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巧用切线长定理解题
林绍隆

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。本文就切线长定理在计算和证明中的应用，举几种常见的类型，以供参考。

一、求角度
例1. 如图1所示，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为，且AB＝6，求∠ACB的度数。

图1
解：连接OC交AB于点D
∵CA、CB分别是⊙O的切线
∴CA＝CB，OC平分∠ACB
故OC⊥AB
由AB＝6，可知BD＝3
在Rt△OBD中，
故
所以∠BOD＝60°
又因B是切点，故OB⊥BC，所以∠OCB＝30°，则∠ACB＝60°。

二、求线段长
例2. 如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC，若AD＝2，AE＝1。求CD的长。

图2
解：∵∠ABC＝90°，OB是半径
∴CB切⊙O于点B
∵AC切⊙O于点D
∴CB＝CD
由AC切⊙O于点D，可得
而AD＝2，AE＝1，故AB＝4
设，
在Rt△ABC中，有，解得
即DC＝3。

三、证线段相等
例3. 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的圆交AB于点D，过点D作⊙O的切线EF交AC于点E。求证：AE＝DE。

图3
证明：连接CD。由BC是⊙O的直径，可得∠CDB＝90°
又因∠ACB＝90°，故CE切⊙O于点C。
因DE切⊙O于点D，故CE＝DE
所以∠EDC＝∠ECD
则∠EDC＋∠ADE＝90°，∠ECD＋∠A＝90°
∴∠ADE＝∠A。所以DE＝AE。

四、证明线段成比例
例4. 如图4，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，CD⊥AB于点D，从C、B两点分别作半圆O的切线，它们相交于点E，连接AE交CD于点P。求证：PD：CE＝AD：AB。

图4
证明：显然∠PDA＝90°
∵EB为半圆O的切线，AB是半圆O的直径，
∴EB⊥AB，即∠EBA＝90°
又因∠PAD＝∠EAB，所以△APD∽△AEB
∴PD：BE＝AD：AB
由EC、EB都是半圆O的切线，可知CE＝BE
∴PD：CE＝AD：AB。

五、证明线段平行
例5. 如图5，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是⊙O的直径。求证：AC∥OP。

图5
证明：连接AB，交OP于点D。
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA＝PB
则有∠1＝∠2，PD⊥AB，可知∠3＝90°
由BC是⊙O的直径，知∠4＝90°，则∠3＝∠4
故AC∥OP。

［练习］
如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝3，过点B作以A为圆心、AC为半径的⊙A的切线，切点为D，延长CA交⊙A于点E，交切线BD的延长线于点F，连接DE。

图6
（1）求证：ED∥AB；
（2）求线段EF的长及。

答案：（1）略
（2）2，