴线方向投影的代数和。若外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时，等式右方取正号（参见图9-7a）；反之，取负号（参见图9-7b）。此规律可记为“顺转剪力正”。
2．求弯矩的规律
计算弯矩是对截面左（或右）段梁建立力矩方程，经过移项后可得
或
上两式说明：梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力（包括力偶）对该截面形心力矩的代数和。将所求截面固定，若外力矩使所考虑的梁段产生下凸弯曲变形时（即上部受压，下部受拉），等式右方取正号（参见图9-8a）；反之，取负号（参见图9-8b）。此规律可记为“下凸弯矩正”。
利用上述规律直接由外力求梁内力的方法称为简便法。用简便法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程。现举例说明。
【例9-3】 用简便法求图9-11所示简支梁1-1截面上的剪力和弯矩。
【解】 ⑴求支座反力。由梁的整体平衡求得
（↑）， （↑）
⑵计算1-1截面上的内力
由1-1截面以左部分的外力来计算内力，根据“顺转剪力正”和“下凸弯矩正”得

图9-11 例9-3图
一
用内力方程法绘制剪力图和弯矩图
为了计算梁的强度和刚度问题，除了要计算指定截面的剪力和弯矩外，还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，从而找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置。
(一)、剪力方程和弯矩方程
从上节的讨论可以看出，梁内各截面上的剪力和弯矩一般随截面的位置而变化的。若横截面的位置用沿梁轴线的坐标x来表示，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即
，
以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力方程和弯矩方程。
(二)、剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。以沿梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，在土建工程中，习惯上把正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴上方。如图9-12所示。

图9-12画剪力图和弯矩图的规定
【例9-4】 简支梁受均布荷截作用如图9-13a所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。
【解】（1）求支座反力
因对称关系，可得
(↑)
(2)列剪力方程和弯矩方程
取距A点为x处的任意截面，将梁假想截开，考虑左段平衡，可得

(a)

(b)

(c)

图9-13 例9-4图
(1)
(2)
(3)画剪力图和弯矩图
由式(1)可见，是x的一次函数，即剪力方程为一直线方程，剪力图是一条斜直线。
当 时
时
根据这两个截面的剪力值，画出剪力图，如图9-13b所示。
由式(2)知，Ｍ(x)是x的二次函数，说明弯矩图是一条二次抛物线，应至少计算三个截面的弯矩值,才可描绘出曲线的大致形状。
当 时，
时，
时，
根据以上计算结果，画出弯矩图，如图9-13c所示。
从剪力图和弯矩图中可知，受均布荷载作用的简支梁，其剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；最大剪力发生在两端支座处，绝对值为 ；而最大弯矩发生在剪力为零的跨中截面上，其绝对值为。
结论：在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。在剪力等于零的截面上弯矩有极值。
【例9-5】 简支梁受集中力作用如图9-14a所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。
【解】(1)求支座反力
由梁的整体平衡条件
， (↑)
， (↑)
校核：
计算无误。
(2)列剪力方程和弯矩方程
梁在C处有集中力作用，故AC段和CB段的剪力方程和弯矩方程不相同，要
分段列出。

(a)

(b)

(c)

图9-14 例9-5图
AC段：距A端为x1的任意截面处将梁假想截开，并考虑左段梁平衡，列出剪力方程和弯矩方程为
(1)
(2)
CB段：距A端为x2 的任意截面外假想截开，并考虑左段的平衡，列出剪力方程和弯矩方程为
(3)
(4)
(3)画剪力图和弯矩图
根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图。
Q图：AC段剪力方程Q(x1)为常数，其剪力值为，剪力图是一条平行于x轴的直线，且在x轴上方。CB段剪力方程Q(x2)也为常数，其剪力值为，剪力图也是一条平行于x轴的直线，但在x轴下方。画出全梁的剪力图，如图9-14b所示。
M图：AC段弯矩M(x1)是x1的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只要计算两个截面的弯矩值，就可以画出弯矩图。
当 时
时
根据计算结果，可画出AC段弯矩图。
CB段弯矩M(x2)也是x2的一次函数，弯矩图仍是一条斜直线。
当 时
时
由上面两个弯矩值，画出CB段弯矩图。整梁的弯矩图如图9-14c所示。
从剪力图和弯矩图中可见，简支梁受集中荷载作用，当 a>b时， ，发生在BC段的任意截面上；，发生在集中力作用处的截面上。若集中力作用在梁的跨中，则最大弯矩发生在梁的跨中截面上，其值为：。
结论：在无荷载梁段剪力图为平行线，弯矩图为斜直线。在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力方向一致。 【例9-6】 如图9-15a 所示简支梁受集中力偶作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。
【解】(1)求支座反力
由整梁平衡得 (a)
（↑）
（↓）
校核：
计算无误。 (b)
（2）列剪力方程和弯矩方程
在梁的Ｃ截面的集中力偶m 作用，分两段列出剪力方程和弯矩方程。 (c)
AC 段：在 A 端为x1的截面处
假想将梁截开，考虑左段梁平衡， 图9-15 例9-6图
列出剪力方程和弯矩方程为
（1）
（2）
CB段：在 A 端为x2的截面处假想将梁截开，考虑左段梁平衡，列出剪力方程和弯矩方程为
(3)
(4)
(3)画剪力图和弯矩图
Q图：由式（1）、（3）可知，梁在AC段和CB段剪力都是常数，其值为，故剪力是一条在x轴上方且平行于x轴的直线。画出剪力图如图9-15 b所示。
M图：由式（2）、（4）可知，梁在AC段和CB段内弯矩都是x的一次函数，故弯矩图是两段斜直线。
AC 段：
当时，　　
时，
CB段：
当时，
当 时，
画出弯矩图如图9-15c所示。
由内力图可见，简支梁只受一个力偶作用时，剪力图为同一条平行线，而弯矩图是两段平行的斜直线，在集中力偶处左右截面上的弯矩发生了突变。
结论：梁在集中力偶作用处，左右截面上的剪力无变化，而弯矩出现突变，其突变值等于该集中力偶矩。

二、 微分关系法绘制剪力图和弯矩图
(一)、荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系
上一节从直观上总结出剪力图、弯矩图的一些规律和特点。现进一步讨论剪力图、弯矩图与荷载集度之间的关系。
如图9-16a所示，梁上作用有任意的分布荷载，设以向上为正。取A为坐标原点， x轴以向右为正。现取分布荷载作用下的一微段dx来研究(图9-16b)。

(a) (b)
图9-16 荷载与内力的微分关系
由于微段的长度dx非常小，因此，在微段上作用的分布荷载可以认为是均布的。微段左侧横截面上的剪力是、弯矩是；微段右侧截面上的剪力是、弯矩是，并设它们都为正值。考虑微段的平衡，由

得 （9-1）
结论一：梁上任意一横载面上的剪力对x的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是，剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度。
再由
上式中，Ｃ点为右侧横截面的形心， 经过整理，并略去二阶微量后，
得 （9-2）
结论二：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是，弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上剪力。
将式（9-2）两边求导，可得
（9-3）
结论三：梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数等于该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是，弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的荷载集度，即由分布荷载集度的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。
(二)、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图
利用弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何意义。可总结出下列一些规律，以用来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图。
1．在无荷载梁段，即时
由式(9-1)可知，是常数，即剪力图是一条平行于x轴的直线；又由式(9-2)可知该段弯矩图上各点切线的斜率为常数，因此，弯矩图是一条斜直线。
2．均布荷载梁段，即常数时
由式(9-1)可知，剪力图上各点切线的斜率为常数，即是x的一次函数，剪力图是一条斜直线；又由式(9-2)可知，该段弯矩图上各点切线的斜率为x的一次函数，因此，是的二次函数，即弯矩图为二次抛物线。这时可能出现两种情况，如图9-17所示。

M M

图9-17 M图的凹凸向与q(x)的关系
3．弯矩的极值
由可知，在的截面处，具有极值。即剪力等于零的截面上，弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力一定等于零。
利用上述荷载、剪力和弯矩之间的微分关系及规律，可更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图，其步骤如下：
（1）分段，即根据梁上外力及支承等情况将梁分成若干段；
（2）根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大致形状；
（3）利用计算内力的简便方法，直接求出若干控制截面上的Q值和M值；
（4）逐段直接绘出梁的Q图和M图。
(a)

RD

(b)
8
Q图(kN)

8

M图(kN·m)

(c)
16

图9-18 例9-18图
【例9-7】 一外伸梁，梁上荷载如图9-18a所示，已知l＝４m，利用微分关系绘出外伸梁的剪力图和弯矩图。
【解】（1）求支座反力
kN（↑），kN（↑）
（2）根据梁上的外力情况将梁分段，将梁分为AB、BC和CD三段。
（3）计算控制截面剪力，画剪力图
AB段梁上有均布荷载，该段梁的剪力图为斜直线，其控制截面剪力为

BC和CD段均为无荷截区段，剪力图均为水平线，其控制截
剪力为

画出剪力图如图9-18b所示。
（4）计算控制截面弯矩，画弯矩图
AB段梁上有均布荷载，该段梁的弯矩图为二次抛物线。因q向下（q<0），所以曲线向下凸，其控制截面弯矩为

BC段与CD段均为无荷截区段，弯矩图均为斜直线，其控制截面弯矩为

画出弯矩图如图9-18c所示。
从以上看到，对本题来说，只需算出、、和MB、MC，就可画出梁的剪力图和弯矩图。

【例9-8】 一简支梁，尺寸及梁上荷载如图9-19a所示，利用微分关系绘出此梁的剪力图和弯矩图。

(a)

(b)
Q图(kN)

12
24
(c)
M图(kN·m)

图9-19 例9-8图
【解】（1）求支座反力
（↑） （↑）
（2）根据梁上的荷载情况，将梁分为AB和BC两段，逐段画出内力图。
（3）计算控制截面剪力，画剪力图
AB段为无荷载区段，剪力图为水平线，其控制截面剪力为

BC为均布荷载段，剪力图为斜直线，其控制截面剪力为

画出剪力图如图9-19b所示。
（4）计算控制截面弯矩，画弯矩图
AB段为无荷载区段，弯矩图为斜直线，其控制截面弯矩为

BC为均布荷载段，由于q向下，弯矩图为凸向下的二次抛物线，其控制截面弯矩为

从剪力图可知，此段弯矩图中存在着极值，应该求出极值所在的截面位置及其大小。
设弯矩具有极值的截面距右端的距离为x，由该截面上剪力等于零的条件可求得x值，即

弯矩的极值为

画出弯矩图如图9-19c所示。
对本题来说，反力RA、RC求出后，便可直接画出剪力图。而弯矩图，也只需确定MB左 、MB右 及Mmax值，便可画出。
在熟练掌握简便方法求内力的情况下，可以直接根据梁上的荷截及支座反力画出内力图。