第五章 固定收益证券.doc

第五章 固定收益证券
投资收益水平与金融产品的现金流量及其频率有关。而资本市场的金融产品分为固定收益产品和不确定收益产品两大类。
固定收益产品包括：债券、优先股、抵押支持债券和资产支持债券；而不确定收益产品泛指普通股票、期货和其他衍生产品等。
本章以介绍债券的计算为主。主要研究的问题：
（1）原始发行价格问题：在投资者已经预先有一个预期收益率，投资者对证券的可接受价格为多少？
（2）收益率问题：上述问题的反问题。
（3）生存期间的价值问题：在证券存续期间的某个时刻，它的价值是多少？
第一节 固定收益证券的类型和特点
固定收益证券：是指收益水平相对较为确定的一类证券。
一 债券
1定义：债券是由借款方签发的一种正式的债权债务关系凭证，通常用整数面值。
债权人对债务人的权利体现为获取利息和收回本金。所以债券是一种带利息的证券，凭此券债权人可以在将来定期地收到利息，最终收回本金。
发行债券的目的是为发行人筹集资金。通常情况下，债券是一种低风险的金融产品。
2期限：从债券认购到它被兑现所经过的时间称为债券的期限。而债
券期限结束日期称为债券的到期日。
两种特殊的债券：永久性债券是指期限为无穷的债券或永不兑换本金的债券；早赎债券是指债券发行者提前兑现本金的债券，其中的兑现日期被称为兑现日。
3 影响债券价值的特征：
1） 发行人：主要是企业、中央政府和地方政府，不同的发行人代表了不同的偿债能力，这是标志债务人信用等级的重要因素。
2） 到期期限
3） 本金和息票收入
4 债券的分类
(1)依据债券的获取利息方式分为：累积债券和息票债券
累积债券：是指将本金和累计利息在兑现时一次付清的债券。通常是短期债券。
息票债券：是指定期支付利息并最终收回本金的债券。通常是长期债权。
(2）依据债券的登记方式分为：记名债券和无记名债券
记名债券：是指认购者的姓名登记在债券上并记录在发行者的相关帐薄上。优点：可以挂失，缺点：转让须向发行者背书。
无记名债券：则属于任何法律上皆认可拥有他的当事人。其优缺点与记名债券相反。
(3)依据债券对应的背景分为：抵押债券和信用债券
(4）依据债权对应的期限分为：长期债券、中期债券和短期债券。
偿还期限在七年以上、一到七年之间和一年以下的分别称为长期、中期和短期债券。
(5)依据债券的风险分为收入债券、可调债券和垃圾债券
收入债券是指利息支付额随着发行者每年的盈亏情况而定的债券；可调债券是指当面临破产的公司再集资时，为替换未偿还债券而新发行的债券；垃圾债券，它是由企业发行的，特别是由企业联合集团、控股公司或其它的接管公司发行的债券
公司可转债：是指该债券在一定条件下，在未来的某个时期，随持有者的自愿，可以将其转为发行者的普通股票。该种债券比一般的不可转换债券的利息收入明显偏低。
二 优先股票
1定义：优先股票是一种证券，而不是债券。
与发行人的关系是：投资人而不是债权人；没有偿还期限，不参与公司的管理，能够取得固定的收益，与公司的经营状况无关。
2累积优先股：是指可以将因没有足够盈利的或其它一些原因而未支付的红利累积起来，以后再支付的优先股票
3参与优先股：是指在企业利润很高时可以收到超过正常红利水平的回报。
4可转换优先股：能够将优先股转化为普通股的优先股。
第二节 债券基本定价
在进行债券的价格计算之前，作如下假定：
1 债务人所有的责任都在事先指定的日期兑现，不考虑随机取息或随时可以兑现的情况；
2 到期日有限
3债券的价格是指息票领取后瞬间的债券账面价值，不同于债券的市场价格。
一 短期债券的定价模式和惯例
1 短期债券的价格：P表示价格；F表示债券的面值；Yd表示年贴现收益率；t表示未到期天数；则：（因为：）
例如：美国26周国库券的报价为4.52%，则：如果当天购买面值为1000000，则其价格为：
P=1000000(1-0.452×)=977149
2 债券的收益率：根据求出的j是年收益率。
例如在上面的例子中，购买该债券的年收益率：
977149
解得：j=4.67857%
半年换算名利率为
见课本P150第三段的内容。
例5.1 已知13周国库券以7.5%的贴现收益率出售。计算面值为1000000元这种债券的当前认购价格。
解：
例5.2 现有10年期面值为1000元的无息债权，到期按面值兑现，其当前买价为400元，计算该债券的半年换算名收益率。
解：
j=0.0469
所以，该债券的半年换算名收益率为2j=9.38%
二 带息票的长期债券的价格计算
1符号说明：
P:债券的价格
F：债券的名义价值或面值。一般是债券在到期日的兑现金额。
C：债券的兑现值。一般情况下，C=F。但当债券在到期日前被兑现，或发行人破产时，C则小于F。
Fr:每期固定的息票金额。
r :息票额与面值的比（简称息率）。即：r=
g :债券的修正率，它表示每1个货币单位兑现值的息票金额。即：
一般情况下：r=g.
i:债权的收益率（常被称为到期收益率），即假定投资者在到期时才进行债券兑现的年实际利率。
n:从计算日期到债券兑现日或到期日之间息票的兑现次数。
K:兑现值以收益率计算的现值。即：K=Cvn
G:债券的基值。定义为：G i=Fr 即：G=……………………5.2.1
它表示用收益率i和息票金额推算的原始本金，即投资者购买债券的参考价格。
2 与债券有关的两种常见的收益率概念
1）现收益率：指每年的息票收入与债券认购价格的比值。
2）到期收益率：指平均的每年实际收益率或称内部收益，它表示债券投资的实际年收益率。
3债券价格计算公式：
1）基本公式：债券的价格为所有未来现金流的现值之和：
…………………………5.2.2
2）溢价折价公式：债券的价格可以用兑现值表示：将5.2.2中的用表示，即得下式：
………………5.2.3
3)基值公式：将5.2.1代入5.2.2即得下式：
P=G+(C-G)vn……………………………………5.2.4
4)Makeham公式：……………………………5.2.5
因为： gC=Fr
所以：
4影响债券价格计算中的主要因素
1）债券价格为到期收益率的递减函数：
计=P(n,i)
则：
=
=
=
=
=<0
=<0
2）债券到期期限n对价格的影响：当修正息率大于收益率时，价格为期限的增函数；当修正息率小于收益率时，价格为期限的减函数。
因为：
所以，
例5.3 10年期面值1000元的美式债券，每半年付息一次，息率为8%，按面值兑现。如果以名收益率10%认购。（1）分别用四种公式计算该债券的认购价格。（2）分析收益率和期限对认购价格的影响。
解：（1）已知：F=C=1000 r==g=4% i=5% n=20
所以：
①40=875.38
②=1000[1+(0.04-0.05)]=875.38
③
P=G+(C-G)vn=800+(100-800)(1+0.05)-20=875.38
④因为K=Cvn=1000(1+0.05)-20=376.98
所以=376.98+
（2）分析：见课本P154-155
三 债券价值评估
债券价值分为：账面价值和市场价值。
以发行时约定的收益水平计算的未来投（融）资价值，称为账面价值；由市场的交易情况和资本市场的宏观情况以及债务市场利率而形成的债券的价格称为市场价值。前者容易计算，而后者很难计算，因为市场的情况瞬时万变，情况复杂。
本部分说的债券价值是指账面价值。
用BVk表示k时刻（第k次支付息票后）的账面价值。则：(基本公式)（）
= （溢价折价公式）
（利用追溯法）
特别地：
1 BV0=P,
2 BVn=C
3 以兑现值出售的债券称为评价债券或直线债券。该债券在任何时刻的价值都恒等于兑现值C. （因为该债券的修正息率g等于收益率I,由上面的溢价折价公式即知）.
本部分主要讨论认购价格不等于兑现值的债券。其计算方法有摊还计算和偿债基金计算
（一）债券的摊还计算
1 如果债券的认购价格高于它的兑现值，即：P>C,则称这种债券为溢价出售的，并称P-C为议价差或升水；相反，则称这种债券为折价出售的，并称C-P为折价差或贴水。
2结论5.1
（1）若g>i,则议价差P-C=
（2）若g<i,则折价差C-P=
由于购买的债券，高于或低于债券的兑现值，所以在兑现日就存在利润（折价差）或损失（溢价差），所以每次息票的收入就不能被看做投资者的真正的利息收入。所以，息票既包含利息收入又包含逐渐的价差偿还（或支付），故可用摊还法将每次息票收入分解为利息收入和对价差的调节两部分。
出于方便，仍采用第四章摊还计算的符号：Bt表示t时刻的账面价值；It表示从t-1时刻到t时刻这一时间段的利息收入；Pt从t-1时刻到t时刻这一时间段的本金调节量；Fr表示息票的金额；B0=P Bn=C
设债券的期限为n，兑现值为C=1，原始认购价格为，则：
B0=1+= Fr=Cg=g
由摊还法可得到如下的递推公式：
Bt+1=(1+i)Bt-Fr
It+1=iBt
Pt+1=Fr-It+1
由上述递推公式可得到债券的摊还表：见P158
由上表知道：
1） 账面价值正好在形式上与债券价格的计算公式相同；
2） 各次息票支付时的本金部分的总和为,恰好为折价差或溢价差；
3） 如果债券是溢价售出的，则账面价值是逐渐下降的，这种过程被称为溢价摊还或账面递减，且将本金调节部分称为溢价摊还量；如果是折价售出的，则账面价值是逐渐上升的，这种过程被称为折价累积或账面递增。
例5.4 面值为100元的10年期美式债券，每半年付息一次，其中明息率为8%，名收益率为6%。分析摊还过程和账面价值变化过程。
解：见P157-1-5
例 5.5 面值为100元的10年期美式债券，每半年付息一次，其中明息率为8%，名收益率为10%，分析摊还过程和账面价值变化过程。
解： 见P160-161
(二）债券的偿债基金计算
有时债券发行者（应看成债券的购买者或投资者更为恰当）出于对偿还债务能力的考虑，对债券的本金偿还采用偿债基金的算法，且一般情况下，偿债基金只用于累积溢价差（或折价差），如果设偿债基金利率为j，偿债基金的每期存款固定，而且期限与债券期限相同，则每次存款为：
Fr-iP=Cg-iP
因此，P-C=(Cg-iP)
所以，
=………………5.2.16
且：各个时刻的账面价值公式：
Bk=……………………………………………5.2.17
下面对债券的偿债基金进行分析：
（1）在溢价债券中，建立偿债基金的目的是为了偿还债券买价与兑现值的溢价差。
例 P162
（2） 在折价债券中，建立偿债基金的目的是为了将债券买价最终累集为兑现值
例 P162
例5.6 现有面值100元的10年期债券，其半年换算明息率为8%，半年换算名收益率为6%。如果投资者用半年换算名利率为5%的偿债基金来抹平溢价差，计算债券的买价。
解：设买价为P，显然有P>C=100元，依照题意，偿债基金每次存入的金额为Cg-0.03P=100×0.04－0.03P=4－0.03P
所以，
解得：P=114.46
注：本例与例5.4的条件除偿债基金条款外，完全相同，而价格为114.46元，低于例5.4的114.88元，原因是增加了从每半年的4元息票收入中拿出0.57元存入了名利率为5%的偿债基金账户。
(三） 直线法计算账面价值

三 两次息票收入之间的账面价值的调整
有时，某些债券是在两次息票领取之间的某个时刻被转让的，特别是债券市场更是一种常见的现象，这就需要将后一次的息票在新旧两个债券持有者之间合理分配。因此，需要了解在两次息票领取之间债券价值的变化过程。
1几个概念和记号
(1) t+k：债券转卖的时刻，其中：t=0,1,…，n；0≤k≤1
(2) Bt+k: t+k时刻债券的账面价值
(3) Frk:应计息票，即从上一次息票支付日直到转卖日为止的时间内应得的利息。这部分金额是由债券的新持有者补偿给转卖者的（事实上，新持有者是不可能给予补偿的）。它的大小与k和Fr 成正比。由定义知：
（4）Bft+k:债券的平价（又称债券的全价），是指债券转手时的实际交易价格。
（5）Bmt+k:债券的市场价格（又称债券的牌价或净价），是指债券交易时的市场报价。是针对债券面值形成的债券市场价格，不包括应计利息部分。
于是：Bft+k=Bmt+k+Frk:
2 计算债券平价的方法
（1） 理论方法——按复利方式
…………………………………………5.2.22
………………………………………5.2.23
Bmt+k=－…………………………5.2.24
（2） 实用方法——按单利累积
……………………………………………5.2.25
…………………………………………………5.2.26
Bmt+k=－…………………………………5.2.27
又因为：
所以： Bmt+k=－==
故：Bmt+k=………………………………………5.2.28
特别注意上式的推导
（3） 半理论方法：该方法是前面两种方法的混合，其中债券的平价是按照5.2.22，应计息票是按照5.2.26计算：即：

所以，该债券的市场价格：
Bmt+k=—……………………………………5.2.29
例5.7 现有面值1000元的两年期债券，半年换算明息率为8%，半年换算名收益率为6%，计算债券发行5个月后的平价、应计利息和市场价格。
解：债券的发行价格为：

（1） 采用理论法计算：
=
=
Bm5/6=1063.04-33.25=1029.79
上述结果表明，债券的实际交易价格为1063.04元，其中的33.25元是6月底第一次息票收入的40元中原债券持有者应得的部分，即这时债券的实际价值为1029.79元。该问题换一个说法，
若原债券持有人卖出的话，则卖出的价格是1063.04元，购买债券的人实际购买价格是1029.79元。
（2） 采用实用法计算

Bm5/6=1063.10-33.33=1029.77
(3) 采用半理论法计算：

Bm5/6=1063.04-33.33=1029.71
实际上，也可用天数表示时间，这时就必须指出发行债券的具体日期。
例5.8现有面值1000元的两年期债券，半年换算明息率为8%，半年换算名收益率为6%，假定债券是在1月1日发行的，计算债券发行5个月后的平价、应计利息和市场价格。
解：上半年前5个月的实际天数为151天，上半年的实际天数为181天。这时k=151/181
只要将上面三种解法中的K=5/6代换为151/181，就可求得三种方法下的平价、应计利息和市场价格。
3 两次息票收入之间的升水与贴水的计算：
升水=账面价值—兑现值
贴水=兑现值—账面价值
特别注意：上面两式中的账面价值不能用平价代替。
例5.9 现有面值1000元的两年期美式债券，每半年付息一次，其中名息率为8%，名收益率为10%。该债券发行5个月后，计算其升水或贴水值。
解：债券的发行价格：

用理论算法：
=
=
Bm5/6=1064.564-33.20=971.36
所以，该债券是贴水，其值=1000—971.36=28.64
第三节 广义债券定价与收益分析
一 广义债券价格
广义债券主要指：息率周期与收益率换算周期不同、息票率不固定和收益率不固定的债券。
1 息率周期与收益率换算周期不同的情形
（1）息率周期为收益率周期的整数倍：k倍，债券的存续期的长度是n个收益率周期。则：

（2）收益率换算周期为息票率周期的整数倍：m倍，且每次的付息金额是，共有n个收益率周期，则：

2 息票率不固定的情形
在息票率不固定的情况下，不存在通用公式来计算债券的价格，需具体问题具体计算。
例：5.10某企业计划发行保值债券：面额1000元，期限10年，每年付息一次，首次息率为7%，随后每次增加3%，在第10年底以1200元兑现。如果投资者计划以9%的收益率购买该债券，计算可接受的价格。
解：根据债券的价格等于息票现值与兑现值的现值之和，得：
债券的价格=
上式中的第一项由比例变化年金的现值公式
3 收益率不固定的情形
在收益率不固定的情况，债券的价格的计算也没有固定的公式。需根据具体问题灵活计算。但仍然是根据债券的价格等于息票现值与兑现值的现值之和进行计算。
例5.11 现有10年期面值1000元的债券，半年换算名息率为8.4%，兑现值为1050元，若前5年的半年换算名收益率为10%，后5年的半年换算名收益率为9%，计算该债券的价格。
解:该债券的价格：

二 早赎债券
1定义：早赎债券是指发行者在债券到期日之前有权提前以某种兑现值赎回所发行的债券。被提前赎回的日期称为早赎日。
2早赎债券实现的条件：通常在债券发行时都有详细的约定。当债券在存续期内达到了约定的条件时，发行者就会执行，提早赎回。通常是当市场的利率低于息率时，发行者就会提早赎回，利用发新债偿还旧债，以降低筹资成本。并且早赎日期的选择是由发行者确定的。
3 早熟日期选择的原则:对债券发行者最有力的原则；相反，早熟日期的选择对投资者是最不利的。
4 早赎债券价格的确定：
这里是从对投资者最不利的角度分析投资者投资在早赎债券时的可接受的价格。下面的两种方法的价格可以保证投资者的收益水平最小：
（1）若债券在所有的日期都是以相同的金额进行兑现，则只有早赎日期一个未定因素。由于，所以，当i<g时，则以最近（是指离债券的保护期结束的日期最近）的早赎日计算债券价格；相反，则一定是以最远的早赎日（是指离债券的保护期结束的日期最远，即:实际为到期日）计算债券价格。
（2）若兑现值在所有的可早赎期内是变化的，那么必须比较各种早赎日价格的计算结果，找出对投资者最不利的日期，或者说，用投资者的预期收益率计算出最小价格，即为投资者可接受的价格。
例 5.12 面值为1000元、名息率为10%的15年美式早赎债券，早熟保护期为12年，按面值实施早赎。已知投资者的最小可接受名收益率为12%或8%。
（1） 分别计算该早赎债券的投资者可接受价格；
（2） 如果投资者支付了所有早赎选择的最大价格，计算当发行者选择对其有利的日期（最小价格对应的时刻）实施早赎条款时，投资者的实际收益率；
（3） 如果投资者支付了所有早赎选择的最小价格，计算当发行者选择最大价格对应的时刻实施早赎条款时投资者的实际收益率。
解：（1）名收益率为12%时的价格：

当n=24,25,,26,……，30，
P=874.49964，872.1664, 869.9683……，862.3517，所以，投资者可接受的价格为862.35元。
名收益率为8%时的价格：

当n=24,25,,26,……，30，
P=1152.4696, 1156.2208 ，1159.8277， 1172.920，所以，投资者可接受的价格为1152.4696
（2）在名收益率12%的情况下，若投资者支付的价格为874.496元，但发行者选择在15年底到期赎回，则投资者的年名收益率满足：
874.496=1000
通过近似计算求得=11.80% (低于原来的名收益率12%)
在名收益率8%的情况下，若投资者支付的价格为1172.920元，但发行者选择在12年底到期赎回，则投资者的年名收益率满足：
1172.920=1000
通过近似计算求得=7.76% （低于原来的名收益率8%）
（3）在名收益率12%的情况下，若投资者支付的价格为862.352元，但发行者选择在12年底到期赎回，则投资者的年名收益率满足：
862.352=1000
通过近似计算求得=12.22%。（注：若发行者选择在15年底赎回，则投资者的年名收益率为12%）
在名收益率8%的情况下，若投资者支付的价格为1172.920元，但发行者选择在15年底到期赎回，则投资者的年名收益率满足：
1172.920=1000
通过近似计算求得=8.21%
例5.13 面值为100元、名息率4%的15年期美式早赎债券（该种债券的特点是半年派息一次），早赎保护期为5年，具体早赎方案为：第6—10年内的任何一个取息日可以用109元赎回债券；发行后的第11—15年内的任何一个取息日可以用104.50元赎回债券；发行后15年底以面值兑现。已知投资者的预期名收益率为（A）5%；（B）3%。
（1） 分别用两种预期收益率计算认购者可接受的价格；
（2） 如果投资者支付了所有早赎选择的最大价格，计算当发行者选择对其有利的日期（最小价格对应的时刻）实施早赎条款时投资者的收益率。
（3） 如果投资者支付了所有早赎选择的最小价格，计算当发行者选择最大价格对应的时刻实施早赎条款时投资者的收益率。
解：已知r=2% , g=
(A) 先考虑预期收益率为5%的情形。
当n介于11到20之间时，有
g==

当n=11时，P取最大值102.05；当n=20时，P取最小值97.62 。
当n介于21到29之间时，有
g==

当n=21时，P取最大值94.13；当n=29时，P取最小值89.69.
当n=30时，有
g==
=89.53
（1） 投资者可接受的价格为89.53
（2） 若价格为102.05元，则发行者选择在第１５年底赎回，于是收益率i满足：
102.05=100
求得近似解：=3.78%
（3）若价格为89.53元，则发行者选择在n=11时赎回，于是收益率i满足：
102.05=100
求得近似解：=8%
(B) 再考虑预期收益率为3%的情形。
当n介于11到20之间时，有
g==

当n=20时，P取最大值115.18；当n=11时，P取最小值112.62 。
当n介于21到29之间时，有
g==

当n=29时，P取最大值114.52；当n=21时，P取最小值112.17.
当n=30时，有
g==
=112.01
（1）投资者可接受的价格为112.01
（2）若价格为115.18元，则发行者选择在第１５年底赎回，于是收益率i满足：
105.18=100
求得近似解：=2.78%
（3）若价格为112.01元，则发行者选择在n=20时赎回，于是收益率i满足：
112.01=100
求得近似解：=3.68%
三 系列债券
1系列债券：系列债券是指一次发行，分多次兑现的债券。
2购买系列债券价格的计算
方法一：分别计算息票收入的现值和兑现值的现值
方法二：分别计算每次兑现的债券价格，然后对所得结果进行求和
3结论：设系列债券分m次兑现，第k次兑现日nk对应的购买价格为pk，兑现值为Ck，兑现值的现值为Kk（k=1,2,…m）。如果假定息率和收益率相同（不用该假定，且一般也不会相同，把该句话划去），则：
根据Makeham公式：

若记：
则：
注意：系列债券在首次兑现之前，每次息票收入为,从发行后的某个息票收取时刻n1开始，每次兑现Ck，同时按照兑现值的余额领取息票收入。其实际现金流的时间流程图见P173：
例5.14 现有面值为1000元的系列债券，年息率为5.25%，并且以105元的兑现值在发行后的第11—20年的每年底分期兑现。若已知收益率为7%，计算发行价格。
解：因为

所以，=857.11
四债券收益率分析
本部分讨论在给定债券的购买价格以及债券的息率、面值、兑现值后，计算债券的收益率。
1结论5.3 债券存在唯一的收益率
证明：因为：
记称为溢价（或折价）比率，则

即：………………………………………………5.3.3

则：
且
所以5.3.3有唯一的零解。
2几个具体情况：
1） 对n=1或2时，应求其精确解。
2） 一般情况下，对，考虑函数：的麦克老林展开式：
所以，
由5.3.3得到：
所以：……………………………………………5.3.5
另外，还有较粗略的近似公式：
…………………………………………5.3.6
………………………………………………………5.3.7
上式被称为券商算法。
3） 迭代法求近似解：
……………………………………………………5.3.8
另外，还有Newton法。不要求。
例5.15面值100元的10年期债券，半年换算明息率8%，按90元折价发行。计算半年换算名收益率。
解：已知
（1） 若采用券商算法：
所以，所求的名收益率约为9.48%
（2） 采用公式5.3.5

即所求得名收益率为9.50%。
（3） 以作为初值，用公式5.3.8进行迭代，有

及所求的名收益率为9.576%
例5.16面值100元的10年期债券，半年换算明息率8%，半年换算名收益率为10.2694%；该债券是在3月1日发行的，计算该债券在两年后的5月15日的市场价格。（本题应是第二节最后一部分的内容：两次息票收入之间的账面价值调整）
解：该债券在两年后的3月1日的购买价格（即实际交易价格）：
（元）
从3月1日到5月15日共75天，到9月1日共184天，所以，在5月15日的市场价格为

第四节 实例分析
一 优先股票和永久债券
优先股是一种资产，债券是一种债权债务关系；其安全性低于债券，但高于股票；优先股没有赎回期限，而债券到期后可以赎回；优先股和债券的持有人都不参与企业的经营决策；优先股和债券的收益都是固定的，
优先股的购买价格：由于优先股没有到期的期限，故可看成是每次收入是Fr的永久期末年金，故其购买价格为：
……………………………………………………5.4.1
二普通股票
普通股必须在清偿所有债券的利息和其他债务以及优先股的分红完成之后才能参与分红，分红不固定，它会随着企业经营业绩以及企业经营状况和发展战略的不同而不同。普通股票的价格一般分为如下两种：
1 股票上市的价格（也称理论价）
如果假定首次（或当前的）分红为D，然后以k的比例逐年增加（或减少），且收益率为i ,那么它的发行价格为：
（因为比例变化的年金现值公式）
例5.17 某普通股票每股当前收益4元，计划年底每股分红2元。如果假定企业的利润以年5%的比例持续增加，而且企业计划将收入的50%对普通股股东分红，分别按年收益率10%。8%和6%计算该股票的理论价格。
解：该股票的首次分红D=2，随后的年增比例k=5%
所以，该股票的理论价格为：
（1） 其价格40元是当前收益4元的10倍（即为市盈率）
（2）
（3）
例5.18某普通股票每股当前收益4元，而且企业计划将收入的50%对普通股股东分红，则年底每股分红2元。如果假定企业的利润前5年以5%的比例持续增加，第二个5年增长的比例为2.5%，然后收入固定。试按年收益率10%计算该股票的理论价格。
解：第一个5年分红的现值:

第二个5年分红的现值:

第10年以后分红的现值:

所以，该股票的理论价格为：8.30+6.29+11.13=25.72（元）
三 其他实例
例5.19 世界银行所属的国际金融公司于1998年4月1日开始在香港发行3亿港元的两年期债券，年息为8.18%，以面值的99.67%折价出售，计算该债券的年收益率。
解：已知：
代入公式5.3.3：

整理得：
求得：i=8.366%
例5.20 现有10年期面值为100000元的年金债券，每半年收回。若认购人的预期收益率为，计算该债券的认购价格和前两年的摊还本金量与利息量。（注意该题看成是一种贷款转让更合适：甲有一笔10年期的100000元的贷款，半年的贷款利率是5%，逐年等额偿还，由于各种原因，现在甲想转让给乙，乙的收益率为6%，计算转让的价格和前两年的摊还的本金量和利息量）
解：该债券的认购价格：
每半年收回=8024.26
在每次收回的8024.26元中，本金是多少，利息是多少？
见下表：（前两年的摊还表）
时间/半年
1
2
3
4
本金量/元
3024.26
3175.47
3334.25
3500.96
利息量/元
5000
4848.79
4690.01
4523.30
例5.21 现计划按照半年换算名息票率5%发行面值为100元的3年期债券，而目前市场已有如下表的平价债券的信息。试利用此市场信息计算该债券的发行价格。
期限/年
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
半年名息票率/%
2.25 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50
解：把每期的收入转化为现值分别为：

所以，发行的价格为：2.47+2.44+2.36+2.37+2.26+89.96=101.594
例5.22 下表是2004年12月6日上海证券交易所的国债示例，按这些数据计算这些债券的年实际收益率。
债券名称
剩余期限/年
票面利率/%
面值/元
当前价值/元
04国债（1）
0.270
0.00
100
99.36
96国债（6）
1.521
11.83
100
113.9
99国债（8）
4.795
3.30
100
94.20
04国债（4）
6.466
4.89
100
100.51
02国债（13）
12.787
2.60
100
77.47
21国债（7）
16.648
4.26
100
91.33
解：
04国债（1）
解得：i =2.4%
96国债（6）
解得：i=5.95%
99国债（8）
解得：i=4.85%
04国债（4）
解得：i=5.28%
02国债（13）
解得：i=5.10%
21国债（7）
解得：i=5.18%