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复杂应力状态强度问题

8-4 试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力ó r3 ，弹性常数 E 和 µ 均 为已知。

(a) 棱柱体轴向受压；
(b) 棱柱体在刚性方模中轴向受压。

题 8-4 图
(a)解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图 a），三个主应力依次为
σ1 = σ2 = 0，σ3 = −σ

由此可得第三强度理论的相当应力为

22

σr3 = σ1 − σ3 = σ

(a)

(b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图 b），可先取受力微体及坐标如

图 8-4 所示，然后计算其应力。

由图 8-4 可得


σ y = −σ

根据刚性方模的约束条件，有

εx =

即
1 [σ
E x

− µ(σ y

+ σ z

)] = 0

σ x = µ(σ y + σ z )

注意到


σ z = σ x

故有

σ x = σ z


= − µ σ
1 − µ

三个主应力依次为


σ1 = σ2


= − µ
1 − µ


σ，σ3


= −σ

由此可得其相当应力为


σr3


= σ1


− σ3


= 1 − 2 µ σ
1 − µ


(b)

比较：按照第三强度理论，(a)、(b)两种情况相当应力的比值为

σ
r = r3( a ) =
σ r3( b )

1 − µ
1 − 2 µ

r > 1 ，这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。

8-5 图示外伸梁，承受载荷 F = 130kN 作用，许用应力[ ó ]=170MPa。试校核梁的强 度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。

解：1.内力分析
题 8-5 图

3
由题图可知， B+ 截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为

Fs = F = 130kN， M
= Fl2
= 130 ×103 N × 0.600m = 7.80 ×10 4 N ⋅ m

2．几何量计算

3
I = [ 0.122 × 0.280
z 12
− 5
− (0.122 − 0.0085) × (0.280 − 2 × 0.0137)
12

]m4 = 7.07 × 10− 5 m4

W = 7.07 × 10
z 0.140
m3 = 5.05 × 10− 4 m3

S z ( b )
= 0.122 × 0.0137 × (0.140 − 0.0137 )m3 = 2.23 × 10− 4 m3 = 2S
2

z ( a )

S z , max
= [2.23 × 10− 4 + 1 × 0.0085 × (0.140 − 0.0137)2 ]m3 = 2.90 × 10− 4 m3
2

式中的足标 b ，系指翼缘与腹板的交界点，足标 a 系指上翼缘顶边中点。三个可能的危险点
（ a 、 b 和 c ）示如图 8-5。

3．应力计算及强度校核
点 a 的正应力和切应力分别为

M
σ = =

7.80 ×104 N

= 1.545 ×108

Pa = 154.5 MPa

z
W 5.05 ×10−4 m2

3 −4

F S
τ = s z ( a )
= 130 ×10
×1.115 ×10
N = 1.496 ×107

Pa = 14.96

MPa

I z t
7.07 ×10−5 × 0.0137m2

该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为

ó r 3 =
ó 2 + 4ô 2 =
154.52 + 4 ×14.96 2 MPa = 157.4MPa < [ó ]

点 b 的正应力和切应力分别为

σ = M yb

4
3
= 7.80 ×10

× (0.140 − 0.0137)N = 1.393 ×108

Pa = 139.3 MPa

z
I 7.07 ×10−5 m2

F S
τ = s z ( b )
= 130 ×10
× 2.23 ×10−4

N = 4.82 ×107

Pa = 48.2

MPa

I z δ
7.07 ×10−5 × 0.0085m2

该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为

ó r 3 =
139.3 2 + 4 × 48.2 2 MPa = 169.4MPa < [ó ]

点 c 处于纯剪切应力状态，其切应力为

F S
τ = s z , max

3
= 130 × 10

× 2.90 × 10−4

N = 6.27 × 107


Pa = 62.7


MPa

其相当应力为
I z δ
7.07 × 10− 5 × 0.0085m 2

ó r 3 = 2ô
结论：该梁满足强度要求。

= 2 × 62.7MPa = 125.4MPa

4．强度校核
依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为
σ r3( a ) = σ1 − σ3 = [155.9 − (−1.44)] MPa = 157.3 MPa
σ r3( b ) = [154.4 − (−15.05)] MPa = 169.5 MPa

σ r3( c ) = 2τ = 2 × 62.7
MPa = 125.4
MPa

它们均小于许用应力，故知该梁满足强度要求。

8-8 图示曲柄轴，承受载荷 F = 10kN 作用。试问当载荷方位角è 为何值时，对截面
A-A 的强度最为不利，并求相应的相当应力ó r3 。

解：1.分析内力
题 8-8 图

由于 A - A 为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷 F 无需分解，可直接用以分 析内力。根据平衡关系，截面 A - A 上的剪力、弯矩和扭矩值（绝对值）分别为

Fs = F = 10
kN，M
= Fl = 10 × 103 × 0.070
N ⋅ m = 700
N ⋅ m

T = Facosθ
由此可见， F 的方位角θ 对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当θ
取最大值，对截面 A - A 的强度最为不利，其值为


= 0 时扭矩

Tmax

2．计算相当应力

= Fa = 10 × 103 × 0.240

N ⋅ m = 2.40 × 103 N ⋅ m

截面 A - A 上铅垂直径的上、下点为可能的危险点，按照第三强度理论，其相当应力为

σr3 =
2 2
M + T
max
W
= 32 ×
7002 + (2.40 × 103 )2 N
π × 0.0603 m2

= 1.179 ×108 Pa = 117.9MPa
(a)

由于是短粗轴，弯曲剪力产生的切应力应予考虑，这时截面 A - A 上水平直径的左端点，
为又一个可能的危险点，该点处的正应力为零，而切应力则为

τ = τ + τ

= 16Tmax + 4 × 4Fs

1 2 πd 3
3
3πd 2
3

= (16 × 2.40 ×10
π × 0.0603
其相当应力为
+ 16 ×10 ×10 ) N
3π × 0.0602 m2

= (56.6 + 4.72) ×106 Pa = 61.3

MPa

σr3 = 2τ = 2 × 61.3 MPa = 122.6
MPa
(b)

比较式(a)和(b)可知，该轴真正的危险点是截面 A - A 上水平直径的左端点，其相当应力
如式(b)所示。

顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求σ
(ϕ ) 、τ (ϕ ) ，再求 σ r3 (ϕ ) 。这里的ϕ

从截面 A - A 上左边水平半径量起，以顺钟向为正。将 σ r3 (ϕ ) 对ϕ 求导，寻找其极值位置，找

到的极值位置是ϕ = 0 ，由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式(b)。

8-9 图示某段杆的弯矩 My 与 Mz 图，它们均为直线，且其延长线分别与 x 轴相交于 c
和 d 点。试证明：如果 c,d 点不重合，则该段杆的总弯矩 M 图必为凹曲线。

题 8-9 图
证明：本题用几何法证明比较简便而直观。 证明要点如下：

1．将题设 M y 图线和 M z 图线画在图 8-9(a)所示的三维坐标系中（图 a 中的直线 e1 f1 和

e2 f 2 ）。

2．画总弯矩（合成弯矩）矢量 M 的矢端图 e3 f 3（它为两个坐标平面的两个垂面 e1e3 f 3 f1

与 e2 e3 f 3 f 2 的交线。）

3．将矢端图 e3 f 3 向坐标平面 M y OM z 投影，得其投影图线 ef 。ef 直线上任一点与原点

O 的连线，即代表某一截面总弯矩的大小（为清楚起见，参看图 b）。

4．将 M 由大（ M a ）到小（ M min ）、又由小到大（ M b ）连续变化的函数关系画在平 面坐标系 xoM 中，即成图(c)所示之凹曲线。
8-10 图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮 1 上，作用有径向力 Fy = 3.64kN、切向 力 Fz = 10kN；在齿轮 2 上，作用有切向力 F'y = 5kN、径向力 F'z = 1.82kN。若许用应力

[ ó ]=100MPa，试根据第四强度理论确定轴径。

题 8-10 图

解：将各力向该轴轴线简化，得其受力图如图 8-10(a)所示。内力图（ M z 、 M y 和T ）

分别示如图(b)、(c)和(d)。

由内力图和 8-9 题所证明的结论可知，截面 B 和 C− 都可能为危险面。

对于截面 B ，总弯矩为

M B =
1000 2 + 364 2
N ⋅ m = 1064
N ⋅ m
(a)

对于截面 C− ，总弯矩为

M C－ =
227 2 + 5682
N ⋅ m = 612
N ⋅ m
(b)

比较式(a)和(b)可知，截面 B 最危险。由第四强度理论的强度条件

得该轴的直径为

B
σr4 =
M 2 + 0.75T 2 32
=
W
M 2 + 0.75T 2
πd 3

≤ [σ ]

32
d ≥ 3
M 2 + 0.75T 2
= 3 32
10642
+ 0.75 ×10002
B
m

B
π[ σ ]
π ×100 ×106

= 5.19 ×10− 2 m = 51.9 mm

8-14 图示圆截面钢轴，由电机带动。在斜齿轮的齿面上，作用有切向力 Ft = 1.9kN、

径向力 Fr = 740N 以及平行于轴线的外力 F = 660N。若许用应力[ ó ]=160MPa，试根据第四强

度理论校核轴的强度。

解：1.外力分析
题 8-14 图

将力 F 、 Fr 、 Ft 向轴 AD 的轴线简化，得该轴的计算简图如图 8-14(a)所示。图中，

M zC
= FR = 660 × 0.100 N ⋅ m = 66.0N ⋅ m

t
M A = M C
= F R = 1.9 × 103 × 0.100
N ⋅ m = 190.0 N ⋅ m

2．内力分析

根据图(a)，可画轴力、扭矩及弯矩图如图(b)、(c)、(d)和(e)所示。

由内力图可知，截面 C− 为危险截面，该截面上的轴力、扭矩及总弯矩值依次为

FN = F = 660 N （压）， T
= 190.0
N ⋅ m

M = M 2 + M 2 =
57.0 2 + 55.2 2
N ⋅ m = 79.3
N ⋅ m

y z
3．强度校核
危险面上危险点处于单向与纯剪切组合应力状态，其正应力和切应力分别为

σ = M + FN

= ( 32 × 79.3 +

4 × 660 ) N

W A π × 0.0253
π × 0.0252 m2

= 5.30 ×107 Pa = 53.0
MPa （压）

T
τ = =
Wp

16 ×190.0 N
π × 0.0253 m2

= 6.19 ×107 Pa = 61.9

MPa

将其代入第四强度理论的强度条件，有

σ r4 =
σ 2 + 3τ 2 =
53.02 + 3 × 61.92 MPa = 119.6 MPa < [σ ]

可见，该轴满足强度要求。

8-16 图示等截面刚架，承受载荷 F 与 F' 作用，且 F' = 2F。试根据第三强度理论 确定 F 的许用值[F]。已知许用应力为[ ó ]，截面为正方形，边长为 a，且 a = l/10。

解:1.寻找危险面
题 8-16 图

为了寻找危险面，首先需画出内力图。在图 8-16(a)所示坐标下，由 F 产生的内力示如 图(b)和(c)；由 F ′ 产生的内力示如图(d)、(e)和(f)。

从内力图上不难找到可能的危险面有两个：截面 A 和截面 C+ 。

2．确定 F 的许用值
截面 A 为弯、拉组合（危险点处于单向应力状态），由强度条件

σ max

得
= 6 × 4Fl + F
a3 a2
= 241F ≤ [σ ]
a2

2
F ≤ [σ ]a

= 4.15 ×10−3 [σ ]a 2 = 4.15 × 10−5 [σ ]l 2

241
(a)

截面 C+ 为弯（有 M y 、 M z ）、拉、扭组合，可能的危险点为 d 和 e （见图 g），点 f 的

扭转切应力虽然与点 d 的一样大，但其弯曲正应力只是点 d 的一半，故可将它排除在外。 对于点 d ，正应力和切应力依次为
6 × 2Fl F F

σd = a3
+ = 121
a 2 a2

τ d =
T
αhb2
= 2Fl
0.208a3
= 96.2 F
a2

由第三强度理论的强度条件
2 2 F 2 2 F

σ r3 =

得
σ d + 4τ d = a2
121
+ 4 × 96.2
= 227 ≤ [σ ]
a2

F ≤ 4.41 ×10−3[σ ]a2 = 4.41 × 10−5 [σ ]l 2

对于点 e ，切应力为零，由弯、拉组合（点 e 处于单向应力状态）的强度条件
(b)

σ = 6 × 2Fl + 6 × Fl + F
= 181 F

≤ [σ ]

max a3
得
a3 a2 a2

F ≤ 5.52 × 10−3[σ ]a2 = 5.52 ×10−5 [σ ]l 2

比较式(a)、(b)和(c)，最后确定 F 的许用值为

[F ] = 4.15 × 10−5[σ ]l 2
(c)

8-17 图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的载荷 F 作用。已知圆环轴线的 半径为 R，截面的直径为 d，材料的许用应力为 [ ó ]，试根据第三强度理论确定载荷 F 的许
用值。

解：1.分析内力
题 8-17 图

本题为反对称问题，可取半个圆环来分析。例如取右半圆环，示如图 8-17。

由图可得


M (ϕ ) = FRsinϕ ， T (ϕ ) = FR(1 − cosϕ )

2．求相当应力
根据第三强度理论，截面ϕ 危险点处的相当应力为

σr3 =
M 2 (ϕ ) + T 2 (ϕ )
W
= FR
sin2ϕ + (1 - cosϕ )2
W

FR 2 − 2cosϕ
= (a)
W

3．求 σr3 的最大值

由

dσr3 = 0
dϕ

得极值位置为


ϕ = 180o


(b)

进一步分析可知，该极值位置使 σ r3 取得极大值，即截面 A 为危险截面，其危险点的相当应力

为
σ = 2FR = 64FR


(c)

4．确定 F 的许用值 将式(c)代入强度条件
r3, max W
πd 3

得载荷 F 的许用值为

σr3, max ≤ [σ ]

3
3
[F ] = πd
[σ ] = d
[ó ] ≈ d
3[ó ]

64R
20.4R
20R

8-18 图示结构，由轴 AB 与梁 CD 组成，并在截面 D 承受集中载荷 F 作用。已知 载荷 F = 1kN，弹性模量 E =210GPa，切变模量 G = 0.4E。试：
（1）根据第三强度理论计算轴内危险点处的相当应力；

（2）计算截面 D 的转角与挠度。

解：(1)计算相当应力
题 8-18 图

此为六度静不定问题，但有对称性可以利用。

将载荷 F 向轴 AB 的轴线简化，得力 F 和矩为 M e 的力偶，示如图 8-18(a)。

根据叠加原理，可将 F 和 M e 分开考虑。仅考虑 F 时，利用对称性，可在截面 C 处解除

多余内约束，得相当系统如图(b)所示。（图中只画了左边一半）。由变形协调条件

( F )a2
θ = 0， M C a − 2 = 0

C EI
得

M C
2EI

= Fa
4

据此，并利用对称性，可画出 M 图（见图 c ）。

仅考虑 M e 时，由对称性可知，两端的支反力偶矩相等，并等于 M e 的一半，即

M Ax = M Bx =
1
M e =
2
1 Fa
2

据此，并考虑到扭矩的符号规定，可画T 图如图(d)所示。
由图(c)、(d)容易判断，B、A、C− 和 C+ 四个截面同等危险，它们的弯矩值和扭矩值（均 指绝对值）分别相等。按照第三强度理论，这些面上危险点处的相当应力为

M 2 + T 2
32Fa
12 + 22
8 ×1 ×103 × 0.300 × 5N

σr3 = W
= =
4πd 3

π × 0.0403 m2

= 2.67 × 107
(2)计算转角和挠度
Pa = 26.7
MPa

截面 D 的转角由轴 AB 的扭转变形和梁 CD 的弯曲变形两部分提供，由叠加法可得

θD = ϕC + θD ( F ) =
( 1 Fa)a
2
GI p


Fa 2
+
2EI1


5Fa 2
=
4EI p


Fa 2
+
2EI1

3
= 1×10
× 0.3002
(

5 × 32 +

12 )

rad = 2.73 ×10- 3

rad

210 ×109
4 × π × 0.0404
2 × 0.020 × 0.0603

截面 D 的挠度由轴 AB 的弯曲变形、扭转变形和梁 CD 的弯曲变形三部分提供，由叠加 法可得

wD = wC + ϕC a + wD ( F ) =
Fa3
24EI
5Fa3
+
4EI p
Fa3
+
3EI1

3
= 1 × 10

× 0.3003 64 (

+ 5 × 32 +

12 )m

210 ×109
24 × π × 0.0404
4 × π × 0.0404
3 × 0.020 × 0.0603

= 8.0 ×10− 4 m = 0.80 mm

8-19 图示结构，由两根相同的圆截面杆及刚体 A 和 B 组成。设在该刚体上作用一 对方向相反、其矩均为 M 的力偶，试画杆的内力图，并根据第三强度理论建立杆的强度条件。 杆的长度 l、直径 d、材料的弹性模量 E、切变模量 G 以及许用应力[ ó ]均为已知，且 l =20d, G

= 0.4E。

解：1.求内力
题 8-19 图

此为六度静不定问题。利用反对称性，可取相当系统如图 8-19(a)所示。

静力学方面（见图 a ）


∑ M x = 0， 2T + Fsz (

l ) − M = 0
5


(a)

几何方面（见图 a 和 b ）
由于刚体 B 只能绕结构水平中轴线相对于刚体 A 作刚性转动，故有变形协调条件

θy = 0


(b)

物理方面
∆ = ϕ ( l )
z 10


(c)

ϕ = Tl =
GI p

3

Tl
(0.4E )(2I )

2

= 1.25Tl
EI


(d)

∆ = Fsz l
z 3EI

M l
θ y
M l
− y
2EI
Fsz l

(e)

y = EI
2
−
2EI
(f)

将式(d)～(f)代入式(b)和(c)，得补充方程

2M y = Fsz l


(g)

及

8Fsz l − 12M y


= 3T


(h)

联解方程(g)、(h)和(a)，得

F 15M
T 10 M M
15 M

sz =
， = ， y =
23l 23 46

2．画内力图
上杆的内力图示如图 8-19(c)～(e)。

下杆的T 图与上杆一样，而 Fsz 图及 M y 图与上杆仅差符号，最大内力值（绝对值）与上 杆相同，故可省画其内力图。
3．建立强度条件
由于 l = 20d ，属于细长杆，可以不计剪力对强度的影响。危险面在杆的两端，按照第三 强度理论，杆的强度条件为

2 2 M

( 15 )2 + (10 )2

σ r3 =
M y + T
W
= 46 23
π d 3
32
= 5.54 M
d 3

≤ [σ ]

8-22 图示油管，内径 D =11mm，壁厚ä = 0.5mm，内压 p = 7.5MPa，许用应力
[ ó ]=100MPa。试校核油管的强度。

题 8-22 图
解：油管工作时，管壁内任一点的三个主应力依次为

σ1 = σ t =
pD ，σ
6
2δ 2

= σ x

= 0，σ3


= σ r ≈ 0

按照第三强度理论，有

σ = σ − σ
= pD = 7.5 ×10
× 0.011 N = 8.25 ×107 Pa = 82.5

MPa < [σ ]

r3 1
3 2δ
2 × 0.0005 m2

计算结果表明，该油管满足强度要求。

8-23 图示圆柱形容器，受外压 p = 15MPa 作用。试按第四强度理论确定其壁厚。 材料的许用应力[ ó ]= 160MPa。

题 8-23 图
解：根据第四强度理论，圆柱形薄壁容器的强度应满足

由此可得

σr4 =
3 pD ≤ [σ ]
4δ

δ ≥ 3 pD =
3 ×15 ×106
× 0.080 m = 3.25 ×10−3 m = 3.25 mm

4[σ ]
4 ×160 ×106

所得 δ < D / 20 ，属于薄壁容器，上述计算有效。
8-24 图示圆球形薄壁容器，其内径为 D，壁厚为ä ，承受压强为 p 之内压。试证明 壁内任一点处的主应力为ó 1 = ó 2 = pD /(4ä ), ä 3 ≈ 0 。

题 8-24 图

2
证明：用截面法取该容器的一半（连同内压）示如图 8-24(a)。

由图(a)所示半球的平衡方程

∑ Fx

得
= 0，πDδó t
− πD
4

p = 0

pD
σ t = 4δ
球壁内任一点的应力状态如图(b)所示，由此可得三个主应力依次为

σ1 = σ 2

= σ t =
pD ，σ ≈ 0
4δ 3

8-25 图示铸铁构件，中段为一内径 D =200mm、壁厚ä = 10mm 的圆筒，圆筒内的

压力 p =1MPa，两端的轴向压力 F = 300kN，材料的泊松比 µ = 0.25，许用拉应力[ ó t ]=30MPa。 试校核圆筒部分的强度。

解：1.应力计算
题 8-25 图

圆筒的 δ = D / 20 ，属于薄壁圆筒。故由内压引起的轴向应力和周向应力分别为

6
σ = pD = 1 ×10

× 0.200


Pa = 5 ×106


Pa = 5


MPa

xp 4δ
4 × 0.010
6

σ = pD = 1 × 10
× 0.200

Pa = 10 ×106

Pa = 10

MPa

tp 2δ
2 × 0.010

由轴向压力引起的轴向应力为

σ = F =
300 ×103 N

= 4.77 × 107

Pa = 47.7
MPa （压）

xF πDδ
π × 0.200 × 0.010 m2

筒壁内任一点的主应力依次为

σ1 = 10

2．强度校核
MPa，σ 2 ≈ 0，σ3 = (5 − 47.7) MPa = −42.7 MPa

由于该铸铁构件的最大压应力超过最大拉应力，且超过较多，故宜采用最大拉应变理论 对其进行强度校核，即要求

σ r2 = σ1 − µ(σ 2 + σ3 ) ≤ [σ ]

将上述各主应力值代入上式，得

σ r2 = [10 − 0.25 × (−42.7)] MPa = 20.7 MPa < [σ ]

可见，该铸铁构件满足强度要求。

8-26 图示组合圆环，内、外环分别用铜与钢制成，试问当温度升高 ∆T 时，环的周 向正应力为何值。已知铜环与钢环的壁厚分别为ä1与ä 2 ，交接面的直径为 D，铜与钢的弹性

模量分别为 E1 与 E2，线胀系数分别为á1与á 2，且á1 > á 2

题 8-26 图
提示：由于á 1 > á 2 ，故当温度升高时，环间出现径向压力 p，外环周向受拉，内环周向 受压，但二环仍应紧贴在一起。
解：内、外环的受力情况示如图 8-26(a)和(b)。

设铜环的轴力（绝对值）为 FN1 ，钢环的轴力为 FN2 ，由图(c)、(d)所示各半个薄圆环的

平衡条件可得

变形协调条件为


FN1

pD
= FN2 =
2


(a)

物理关系为
∆D1 = ∆D2

F D 
(b)

1
∆D1
= α D∆T − N1 

E1 A1 


(c)

2
∆D2
= α D∆T + FN2 D 

将式(c)代入式(b)，得
E2 A2

α − α
T = FN1 +
FN2
= σ1t
+ σ2t

(d)

( 1 2 )∆

E A E A E E

由式(a)可知，
1 1 2 2 1 2

σ A = σ
A ， σ1t
= A2 = δ2

1t 1

即
2t 2
σ2t
A1 δ1

σ = δ2

(e)

δ
1t σ2t
1

将方程(e)与方程(d)联立求解，得铜环和钢环内的周向正应力依次为

σ1t

σ

= (α1 − α2 )E1E2 δ2 ∆T E1δ1 + E2 δ2
= (α1 − α2 )E1E2 δ1 ∆T

(f)

(g)

式(f)亦可写成
2t

σ1t
E1δ1 + E2 δ2

= (α2 − α1 )E1E2 δ2 ∆T E1δ1 + E2 δ2


(f)′

8-27 图示薄壁圆筒，同时承受内压 p 与扭力矩 M 作用，由实验测得筒壁沿轴向及

0 0
与轴线成 450 方位的正应变分别为 å 和å
0 45
。试求内压 p 与扭力矩 M 之值。筒的内径 D、壁

厚ä 、材料的弹性模量 E 与泊松比 µ 均为已知。

题 8-27 图

解：圆筒壁内任意一点的应力状态如图 8-27 所示。

图中所示各应力分量分别为

由此可得

σ x =
pD ，σ =
4δ t
pD ；τ =
2δ
T
2Ωδ
= 2M
πD2δ

σ
0o = σ x，σ


90 o

= σ t；σ


45o
= τ + 3 pD ；σ
8δ


+ 45o
= 3 pD − τ
8δ

根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为

ε = 1 [σ
− µσ ] = (1 − 2 µ) pD

(a)

0 o E x t
4Eδ

ε = 1 [σ

− µσ
] = 1 [ 2(1 + µ)M
+ (1 − µ)3 pD ]

45o

E 45o

+ 45o E

πD2 δ 8δ
(b)

由式(a)可得圆筒所承受的内压为

p =


ε
4Eδ
(1 − 2 µ)D 0 o


(c)

将式(c)代入式(b)，可得扭力矩为

2
M = πED δ


[2(1 − 2 µ)ε


− 3(1 − µ)ε ]

4(1 + µ)(1 − 2 µ)
45o 0 o